Devoir de contrôle N°1

(1)

Page 1 sur 4 Exercice 1 :

Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix.

1) Si f est une fonction tel que, pour tout x>1 ; 1 2 1

1 ( ) ² 1

x x

x f x x

   

  alors :

a) lim ( )

x f x

 0 b) b) lim ( )

x f x

 2 c) c) 0≤ lim ( )

x f x

 ≤ 2.

2) Soient ( ) ^sinx

f x  x , g x( ) x

 et h(x)=fog(x) ; lim ( )

x h x

  : a) 0

b) c) 1

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{, ,}



^{, on}

considère les points A et B d’affixes respectives -i et i. l’ensemble des points M d’affixe z tel que ^iz ¹ iIR

z i

 

 est :

a) La droite (AB).

b) La droite (AB) privée du point A.

c) Le cercle de diamètre [AB]

Exercice 2 :

1) Soit f la fonction définie par ( ) ³ ^² ¹ 2 ² 2

x x x

f x x

  

 

a) Calculer

( 1)

lim ( )

x

f x

  .

b) Calculer

lim ( )1

x f x

 .

c) Peut-on prolonger f par continuité en 1? si oui donner son prolongement f .

Lycée Marsa Erriadh 4^ème année

26/10/2010

Prof : M.Zribi.

Devoir de contrôle N°1

Section : Sciences Ex

Epreuve : Mathématiques

Durée : 2h

(2)

Page 2 sur 4 2) Soit g la restriction de f à l’intervalle]-1,0] .

Compléter le tableau de variation de g ( voir annexe).

3) On se propose de montrer que l’équation g(x)=-x²+1 admet dans ]-1,0[ une unique solution a.

Soit h la fonction définie sur ]-1,0] par h(x)= g(x)+x².

a) Montrer que h est strictement décroissante sur ]-1,0].

b) Montrer que l’équation h(x)=1 admet dans ]-1,0[ une unique solution a.

c) Conclure.

Exercice 3:

Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé



^{O u v}^{, ,}



, dans la figure de l’annexe, ( ) le cercle de centre O et de rayon2 ; A le point d’affixe zA.

1) Déterminer par une lecture graphique la forme exponentielle de zA . En déduire que z_A  3i .

2) Soit f l’application de P\{O} dans P qui à tout point d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z ' 3z i z .

a) Soit C le point d’affixe z_C eⁱ³



 ; vérifier que C appartient au cercle (Γ) de centre O et de rayon 1.

b) On pose z eⁱ^ , IR ; montrer que ' 2 ⁶

i

z e

 

  

 

 

 .

c) Soit D=f(C) ; déterminer la forme exponentielle de zD et en déduire que

D 3

z  i ; placer le point D sur la figure.

d) Montrer que ODAB est un losange.

3) a) Montrer que si M est un point de (Γ) alors M’ est un point du cercle ( ) . b) Montrer que



^{u OM}^, ^'

  

^{ }^₆ ^{u OM}^,

^{ }

²^ ^.

c)En déduire une construction du point M’ à partir d’un point M appartenant à (Γ).

(3)

Page 3 sur 4 Exercice 4:

Soit la suite U définie sur IN* par : _n

n 1

U n

2 ^

 .

1) Montrer que U est décroissante; en déduire qu'elle est convergente.

2) Montrer que pour tout nIN*; _{n 1} 1 _n 1_n

U U

2 2

  

3) Montrer que _n

n

lim U

 =0.

4) On pose pour tout nIN*, _n ⁿ _k

k 1

S U

  ^.

a) Montrer que _n _n 1_n

S U 4( 1 )

2

    . b) En déduire _n

n

lim S

 .

(4)

Page 4 sur 4 Nom :……….. Prénom :………

x

g’(x) ---

g(x)