Corrigé de l’examen

Université de Cergy-Pontoise Séries

Licence 2 MIPI 2017-2018

Corrigé de l’examen

Questions de cours.

1. Soit α ∈ R. La série de Riemann de paramètre α est la série numérique ∑

n≥1 1

n^α. Cette série est convergente si et seulement siα >1.

2. Le théorème de conservation de la continuité s’énonce ainsi :

“ Supposons que :

(i) Pour tout entier n∈N, la fonction f_n est continue sur I.

(ii) La série de fonctions ∑

n≥0

fn(x) converge normalement sur (tout segment de)I.

La fonction somme

∀x∈I, S(x) =

+∞

∑

n=0

fn(x), est alors bien définie et continue surI. ”

3. Le lemme d’Abel s’énonce ainsi :

“ SoitR le rayon de convergence de la série entière ∑

n≥0anzⁿ. (i) Si|z|> R, alors la série entière ∑

n≥0

anzⁿest divergente.

(ii) Si |z|< R, alors la série entière ∑

n≥0

a_nzⁿ est (absolument) convergente. ”

4. Les coefficients de Fourier réels(a_n(f))_n∈N et(b_n(f))_n∈N∗ sont définis par les formules a₀(f) = 1

2π

∫ _π

−π

f(x)dx, et

∀n∈N^∗, an(f) = 1 π

∫ _π

−π

f(x) cos(nx)dx et bn(f) = 1 π

∫ _π

−π

f(x) sin(nx)dx.

Exercice 1.

1.a. Rappelons que

cos(x) = 1−x² 2 + o

x→0

(x²) . Comme _n¹ →

n→+∞0, il s’ensuit que cos

(1 n )

= 1− 1

2n² + o

n→+∞

( 1 n²

) ,

ce qui s’écrit aussi

cos (1

n

)−1 =− 1

2n² + o

n→+∞

( 1 n²

) .

Par définition de la relation d’équivalence, nous obtenons cos

(1 n

)−1 ∼

n→+∞− 1 2n². Il suffit de multiplier cette équivalence par ⁽⁻√¹⁾nⁿ pour arriver à

u_n−(−1)ⁿ

√n ∼

n→+∞−(−1)ⁿ 2n⁵²

.

b. Il découle de la question 1.a que

un−(−1)√ ⁿ n

∼

n→+∞

1 2n⁵². Comme la série de Riemann ∑

n≥1 1

n⁵² est convergente, par équivalence, la série ∑

n≥1

(un−^(−√1)_nⁿ) est absolument convergente.

2.a. Comme la suite( ₁

√n

)

n≥1 est décroissante de limite nulle, la série ∑

n≥1 (−√1)ⁿ

n est conver- gente par le critère des séries alternées.

b. Par la question 1.b, la série ∑

n≥1

(un−^(−√1)_nⁿ)

est absolument convergente, donc conver- gente. Comme la série ∑

n≥1

(−√1)nⁿ est aussi convergente par la question 2.a, la série ∑

n≥1

unest convergente en tant que somme de ces deux séries.

Exercice 2.

1.a. Nous calculons

∀n≥1, f_n(1) = 1ⁿ

1 + 1²ⁿ = 1 2,

de sorte que la suite (fn(1))n≥1 a une limite ¹₂ non nulle. La série ∑

n≥1

fn(1) est donc divergente.

b. Comme

∀n≥1,∀x∈[0,1[,1 +x²ⁿ≥1, il vient

fn(x)≤ xⁿ 1 =xⁿ. c. Rappelons que la série géométrique ∑

n≥0

xⁿ est convergente lorsque 0 ≤x < 1. Comme la suite (f_n(x))_n≥1 est à termes positifs, il découle de l’inégalité de la question 1.b et du principe de comparaison que la série ∑

n≥1

fn(x) est convergente lorsque 0 ≤ x < 1. Cette série de fonctions est par conséquent simplement convergente sur[0,1[.

d. Lorsquex >1, nous avons

1 x²ⁿ →

n→+∞0.

Il s’ensuit que

xⁿf_n(x) = x²ⁿ

1 +x²ⁿ = 1

1

x²ⁿ + 1 →

n→+∞

1

0 + 1 = 1,

ce qui équivaut au fait que

f_n(x) ∼

n→+∞

1 xⁿ.

e. Lorsque x > 1, nous savons que ¹_x < 1, ce qui assure que la série ∑

n≥0 1 xⁿ

( = ∑

n≥0

(₁

x

)n)

est convergente. Il résulte donc de la question 1.d et du principe d’équivalence que la série∑

n≥1

fn(x) est convergente lorsquex >1. Aussi cette série de fonctions est-elle simplement convergente sur]1,+∞[.

f. Rappelons que la somme S(x) est bien définie si et seulement si la série ∑

n≥1fn(x) est convergente. Il découle donc de la simple convergence de cette série de fonctions sur[0,1[

et sur]1,+∞[que la somme S est bien définie sur ces deux intervalles.

2.a. Par les opérations élémentaires, les fonctions fn sont de classe C^∞ sur R+, et elles satisfont

∀x∈R+, f_n^′(x) = nxⁿ⁻¹(1 +x²ⁿ)−xⁿ(2nx²ⁿ⁻¹)

(1 +x²ⁿ)² = nxⁿ⁻¹−nx³ⁿ⁻¹

(1 +x²ⁿ)² = nxⁿ⁻¹(1−x²ⁿ) (1 +x²ⁿ)² . b. Nous déduisons de la question 2.a que

∀x∈[0,1[, f_n^′(x)≥0,

d’où la croissance des fonctions f_n sur l’intervalle [0,1[. Comme les fonctions f_n sont à valeurs positives, il s’ensuit que

sup

x∈[0,1[

|f_n(x)|= sup

x∈[0,1[

f_n(x) =f_n(1) = 1 2. c. Comme la série ∑

n≥1 1

2 est grossièrement divergente, la série ∑

n≥1

sup_x∈[0,1[|f_n(x)| est di- vergente. La série de fonctions ∑

n≥1

fn(x)n’est donc pas normalement convergente sur[0,1[.

3.a. Rappelons que la fonctionf_n est croissante sur[0,1[, de sorte que

∀x∈[0, a], f_n(x)≤f_n(a) = aⁿ 1 +a²ⁿ. Comme1 +a²ⁿ≥1, nous concluons que

∀x∈[0, a], f_n(x)≤aⁿ.

b. Comme les fonctionsf_n sont positives, il découle de la question 3.a que sup

x∈[0,a]

|f_n(x)| ≤aⁿ.

Comme0≤a <1, la série géométrique ∑

n≥0

aⁿ est convergente. Il résulte donc du principe de comparaison que la série de fonctions ∑

n≥1

f_n(x) est normalement convergente sur[0, a].

c. Soit[α, β]un segment de[0,1[. Notons β =a. Nous savons que [α, β]⊂[0, a],

ce qui entraîne que

sup

x∈[α,β]

|f_n(x)| ≤ sup

x∈[0,a]

|f_n(x)|. Par le principe de comparaison, comme la série de fonctions ∑

n≥1

f_n(x) est normalement convergente sur[0, a], elle l’est aussi sur[α, β]. Elle est donc normalement convergente sur tout segment de [0,1[. En outre, les fonctions fn sont continues sur[0,1[, et le théorème de conservation de la continuité assure que la sommeS est continue sur[0,1[.

d. Par définition, nous avons

∀x∈]1,+∞[, S(x) =

+∞

∑

n=1

xⁿ 1 +x²ⁿ =

+∞

∑

n=1

xⁿ x²ⁿ

( 1 +_x¹2n

) =

+∞

∑

n=1 1 xⁿ

1 +_x¹2n

=S (1

x )

.

e. Comme la fonctionx7→ ¹_x est continue de]1,+∞[sur]0,1[, et la fonctionSest continue sur]0,1[par la question 3.c, la fonctionx7→S

(1 x

)

est continue sur]1,+∞[par composition de fonctions continues. Par la question 3.d, ceci revient exactement à la continuité de la fonctionS sur]1,+∞[.

Exercice 3.

1.a. Nous savons que

a0=f(0).

Comme la fonctionf est solution de l’équation différentielle (ED), il vient a0=f(0) = 1.

b. Rappelons que

∀x∈R, f^′(x) =

+∞

∑

n=1

na_nxⁿ⁻¹ =

+∞

∑

m=0

(m+ 1)a_m+1x^m.

Il s’ensuit que

(2−3x)f^′(x) =

+∞

∑

m=0

2(m+ 1)a_m+1x^m−

+∞

∑

n=1

3na_nxⁿ= 2a₁+

+∞

∑

n=1

(2(n+ 1)a_n+1−3na_n) xⁿ.

De manière similaire, nous avons

f^′′(x) =

+∞

∑

n=2

n(n−1)anxⁿ⁻² =

+∞

∑

m=1

(m+ 1)mam+1x^m−1,

et nous obtenons

x(1−x)f^′′(x) =

+∞

∑

m=1

(m+ 1)ma_m+1x^m−

+∞

∑

n=2

n(n−1)a_nxⁿ

=2a2x+

+∞

∑

n=2

(n(n+ 1)an+1−n(n−1)an

)xⁿ.

c. Il résulte de la question 1.b que

∀x∈R, x(1−x)f^′′(x) + (2−3x)f^′(x)−f(x)

=2a₁−a₀+(

6a₂−4a₁) x+

+∞

∑

n=2

((n+ 2)(n+ 1)a_n+1−(n+ 1)²a_n) xⁿ.

Comme la fonction f satisfait l’équation différentielle (ED), le membre gauche de cette identité est nulle. L’unicité des coefficients d’une série entière assure alors que







2a1 =a0, 6a₂ = 4a₁,

∀n≥2,(n+ 2)(n+ 1)an+1= (n+ 1)²an, ce qui équivaut à l’expression

∀n∈N, an+1= n+ 1 n+ 2an.

2.a. Commea0= 1>0, il découle de la question 1.c et d’une récurrence surn∈Nque

∀n∈N, a_n>0.

b. D’après la question 2.a, la suite(a_n)_n∈Nest à termes tous non nuls. D’après la question 1.c, elle vérifie

an+1

a_n = n+ 1 n+ 2 →

n→+∞1.

Par le critère de d’Alembert, le rayon de convergence de la série entière ∑

n≥0

a_nxⁿ est donc égal à1.

c. Comme le rayon de convergence de la série entière ∑

n≥0

a_nxⁿest égal à 1, la sommef de cette série est bien définie et de classeC^∞ sur l’intervalle]−R, R[pourR= 1. Les calculs précédents sont justifiés sur cet intervalle. La fonctionf est donc une solution de l’équation (ED) sur l’intervalle]−1,1[, qui est développable en série entière sur cet intervalle.

3.a. Nous vérifions par récurrence surn∈N que

∀n∈N, a_n= 1 n+ 1. Il s’ensuit que

∀x∈]−1,1[, f(x) =

+∞

∑

n=0

xⁿ n+ 1.

b. Rappelons que la fonctionx7→ln(1 +x)est développable en série entière sur l’intervalle ]−1,1[, et que son développement est donné par la formule

∀x∈]−1,1[,ln(1 +x) =

+∞

∑

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ n .

Ceci assure que la fonctionx7→ln(1−x)est aussi développable en série entière sur]−1,1[, et que son développement vaut

∀x∈]−1,1[,ln(1−x) =

+∞

∑

n=1

(−1)ⁿ⁻¹(−1)ⁿxⁿ

n =−

+∞

∑

n=1

xⁿ n .

c. D’après la question 3.b, le changement d’indicem=n−1 conduit à l’expression

∀x∈]−1,1[,−ln(1−x) =

+∞

∑

m=0

x^m+1 m+ 1. Lorsquex̸= 0, nous obtenons

−ln(1−x)

x =

+∞

∑

m=0

x^m

m+ 1 =f(x), par la question 3.a. La question 1.a assure par ailleurs que

f(0) = 1, ce qui permet de conclure.