Autour de la clôture résoluble

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Autour de la clôture résoluble

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La clôture abélienne(resp. clôture résoluble) d’un corps k e le corpsk^ab (resp. k^sol) obtenu en prenant le compositum de toutes extensions abéliennes (resp. résolubles) finies dek. Puisque le produit fibré de deux groupes abéliens (resp. résolubles) eencore abélien (resp. résoluble), on voit que le groupe Gal(k^ab/k) (resp. Gal(k^sol/k)) eun groupe abélien (resp. pro-résoluble). Les extensions galoisiennes finies dek incluses dansk^ab(resp. k^sol) sont donc toutes abéliennes (resp. résolubles).

On considère un corpskde caraériique 0 et l’on définit la suite de corps (k^ab[n])_nde la manière suivante :k^ab[]=ket pour toutn≥0,k^ab[n+]= (k^ab[n])^ab. On a alors :

Proposition.—a) Pour toutn≥0,k^ab[n]/kegaloisienne.

b)k^sol=[

n

k^ab[n].

Preuve :a) Pourn= 1 c’eévident. Remarquons au passage queQ^ab⊂k^abet donc que pour

n≥1,k^ab[n]contient toutes les racines de l’unité.

Supposons que pourn≥1,k^ab[n]/k soit galoisienne. PuisqueQ^ab⊂k^ab[n], la théorie de Kummer assure que le corpsk^ab[n+] s’obtient en adjoignant à k^ab[n] les éléments ^pm

√ λ, pour tout premierp, tout entiermet tout élémentλ∈k^ab[n]. Ainsi, pour prouver quek^ab[n+]/ke galoisienne, il suffit de montrer que lesk-conjugués de ^pm

√

λ sont des éléments dek^ab[n+]. Par hypothèse, lesk-conjugués de λsont dansk^ab[n]. Si on les note λ₁,· · ·, λ_h alors les k- conjugués de ^pm

√

λsont de la formeξ_pⁱm pmp

λ_j et ces derniers éléments sont bien dansk^ab[n+], ce qui prouve l’assertion.

b) SoitM/kune extension résoluble etk=M₀⊂M₁⊂ · · · ⊂M_n =Mune tour d’extension telle queM_i+1/M_i soit abélienne pouri= 0,· · ·, n−1. L’extensionk^ab[i]M_i+1/k^ab[i]M_i ealors abélienne à son tour, de sorte que, par récurrence immédiate, on aM_i ⊂k^ab[i]pour touti.

On en déduit queM⊂k^ab[n]et donc quek^sol⊂S

nk^ab[n].

Réciproquement, on ak⊂k^sol. Si pourn≥0 on suppose quek^ab[n]⊂k^sol, alors au rang n+ 1, on considère un élémentα∈k^ab[n+]et l’on noteMla clôture galoisienne dek(α) surk.

Commek^ab[n+]/kegaloisienne, on a doncM⊂k^ab[n+]et il exieβ∈k^ab[n+]tel queM=k(β).

L’extensionk^ab[n](β)/k^ab[n]ealors abélienne, disons de groupeG.

SiP désigne le polynôme minimal deβsurk^ab[n], on considèreM0la clôture galoisienne du corps engendré sur k par les coefficients de P. Puisque k^ab[n]/k e galoisienne, on a

M0⊂k^ab[n]et l’on a par ailleursM0⊂k(β). L’extensionM0(β)/M0eabélienne de groupeG

et l’extensionM0/kerésoluble. CommeM0(β) =k(β) et quek(β)/kegaloisienne, on en déduit finalement quek(β)/kerésoluble, ce qui prouve queα∈k^sol.

Corollaire.—) Pour tous corpsk₀, k₁de caraériique nulle, on ak₀⊂k₁=⇒k₀^sol⊂k₁^sol.

) Pour tout corpskde caraériique nulle, on ak^sol=k^{sol sol}, en particulier siLeun corps tel quek⊂L^solalorsk^sol⊂L^sol.



Preuve :) SiL/k0eune extension abélienne, alorsLk1/k1eaussi abélienne, si bien que k^ab⊂L^ab. En appliquant par récurrence cette propriété, on en déduit quek₁^ab[n]⊂k₂^ab[n]pour toutn≥0 et donc quek^sol⊂L^solpar application de la proposition.b).

) Par application du), on ak^sol⊂k^{sol sol}. Pour montrer l’inclusion réciproque, en vertu de la proposition.b), il suffit de montrer quek^{sol ab}=k^sol. Soit alorsL=k^sol(α) une extension finie abélienne. SiM désigne le corps engendré sur k par les coefficients du polynôme minimal deαsurk^solalors d’après la proposition.b) il exie un entierntel queM⊂k^ab[n]. L’extensionM(α)/M eabélienne, il en donc de même de l’extensionk^ab[n](α)/k^ab[n]et ainsi α∈k^ab[n+]⊂k^sol.

Corollaire.—SoitLun corps de caraériique nulle. Les propriétés suivantes i)Lerésolublement clos (i.e. L=L^sol),

ii)Lne possède aucune extension résoluble non triviale, iii)Lne possède aucune extension abélienne non triviale, iv)Lne possède aucune extension cyclique non triviale, v)Q^ab⊂Let, pour toutn≥1,Lⁿ=L

sont équivalentes.

Preuve : L’équivalencei)⇔ii)⇔iii)⇔iv) equasi-immédiate. L’équivalenceiv)⇔v) découle de la théorie de Kummer.

Proposition.—SoitKun corps de caraériique nulle tel queQ^ab⊂K etL/Kune extension finie. SiLerésolublement close, alorsKl’eaussi.

Preuve :Supposons queK ne soit pas séparablement clos. Il exie alors unep-extension cyclique de K pour un certain nombre premier p et donc un élément a ∈ K tel que le polynômeX^p−asoit irréduible. La théorie de Kummer montre que le polynômeX^pn−a e aussi irréduible et ce dernier engendre une extension cycliqueK_n de degré pⁿ sur K. Choisissons un entier ntel quepⁿ >[L.K], l’extensionL.K_n/L e alors non trivial et cyclique, ce qui assure queLn’epas résolublement clos.

Corollaire.—SiLdésigne un corps de caraériique nulle résolublement clos, alors aucune extension finieM/Ltelle queAutLM,0n’erésolublement close (en particulier, aucune exten- sion galoisienne, finie etrie deLn’erésolublement close).

Preuve : Si σ ∈Aut_LM désigne un élément d’ordre n≥ 2 alors l’extensionM/M^{<σ >} e cyclique d’ordrenet donc M^{<σ >}n’epas résolublement clos. La proposition précédente assure alors queMne l’epas non plus.

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Dans les premières éditions de "cohomologie galoisienne" de J.P. Serre, l’auteur se po- sait la queion de savoir si la nullité du groupe de Brauer d’un corps entrainait la nullité du groupe de Brauer de toutes ses extensions algébriques. Dans les dernières versions, il présente une réponse négative à cette queion sous forme d’exercice attribué à M. Auslan- der (voir II.§.. de la dernière édition). Nous détaillons ici cet exercice.

Considérons un corpsk0de caraériique 0 et contenant toutes les racines de l’unité.



Etudions l’arithmétique du corps de séries de Laurentk0((t)). Puisquek0ede caraéris- tique nulle, le théorème de Puiseux assure que le corps de séries de Puiseux Puis(k₀) e algébriquement clos. La description dek0((t)) dans Puis(k₀) s’obtient alors de la manière suivante : si l’on pose

k]₀((t)) = [

L/kfinie

L((t)) Puis(k0) =[

n≥1

k0((t^1/n)) alors on a Puis(k0) = ]

k0((t)).Puis(k0) (ceci se fait en remarquant qu’une série de Puiseux à coefficients dans k0 e algébrique sur k0((t)) si et seulement si le corps engendré sur k₀ par ses coefficients e de dimension finie surk₀). Puisque ces deux extensions sont linéairement disjointes, on en déduit le parallélogramme galoisien suivant :

k0((t))

k]₀((t))

bZ

Puis(k₀)

G_k0

k₀((t))

G_k0

Zb

(oùG_k0 = Gal(k₀/k₀)) et, par suite, que Gal(k₀((t))/k₀((t))) =G_k0×bZ. La présence de ce produit cartésien montre que siG_k0 n’epas trivial alors la dimension cohomologique de Gal(k₀((t))/k₀((t))) e certainement plus grande que 2, ce qui assure en particulier qu’il exie des extension algébrique dek0((t)) à groupe de Brauer non nul.

On a la suite exae

1 //H²(Puis(k0)/k0((t))) //Br(k0((t))) //Br(Puis(k0))

Le groupe de Galois absolu de Puis(k₀) e isomorphe àG_k0, de sorte que si l’on suppose que G_k0 e de dimension cohomologique cd(G_k0)≤1, alors on a Br(Puis(k₀)) = 0 et par suite

H²(Puis(k₀)/k₀((t)))'Br(k₀((t))) Par ailleurs, on a

H²(Puis(k₀)/k₀((t))) = H²(bZ,Puis(k₀)^∗) = lim−−→

n

H²(k₀((t^1/n)), k₀((t))) = lim−−→

n

H²(Z/nZ, k₀((t^1/n))^∗) Les groupes étant cyclique, on a, pour toutn≥1,

H²(Z/nZ, k₀((t^1/n))^∗)'k₀((t))^∗/N(k₀((t^1/n))^∗)

oùNdésigne la norme de l’extensionk₀((t^1/n))/k₀((t)) et l’isomorphisme canonique consid- éré vérifie que, sin|m, alors le diagramme suivant

H²(Z/mZ, k₀((t^1/m))^∗) //k₀((t))^∗/N(k₀((t^1/m))^∗)

H²(Z/nZ, k₀((t^1/n))^∗)

OO //k₀((t))^∗/N(k₀((t^1/n))^∗)

∧^m

n

OO



e commutatif. On a en faitk0((t))^∗/N(k0((t^1/n))^∗)'k^∗₀/kⁿ₀^∗. Pour voir cet isomorphisme considérons l’épimorphismeπ : k₀((t^1/n))^∗ −→ k₀^∗ qui à une série de Puiseux, associe le coefficient de son terme de plus bas degré (i.e. pour une sérieS ,0, l’évaluation ent= 0 de la sériet^−v(S)S(t)). L’image parπdeN(k₀((t^1/n))^∗ ele groupek₀^n∗ et le noyau deπe Ω=[

h∈Z

t^h(1 +tk₀[[t]]). Puisque l’on peut extraire une racinen-ième (pour le produit au sens de Cauchy) de tout élément de 1+tk₀[[t]] dans 1+tk₀[[t]], on en déduit queΩeaussi le noyau deN(k₀((t^1/n))^∗−→k₀^n∗, si bien que l’on a le diagramme commutatif suivant

1

1

N(k0((t1/n))∗

//kn∗

0

//1

1 //Ω

::$$

k0((t))∗

π //k∗ 0

//1

k0((t))∗ N(k0((t1/n))∗

)

' // ^k∗0 kn∗ 0

1 1

qui assure l’exience de l’isomorphisme annoncé. On voit alors que, pour toutn≥1, on peut choisir un isomorphismeϕ_n: H²(Z/nZ, k₀((t^1/n))^∗)−→k^∗₀/k₀^n∗de sorte que sin|malors le diagramme suivant

H²(Z/mZ, k₀((t^1/m))^∗) ^ϕm //k₀^∗/k₀^m∗

H²(Z/nZ, k₀((t^1/n))^∗)

OO

ϕ_n //k^∗₀/kⁿ₀^∗

∧^m

n

OO

ecommutatif. Si l’on suppose cd(G_k0)≤1 on a alors : Br(k₀((t)))'lim−−→

n

k^∗₀/kⁿ₀^∗

PuisqueQ^ab⊂k₀, les applications k^∗₀/k^m₀^∗

∧^m

n //k^∗₀/k₀^m∗ sont injeives. En vertu des résul- tats établis précédemment sur les clôtures résolubles, on en déduit que, si cd(G_k0) ≤1, alors

Br(k₀((t))) = 0⇐⇒k₀erésolublement clos Finalement, on obtient le résultat suivant :

Proposition.— Si k₀ désigne un corps de caraériique 0 résolublement clos et non al- gébriquement clos, tel que G_k0 soit de dimension cohomologique≤ 1, alors Br(k₀((t))) = 0 et il exie des extensions algébriques dek₀((t))à groupes de Brauer non nul (par exemple tous les corpsL((t))oùL/k₀désigne une extension galoisienne finie non triviale).



Un exemple de tel corps e obtenu en considérant k0 =Q^sol. En effet, le dimension cohomologique deQ^abe≤1 et commeQ^ab⊂Q^sol, il en ede même pourQ^sol. Par ailleurs, Q^sol,Qpuisque l’on sait réaliser surQles groupes alternés.

