et que pour tout v∈R2,Df(v) est injective

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 UE de calcul diff´erentiel et analyse complexe

Feuille d’exercices n^o3: Th´eor`eme des accroissements finis

Exercice 1. (?) Soitf :R² →R² une application diff´erentiable. On suppose que lim

kvk→+∞kf(v)k= +∞

et que pour tout v∈R²,Df(v) est injective. Le but de l’exercice est de montrer que f est surjective.

Soit a∈R², on d´efinit g:R²→R, v7→ kf(v)−ak². 1. D´eterminerDg(v) en tout pointv.

2. Montrer que g atteint sa borne inf´erieure en un certain pointv0 et queDg(v0) = 0 puis conclure.

Exercice 2. (?) Soit F une partie ferm´ee de Rⁿ munie de sa topologie usuelle. On d´efinit f : Rⁿ → R, x7→d(x, F). On rappelle quef est 1-lipschitzienne et que pour toutx∈Rⁿ, il existey∈F tel que f(x) =d(x, y). On veut montrer que y est unique.

1. Soit x∈RⁿrF. On suppose quef est diff´erentiable en x. Montrer quekDf(x)k_L(Rn,R)≤1.

2. Soit y∈F tel qued(x, y) =f(x).

On consid`ere la fonction ϕ: [0,1]→R, t7→f((1−t)x+ty).

En calculantϕ⁰(0) de deux fa¸cons, montrer que Df(x)(_kx−yk^x−y ) = 1 et quekDf(x)k_L(Rn,R)= 1.

3. En d´eduire quey est unique.

Exercice 3. On consid`ereE =l¹(R) l’ensemble des suites r´eelles (un) telles que k(u_n)k₁:=P∞ n=0|u_n| est fini. L’espace vectoriel E est alors norm´e par la normek k₁.

1. Montrer que pour toute forme lin´eaire continueLsurE, il existe une suite born´eea= (a₀, a₁, . . .) telle que pour tout (u_n)∈E,L((u_n)) =

∞

X

n=0

a_nu_n.

2. Montrer que la norme k k₁ (vue comme application de E vers R) n’est diff´erentiable en aucun point de E. On pourra raisonner par l’absurde en s’aidant de la question 1.

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Exercice 4. (?)

1. Soit f :R→ Rune application d´erivable telle que pour tout x,f⁰(x) 6= 0. Montrer quef est un hom´eomorphisme sur f(R) et quef⁻¹ est d´erivable en tout point def(R).

2. Soit f :R→Rd´efinie parf(x) =x+x²sin(^π_x) si x6= 0 et f(0) = 0. Montrer que f⁰(0) existe et est non nulle mais que f n’est inversible sur aucun voisinage de 0.

Exercice 5. Soienta, b∈Rtels quea < b. Soitf :]a, b[→Rune application d´erivable. On suppose que

x→blimf⁰(x) existe. Montrer que f se prolonge par continuit´e en b et que f, ainsi prolong´ee, est d´erivable

`

a gauche en b.

1

Exercice 6. (?) Soit f :R² →R² d´efinie par f(x, y) = (x²−y, x²+y²) et soit g=f ◦f. 1. Montrer quef et gsont de classe C¹.

2. Calculer la matrice jacobienne J_f,(x,y) en tout point (x, y)∈R² et calculer la matrice jacobienne J_g,(0,0).

3. Montrer qu’il existeρ >0 tel que pour tout (x, y)∈B¯((0,0), ρ), on a kJ_g,(x,y)k ≤ ¹₂. 4. Montrer queg admet un unique point fixe dans la boule ¯B((0,0), ρ).

Exercice 7. (?) Soit f :R² →R² d´efinie par f(x, y) = (cosx−siny,sinx−cosy).

1. Montrer quekDf(x, y)k ≤√

2 pour tout (x, y)∈R².

2. En d´eduire que pour tout (x0, y0)∈R², la suite r´ecurennte ((xn, yn))n∈N d´efinie par x_n+1 = 1

2(cosx_n−siny_n), y_n+1= 1

2(sinx_n−cosy_n) converge. Donner l’´equation satisfaite par sa limite.

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