I – Fonctions du type ;

(1)

Chapitre 13 Fonctions de référence

I – Fonctions du type ;

1)

é , la représentation graphique de f dans un repère orthogonal , ,

est une parabole.

10 10 5 2 0 2 5 10 10

10 10 25 4 0 4 25 10 10

La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Donc f est une fonction paire

f est strictement

décroissante sur ∞, 0 f est strictement croissante sur 0, ∞

Pour tout , 0 c.à.d. f est une fonction positive.

• f est paire : pour tout ,

• variations de f :

Soient é ∞, 0 ;

é

10 2 10 ^2 100; 2 ^2 4 100 4 donc on conclu que f est strictement décroissante sur ∞, 0

Soient é 0, ∞ ;

5 10 5 25; 10 100 5 100 on conclu que f est strictement croissante sur 0, ∞

• Soit A un réel strictement positif très grand

0 , é ; on dit que f tend

vers ∞ ∞

0 , é ; on dit

que f tend vers ∞ ∞

(2)

∞ 0 ∞ ∞ ∞

0 2) ; 0

0 (exemple 4 0 (exemple 4

Les deux courbes représentatives ici sont déduites de la courbe représentative de par une homothétie

_,

de centre O origine du repère et de rapport 1/

3) ; 0

2 3

La courbe représentative de est une parabole de sommet , 0 et un

axe de symétrie la droite d’équation elle est déduite de la courbe représentative de la

(3)

4)

3 La courbe représentative de est une parabole de sommet 0, et un axe de symétrie la droite des ordonnées ( 0), elle est déduite de la courbe représentative de la fonction par la translation de vecteur

5) ; 0

3 2 1

ù

La courbe représentative de est une parabole de , et un axe de symétrie la droite d’équation , elle est déduite de la courbe représentative de la fonction par la composée de deux applications une homothétie

_,

et une translation de vecteur

(4)

II – Fonctions du type √

1) 0, ∞

√

est définie sur 0, ∞ car √ n’existe que si 0

Pour tout a et b de 0, ∞ tel que on a √ √ Donc f est croissante sur 0, ∞

Soit A un réel positif très grand

0 0, 0, ∞ √ √

| | . à. . , on dit que tend vers ∞ quand tend vers ∞

0 1 4 9 16 100 10 10

0 1 2 3 4 10 10 10

0 +∞

+∞

0 2) , ∞

√

( √ 3)

La courbe représentative de la fonction √ est déduite de la courbe

(5)

III – Fonctions du type ;

1)

é ∞, 0 0, ∞

10 10 10 2 1 0,5 0,1 10 10

10 10 0,1 0,5 1 2 10 10 10

10 10 10 0,5 1 2 0,1 10 10

• Soient é 0, ∞ ,

Alors f est strictement décroissante sur 0, ∞

• Soient é ∞, 0 ,

Alors f est strictement décroissante sur ∞, 0

• Soit A un réel strictement positif très grand et un réel strictement positif très petit et tel qu’on a

0, 0 0 0

On dit que f tend vers 0 quand x tend vers ∞

• 0, 0

On dit que f tend vers ∞ quand x tend vers 0

• 0, 0

0 0

On dit que f tend vers 0 quand x tend vers ∞

• 0, 0

On dit que f tend vers ∞ quand x tend vers 0

∞ 0 ∞

0 ∞

∞

0 La courbe représentative de la fonction est appelée hyperbole, le point O(0,0) est

appelé le centre de l’hyperbole et les droites d’équations 0 0 sont appelées les

asymptotes de l’hyperbole.

(6)

2) ; 0

( )

(7)

( )

Les deux courbes des deux fonctions et sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

3) ; 0

( 3 )

La courbe représentative de est déduite de la courbe représentative de

par la translation de vecteur

(8)

Les droites d’équations 0 et sont des asymptotes de l’hyperbole Le point 0, est le centre de l’hyperbole

4) ; 0

( )

La fonction k est définie sur ∞, , ∞

La courbe représentative de est déduite de la courbe représentative de la fonction

par une translation de vecteur

Les droites d’équations 0 sont les asymptotes de l’hyperbole Le point , 0 est le centre de l’hyperbole

5) ; 0

( )

(9)

peut s’écrire où ;

Donc la courbe représentative de est déduite de la courbe représentative de par une translation de vecteur

Les droites d’équations sont les asymptotes de l’hyperbole Le point , est le centre de l’hyperbole.