TS Probabilités Conditionnelles / Combinaisons et probabilité / Loi Binomiale 2010-2011
CORRECTION EXERCICE 3 1. (a) T1et P1 étant équiprobables,p(T1) =p(P1) = 0,5.
D’après l’énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale àpP1(T2) = 1−0,8 = 0,2.
Toujours d’après lénoncépT1(T2) = 0,3.
(b) D’après le principe des probabilités totales :
p(T2) =p(T1∩T2) +p(P1∩T2) = 0,5×0,3 + 0,5×0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = 1 4. (c) Recopier et compléter l’arbre suivant :
b
un
Tn+1
0,3
Pn+1
0,7
1−un
Tn+1
0,2
Pn+1
0,8 (d) Toujours d’après le principe des probabilités totales :
un+1 =p(Tn+1) =p(Tn∩Tn+1) +p(Pn∩Tn+1) =un×0,3 + (1−un)×0,2 = 0,3un+ 0,2−0,2un = 0,1un+ 0,2.
(e) La calculatrice donne u1= 0,5 ; u2= 0,25 ; u3= 0,225 ;u4= 0,225 ;u5= 0,2225.
Il semble queun ait pour limite 0,222. . ..
2. (a) vn+1=un+1−2
9 = 0,1un+ 0,2−2 9 = 1
10un+1 5 −2
9 = 1
10un− 1 45 = 1
10
un−2 9
= 1 10vn. La suite (vn) est donc géométrique de raison 1
10; son premier terme estv1=u1−2 9 =1
2 −2 9 = 5
18. (b) On sait quevn =v1
1 10
n−1
= 5 18
1 10
n−1 . Commeun =vn+2
9, on aun= 2 9+ 5
18 1
10 n−1
. (c) Comme 0< 1
10 <1, lim
n→+∞
1 10
n−1
= 0, donc lim
n→+∞un=2 9. Or 2
9 = 0,222. . .ce qui valide la conjecture faite à la question 1. e.
CORRECTION EXERCICE 4
1. (a) Trois réponses possibles pour chacune des cinq questions : il y a donc 35= 243 mots possibles.
(b) L’élève repète 5 fois l’expérience de Bernouilli : obtenir la bonne réponse avec une probabilité de 1 3; ces expériences sont indépendantes, donc la variable aléatoireZ donnant le nombre de réponses exactes suit une loi binomiale de paramètresn= 5 etp=1
3. Doncp(Z = 1) =
5 1
1 3
1 1−1
3 5−1
= 5×1 3 ×24
34 = 80
243=p(E).
De même, la probabilité qu’il n’ait aucune réponse juste est : p(Z = 0) = 50
1 3
0 1−1
3 5−0
= 25 35 = 32
243=p(F).
Un palindrome est de la forme ABCBA : les trois premiers peuvent être quelconques, mais le quatrième choix doit être le même que le second et le dernier le même que le premier : On dispose de 3 choix pour le premier, 3 choix pour le deuxième et 3 choix pour le troisième. Ainsi 33= 27 palindromes possibles par rapport à 35= 243 mots possibles donc la probabilité est donc égale à 33
35 =1
9 =p(G).
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2. (a) D’après la question 1. un élève a la probabilité égale à 32
243 de n’avoir aucune réponse exacte. Un élève a donc aucune réponse exacte ou au moins 1 réponse juste : c’est une épreuve de Bernoulli. Les élèves répondant de façon indépendante les unes des autres, la variable X suit une loi binomiale de paramètres n= 28 et de probabilitép= 32
243. (b) La probabilité cherchée est égale à :
p(X 61) =p(X = 0) +p(X= 1) = 28
0 32 243
0 1− 32
243 28−0
+ 28
1 32 243
1 1− 32
243 28−1
= 211
243 28
+ 28× 32 243×
211 243
27
≈0,1006≈0,10 au centième près.
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