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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Valette, G. (1960). Sur la géométrie différentielle des rubans (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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U N I V E R S I T E L I B R E D E B R U X E L L E S 3iBLI0Tii£Q'JE DE MATHÉMATIQUES 3M P rr DE PHYSIQUE
SUR LA
QEOMETRIE DIFFERENTIELLE
DES RUBANS
Mémoire présenté pour l'obtention du grade de Docteur en Sciences mathématiques
TÂ.BLE DES fifi&TIEHSS.
page Introduction X
CHAPITRE I : LES RUBANS DANS UME VARIETE DIgFEREMTIABLE. 1 A. Généralité». 2
.1. Applications différentiables, Tariétés plongées, courbes 2 2. Jets locaux et jets infinitésimaux 3
3. Vitesses, éléments de contact 6
4. Groupes d*isotropie locale et dUsotrepie infinitésimale 7 3. Espaces homogènes 8
B. Définitions relatires aux rubans. 10 6. Rubans paramétrisés 10
7. Rubans, rubans locaux 11
8. Classe d*un ruban 13
0. Eléments de rubans du premier type. 15
9. Contact de deux rubans 15
10. Eléments de rubans 16
11. Coordonnées d*un élément de ruban 18
D. Espaces d^éléments de rubans du premier type. 19 12. Définitions et propriétés générales 19
13. Espaces élémentaires d'RCmjn) 23
14. Démonstrations et autres résultats 27
15. Homogénéité 55
16. Double homogénéité partielle 36
S. Eléments de rubans du deuxième type. 40
17o Une neuTelle notion d'élément de ruban 40
18. Les R{m,m,n) et les R(m,m-l,n) 42 Les R{gsm,n) — 4 ^
F. Espaces d'éléments de rubans. 49
20. Dimension et diagramme des espaces d'R(g,m,n} 49 21. Espaces à une dimension d*R(g,m,n) 3I
22. Espaces à deux dimensions d'R(g,m,n} 32
23* Quelques espaces à trois dimensions d'éléments de rubans 61
Gr. Détermination de tous le» éléments de rubans. 67 24. Théorèmes préliminaires 67
25. Tout élément de ruban est du premier ou du deuxième type 69
CHAPITRE II: LES RUBAMS DANS UM ESPACE HOMOGEME. 74 A. Géaéralitéa. 75
1. Espaces hemogènss 75
2. Inrariants 76
B. Les rubans dans un espace hsmegène. 78
5. Espaces d'éléments de ruban» 78 4. Invariants de rubans pointés 79
5. Invariants numériques et paramétrisations invariantoa 82 6. Rubans homogènes 63
C. Exemple; les rubans dans l'espace euclidien. 8,5
7. Espaces homogènes d'éléments de rubans 83
8. Longueur et repère naturel 86
9* Courbure normale, courbure géodésique, torsion géodéslque 88 D« Exemple: les rubans dan» l'espace pro.lectif. 90
10. Droites conjuguées et éléments asymptetiques 90
11. Quelques espaces d'éléments de rubans 92
12. La méthode du repère mobile 96
13. Les repères d'ordre (3,m,n) 104
14. Le repère naturel et les invariants fondamentaux 108 CHAPITRE III : LES RUBAHS DANS L'ESPACE OOME'ORME. 112 A. Généralités. II3
1. Notations et identités II3
2. Concepts de base de l'espace conforme 114 3. Couples et triples de sphères 116
4. Transformations conformes II7
5. Repères et équations de structure II9
Rubans et éléments de rubans. 121
6. Rubans paramétrisés et rubans 121
7. Les espaces homogènes d'éléments de rubans 122 8. Cercle osculateur, sphère médiane, etc 125
9. Eléments de rubans d'ordres (2,1,1) ®t (2,2,1) 128
10. Quelques espaces d'R(3,m,n) I3I C. Paramétrisations invariantes. I34
11. Torsion sphérlque I34
12. Paramètre principal I38
pas» D. La méthade du repéra mablle^ 143
14. Les repères d'ordres inférieurs ©u égaux à ( 2 , 2 , 0 ) 143
15. Les rubains dextr»gyres: repère naturel et inrariants 146
16. Les rubans principaux: repère naturel et inrariants I53 £. Application à la théorie des surfaces. 160
17. L'élément de tarsion sphériq.ua d'une surface 160
18. Formes q.uadratiq.ues invariantes déduites de d^f 163
19. Les géodésiq.ues de la torsion sphérique 166
20. Invariants et d'une courbe tracée sur une surface 16?
F, Les courbes et les rubans fermés en géométrie cenferma. 170
21. La torsion sphérique d'un ruban fermé I70
22. Sphères médianes et peints ©sculateurs d'un ruban principal I72 23. Les rubans principaux fermés 175
SOR LA GEOMETRIE DIFJEREMTIELLS DES RUB^S
IBTRODUCTIOlî
S 3S 3B 9V se SI 3K 8S SS ac 33Z SX
Le présent trarail, qui se place dans le cadre de la géemétrie différentielle des rariétés et des espaces heme-gènes, est une centributien à l*étude des rubans, ebjets géométriques définis par la^dennée d'une ceurbe et, en chaque peint de celle-ci, d'un élément plan tangent variant centinûment (1).
oooo
Les rubans ont été définis le siècle passé à l'occasion de travaux sur les équations aux dérivées partielles (cf. S. Lie IXli PP»
521-585),
mais des éléments de leur étude dans l'espace euclidien se retrouvent dans des travauxantérieurs, sans pourtant que la notion de ruban soit expli-citée: nous songeons aux recherches do G. Darboux (cf. C2j) sur les ceurbes tracées sur une surface. Cette théorie est on effet intimement liée à la théorie des rubans; en voici une première illustration (d'autres suivront dans le corps de ce travail)s dans l'espace euclidien tridimensionnel, ai p est un point d'une courbe c tracée sur une surfase S (c et S étant régulières), il est l'origine d'un trièdre naturel-lement attaché au couple (c,S) en p : le trièdre de Darboux; le déplacement infinitésimal do ce trièdre le long do c
introduit trois Invariants numériques; la courbure géodésique, la courbure normale et la torsion géodésique de (c,S) en p.
II Le trièdre de Darbaux, et par suite les trois iii"«rariants cités ne dépendent pas du csmportement de S «en dehsrs du Tsisinage du premier srdre de c«; ce sont dsnc, en fait, des inTariants du ruban dsnt les éléments plans ssnt ceux de S le l«ng de c.
La première étude explicite des rubans de l'espace eucli-dien figure dans un traité de mécanique de K. Heun [1] qui propose une terminologie adoptée, depuis, par les mathéma-ticiens allemands. Les liens, remarqués plus haut, entre la théorie des courbes d*une surface et la théorie des rubans ont été reconnus par W. Blaschko qui introduit, dans la troisième édition du tome I do ses "Vorlesungen», un cha-pitre consacré aux rubans; on 7 retroure plusieurs résultats qui figurent habituellement dans les chapitres résorTés aux courbes d*une surface. La même méthode d'exposition a été adoptée dans deux ourrages récents par W. Blaschke [2] et K. Strubecker Cl].
Quelques publications traitent des rubans dans le cadre d'une géométrie (au sens de Klein) bien déterminée; il s'agit soit de la géométrie euclidienne (1), seit de la géométrie de Laguerr© (2), soit de la géométrie de Lie (3), soit de la géométrie projectire (^). Ici, nous considérons aussi les rubans d'une variété différentiable sans structure additionnello (3) et les rubans de l'espace conforme.
0 0 0 0
La contribution essentielle de la présente étude concerne deux ordres de questions:
d'une part la notion d'élément de contact et, corrélatif rement, celle d'ordre des invariants différentiels (chapitre»
(1) Cf. M. Wiiïk^anB [il, H. Schatz [3,4}, F. Loboll Tl] ot S. Finsterwalder fl].
(2) Cf. E. Schatz tl»23.
(3) Of. W. Blaschke et G. Thomsen [l],
(^) Cf. G. Bol Cl,2ll.
I et II);
d'autre part la géemétrie différentielle conforme des
rutans et, par conséquent, celle des surfaces (chapitre III). Reprenons, arec quelques détails, le premier de ces point». Un rulsan étant formé d'un support et d'une famille d'éléments plans, il est naturel de caractériser son degré de différen-tiabilité par deux indices m et n, à saroir les degrés de différentiabilité respectifs du support et de la Camille d'éléments plans; nous disons que le rulDaui est de classe
Qm,n^ De même, nous disons que deux rubans ont en un point un contact d'ordre {m,n) si leurs supports ont en ce point un contact d'ordre m et leurs familles d'éléments plans un con-tact d'ordre n. A partir de cette notion de concon-tact, nous définissons, sur le modèle de la définition des éléments curvilignes, les éléments de rubans d'ordre (m,n), que noua appelons aussi R(m,n).
La variété étant à présent munie éventuellement d'une structure additionnelle (cas d'une géométrie de Klein), nous pouvons convenir qu'un invariant en un point p d'un ruban ^ est d'ordre (m,n) s'il est défini par l'R(m,n) de (R» en p et non par un élément de ruban supportant cet R{msn). Mais une telle définition a un inconvénient: un invariant peut posséder deux ordres distincts; c'est le cas, en géométrie euclidienne, pour la courbure normale qui est à la foi» d'ordre (1,1) et d'ordre (2,0). Pour éviter un tel résultat, nous avons été amené à modifier la définition des éléments de rubans. Le choix de la nouvelle définition est basé aur la remarque suivante qui se rapporte aux éléments curvili-gnes d'une variété V de classe : tout élément d'une
1
IV R{nisn) en sent éTidemraent des cas particuliers, mais ce ne
sent pas les seuls. Neus mentrens (§ 19 et 25 du chapitre I) que l'ordre d'un élément de ruban - et par conséquent aussi l'ordre d'un invariant - est caractérisé par trois entiers g, m, n; le» éléments de ruhans seront donc de» R{gjmjn), Une justification a posteriori de la définition adoptée
se trouTe dans le théorème 4.1 du chapitre II : un invariant ne possède qu'un ordre.
oooo
Le premier chapitre de notre travail est consacré aux rubans définis dans une variété différentiahle à trois
dimensions. En plus de la discussion de la notion d'élément de ruban, nous y étudions les espace» d'R(g,m5n), c'est-à-dire les variétés analytique» dont les points représentent de façon naturelle les R(g,m,n) supportés par un R{g'jm',a') donné; les autemorphismes locaux de la variété qui conservent cet R{g',m*,n') induisent dan» l'espace d'R{g,m,n) considéré un groupe de transformation» que nous déterminons dans do nombreux cas; cela nous permet notamment do démontrer
quel-ques théorèmes analogues à ceux de G. Masettî Eiggiogero
[1,2] pour les courbes planes: si, par exemple, un espace
d'éléments de rubans a une structure de droite affine, trois éléments de rubans représentés par les points de cette
droite ont un rapport de section invariant pour les autemorphismes locaux de la variété.
tif, en considérant des familles de repères d®nt l*«ràre est fixé, non par un entier, mais par un triple d*enti«rs (g,m,n).
Le troisième et dernier chapitre développe la théorie des rubans de 1*espace conforme à troi» dimensions. Nous montrons que, dans cet espace, un ruban possède trois paramétrisations invariantes d*o;:?dre minimum: 1© paramètre de H. Liebmann [1^ et deux autres q.ue nous appelons paramètre principal et tor-sion sphérique; l^étude de la tortor-sion sphérique des rubans ayant mime support conduit à un théorème dont le classique théorème de JToachimsthal est un© application. Dans une sec-tion consacrée aux surfaces de 1*espace conforme, nous mon-trons que l'élément de torsion sphérique des rubans définis par les courbes d'une surface mène à la considération des formes quadratique» de K. Ogura [ij, qui sont les formes fondamentales de la géométrie conforme de cette surface (cf.
a, Thomsen Cl3)* Nous nous occupons enfin do questions de
géométrie globale, énonçant quelques théorèmes qui oat cer-taines analogies arec le théorème des quatre sommets de S. Mukhopadhyaya C^l •
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Je suis heureux do remercier ici Monsieur le Professeur J. Tits qui a dirigé ce travail et n'a cessé de me guider dans mes recherches; les nombreux entretiens qu'il n'a accordés ont été pour moi une source de réflexion et un perpétuel encouragement^
Ma reconnaissance va aussi à Messieurs les Professeurs P. Libois et R. Debever pour les précieux conseils et les intéressantes suggestions qu'ils m'ont prodigués.
Enfin, que Monsieur le Professeur Ehresmann soit remercié pour l'intérêt qu'il a accordé à ce travail lors de mon
GHAPITiàB I
L E S RUBAM5
A. G-MERilLITES.
Cette première section est essentiellement consacrée à des définitions. Partant de la notion de variété réelle de classe
j nous précisons d'abord la terminologie utilisée pour les
variétés plongées et pour les courbes. Nous reprenons ensuite les définitions, dues à C. U'iresmann, de nombreux objets locaux et infinitésimaux. Enfin, nouis indiquons le sens q.ue noua
attribuons dans ce travail à la locution ^tespace homogènen, 1. APPLICATIONS DIFJB'SRMTïABLES, VARIETES PLONGEES, COURBESo
Soient W et ¥ deux variétés de classe C^, de dimensions res° pectives m et n, soit f une application définie sur un voisinage U d'un point p de W et à valeurs dans V et soient fx"*")-,
et (y*'),^^ à@3 coordonnées locales admissibles valables " 1 ^ j f, n
respectivement en p et ©n f(p)« L'application f est dite r fois continûment différentiable en p ou de classe en p si elle
s'exprime, par l'intermédiaire des coordonnées locales^ par 1® système
(loi) y^ = f^îx^-,...,z'^ï , l ^ j ^ a ,
où les f'' sont r fois continûment différentiables au point
q. « ^^^ÎPÎ ^1:^ i<ia • ^® ^^^^ de f en p est, par définition, le rang de la matrice jacobienne du système (1,1) ©n q. On dit
que Inapplication f est de classe sur une partie A de U si elle est de classe C^ en chaque point de A. Lorsque les variétés W et ¥ sont de classe (resp. analytiques)» on
définit semblablement des applications de classe C"^ (resp» analytiques)o
On appelle plon^ement d'une variété W dgjis une variété V toute application continue f définie sur W et à valeurs dans ¥o Si W et V sont des variétés de classe 0^ d© dimensions
1
3 le ploiig®ia®nt est dit globalement ré^Mllor,
On définit la notion de rariété (localement régulière) \ plongée dans 7 en étalolissant une relation d'équivalence dans l'ensenible des plonsernsnte Clocalement réguliers) dans V«
Pour cette relation^ deux ploageiaeats flocalement régulière) j
•^1 ° Wj^^"^ ^2 ° ^ " ^ ^ équivalents s*il existe un
homéoaorphisme (ds classe 0^) g s Wg-» W-j^ tel q.u® •» fj^og o ; Une class© d'équivalence ainsi formé® ost dite variété plongée :
(localement régulière) dans li nous dirons qu'elle est définie ; par o Si tj^ est une application injectiveg la variété |
plongé© est dite simple, ;
Dans le ca£5 où W est une variété à un® dimensionjj on 1^ iden-tifie à un intervalle de la droite réelle R ou à un cercle réel» \ lia notion de plongoiaent d© W dans ¥ se réduit alors à celle de courbe paramétrisée (ouvert® si W est un intervalle d© Rg •
fermée si W est un cercle réel)g tandis que la notion à® vori- j été plongée n*est autre que celle de courbe<• Lorsque Y est de classe 0 5 un plongeaent localesaeat régulier sera encore appelé i courbe paramétrisée de classe 0^ et une variété plongée loca^ lemant régulière, courbe de classe 0^. Notons enfin qa*aux deux 1 sens de parcours d^un intervalle de R ou d'un cercle réel
correspondent deux sens de parcours des courbes de V; 1® choix | d*un ^ens de parcours sur une courbe fait de oelle^ci une 1 courbe orientée.
2o JETS LOG&m. ET JETS UWmiTESimVZ,
Y et 7* étant deux variétés^ appelons application T)ointée
pour cett© relation est. appelé® .1®t looal d® ¥ dans de
souroe y et de but tiv), où. (f^p) est un élément qtt9lconq.ue de la classa. Le jet local d® Cfgp) est désigné par jCfeP) et l'ensemble des jets locaux d® ¥ dans 7* par J C V J T * ) .
Soit ¥" * une trcisiàme variété. Etant donnés un Jet X d« J ( ¥ j ¥ » î et un ^et d® J(¥%¥*Md on pei^t définir un composé
X^oX lorsque le but de X est la source de X\ Si X est 1© jet
local de (f^p) ®t si X^ est le jet local de C f % p M où p^^ffp), l'application pointée (î'ofjp) appartient à C ° Î P j ¥ " | , L© jet jCfofgp) ne dépend q.ua de X et X' et est par définition le composé X^oX , L*aBsooiatlvité de la composition d'applications entraîne l'associativité de la composition de .jets locauxg si X'oX et X'^oX' existent3 les composés (X"^oX'^)oX et X'^oCX'^oXl existent et sont égauxo
Désignons par â(p) (respo jCp")) 1® jet local de source p (respo p M de l'application identiq.ue d© ¥ (resp« ¥ M . Si X est un jet local de source p de ¥ et de but p' de ¥ % il est dit inversible lorsquHl existe un jet local X' tel que X'«>X « jCp) XoX' - jCpM.
Etant données deux variétés ¥ et ¥' de classe O^g on peut définir des jets locaux de classa 0^ de ¥ dans ¥''; o® sont les jets locaux des applications de classe définies dans des
parties de ¥ et à valeurs dans ¥"0 Lorsqu'on suppose 1©8 variétés de classe C®® fresp. analytiques)j on introduit d© même la notion d© jet local d® classe C^espo analyticmen^)
Soit maintenant C^CpoR*^) l'ensemble des applications poin= téss CfjPl où p est fixé et où f est un© application d© classe 0^ au point p de E®, d'un voisinage de p dans E^o Deux éléments
Cf,pî et f f s P Î d© G ^ C P J R ^ ) sont dits d® B^me reclasse en p
1 I
5
I
r-Jet de souyce p et de tixt f(pK où (fgp) est un élément | quelconque de la classeo L^eztension de la notion de jet | infinitésimal auz variétés réelles s® fait sans difficulté en utilisant les acrtes locales« et 5tant des uariétés I de olaas© C^j on ot>ti©nt le .let infinitésimal d'ordre r ou \ r-.1et de aouroe dacs Y et de but dans L® r-jot de l^appli» cation f en p est noté j (f,p) et l^e-nseable des r-^ets do V | dans J^CV,?')« La coEsposition de £ieu:i: r-jsts se définit !
comme la cotaposition do deux ^ets locaux» i
Soit cf^COjjO) l'ensemble des r-jets ayajat pour source l'ori» j gin© de et pour "but 1*origine de iî^« Jout élément Y d© j
J^COgOl est le r-»jet de source 0 d^'une application "bien déter» j loinée de la forme ^ i i
^1 ^i**-^^.
où Cx^îj^^i^jg est un peint d© R"* et Cy^l^^j^j^ s ^ point de j R^. les coefficients a^^ S étant ?,3raaé1;riqu©s par rapport j
aux indices i, 3.,,, i^ . En considérant le,-? a^^ . où 1 X. * * * le
^ 1 ^ ^2^* * " •^®^ coordonnées de Y, on munit J ^ ( 0 , 0 |
d*une structure de variété analytique réelle isomorphe à un espace numérique. Cette conclusion n^est pas modifiée quand
i i
on considère les x ©t les y** cosîm© des coordonnées locales d© variétés ? ©t ¥' d© classe C^s p étant un point d® T ©t j un point àe Y\ l^enseaible J^fp^pM est natur@llement siuai d^une structure de variété analytique réelle isomorpho à un espace numérique,
Il ©st clair qu®^ si CfsPÎ ®* Cf%p) appartiennent à la > même classe local© en Pa ils appartiennent aussi à la mime | r-class© ©n p. Ceci permet d'identifier un r-jet à un© olass® de jets locaux. Seœ'bla'blefflentp si ff^p) ©t (f%p) appartiennent i à la mime r-> classe en p^ ils appartiennent aussi à la ailm© | k°olasse en p, pour îc<rg ce qui permet d'identifier un k-°j©t à une classe de r-jets» Les applications qui font corr©spondr©a ^ à une application pointée ou à un jet, les jets qui 1© con- \ tiennent, sont dites canoniques» |
1 1
6
3.. VITESSES, ELEliîEHTS DE GOSiTAOT.
Soit ¥ une variété d© dimension n et d© class© C^. On appelle vitesse dans Y„ de centre de dimension m et d"ordre r^ un r^jet de source en l*origin» 0 de et de "but ©n un
point p de ¥9 Une telle vifc©cs9 esit 1® r-jet de source 0 d^'une application bien déterminée de la Xosms
^1 ^l'"^r
où les x^ sont les coordonnées dans E*^ et les des coordonnées locales choisies ralaî>les en Pa les < étant syœétricLues
par rapport aux indices i^^ ij^. 0 L'application défiai© par
C3ol) est appelée représentant poIynoBdal de la vitesse
considérée et les coefficients a^^ ^ tels que iT^i_^,..i,, coordonnées (relativeaient aux coordonnées locales choisies) de cette vitesse» On suppose en général m ^ n . Sous cetto hypo-thèseg une vitesse Y est dite régulière si la oatrioe des coefficients a^^ du r@T)résantant polyaoïoial de Y est de rang a« Définissons une relation d''équivalence dans l'ensemble des vitesses régulières dans Yg de dimension m et d^ordre ri deux telles vitesses et Y^ sont équivalentes s^ll existe un
r=>jôt de source et de "but 0 qui soit tel que Yg " ï X| et Yo ont alors Eilae centre p , Un élément do contact dans ¥^ de centre p>, de dimension m. et d'ordre g est une classe d*équi-valence pour la relation ainsi définie,
Pour m •» I9 un élément de contact s'appelle aussi élément curviligne, pour m « 2j, élément superficiel; pour r » Ij, un élément curviligne s'appelle aussi direction et un élément superficiel;, élément plan.
Supposons maintenant que ¥ soit un® variété de class© à trois dimensions» In un point p de ¥, de coordonnées locales Xf, une vitesse de dimension 1 et d'ordre 1 est définie
7
et do 2:% y", non toutes null«s et données à un facteur
près. Une "^-itesse de dissension 2 et d'ordre 1 ost déflnio par les valeurs y, x^^ - ^ ^ " « • • ' » *2 " ^ «
et un élément plan par les valeurs de Xg y, z, et de ( 3 . 2 ) X - y^^Zg - ygZj s Y ° 2 i i 2 • ^2^1 " ^ ° ^1^2 ° ^2^1 ^
non toutes nulles et données à un faoteur près. Identifiant les directions et les éléments plans de centre p respecti-vement aux droites et aux plans de 1 ^espace vectoriel <;an-gent à ¥ en Pi, on définit l'incidence d'une direction et d^un élément plan. La condition pour q.u@ la direction ijL\y\z^) et l'élément plan (X^Y^Z) soient incidents s'écrit
( 3 o 3 ) x'X + y*Y + z*Z o 0 .
Lors du changement de coordonnées locales défini par X • f(Xpy,z) j
(3.4-) y « g(x,y,s) ^
z « ^4x8y,2) g
où les fonctions f, g, h, sont de classe 0^^ les coordonnées â*un élément Plan so traiisforment selon (3«4) «t
[3Ci,yî ^(h.f)
1
[x,y)1
K y T ( 3 » 5 ) Y «On en déduit que l'enseialale F des éléiiênts plans de Y est eauni, grâce aux coordonnées Xj y, Zj X, Y, d^une structure de
variété de classe O^"^» C'est de plus un espace fibré ayant
Y pour espace de base et le plan projectif pour fibre.
d*isatropio local® d© V ©n p est isojaorphe au groupe d'iso» tropi® locale de R'^ en 0, 11^ étant considéré coam© variété de M%R^.B classe q,ue V«
Supposons maintenant ¥ de classe C"^, Appelons r-jet â*iso<-tropia de Y en p tout r«j©t inversible d© Êîource et de but p. Avec la loi de composition définie au § 2^ I*enseœ,ble dos
r-;)eted'i30tropie d® F en p fors® un groupe appelé groupe dHsotropic infinitésimale d'ordre g d® Y en p. ïl est iso-morphe au s^o^PQ d^isotropie infinitésimale d*ordre r de en 0,
on
(lue nous désignerons par •
Soit y im© vitesse dans Y, d© centre p^ de dimension m ©t d'ordre r et soit Z un élément du groupe d'isotropie infini"» tésiïoal® d^ordre r de Y en p, X^T esiiste et est encore une vitesse dans Y, de centre pg de dimension M et d^ordre r. On peut considérer XoX coime le transforœé de Y par X» Le groupe d^'isotrople infinitésimale d'ordre r apparaît ainsi comme un groupe analytique agissant analytiqueaent sur l'espace numé-rlq.u9 des vitesses dans ¥j de centre pg de dimension m «t d'ordre r» De plus^ il agit transitivement sur la parti© ouvert® d® cet espace formée des vitesses régulières et
transforma un élément de contact ©n un élément de contact; il opère donc analytiqueiaent et transitivement sur la variété analytiq.u@ des éléments de contact de centre p^ de diaension
M et d'ordre r,(^).
5, ESPACES KQMWmB,
Soit Q un groupe analytique réel» Si H est un sous^groupe f eroié de G, la structure induite ©ur H par la structure de variété analytique de G est une structure de variété analy™ tique compatible avec la structure de groupe d® M C^)» Hous
(Ij Pour plus de détails sur les objets locaux ©t infinité-siïBaus définis ici^ voir 0. Shresmann £lj, f2j et [jilo
9 n'utiliserons dans la suite de o« travail q.uQ des sous-groupes fermés* Dans oe oas:, l*espao@ q.uoti©nt G/E d® Q par la rola» tion d'équivalence x""^ appartient à E a une structure de variété analytique réelle résultant de celle de G» Lb. dimen» sion de Q/E est la différence entr© o©ll@ de O et celle d® H,
Supposons que le groupe analytique réel Q aoit un groupe de transformations d'un© variété analytique réelle Y, Le couple
lYiQ) est appelé aspaoe hogogène Cou espace de [email protected]) si G
opère analytiqueafmt et tranaitivetneat sur 7, variété ?
est dite sous-jac'snte à l'espace hotscgène et sa disiension est appelé© diaeasion de l'espace hoMogàne. Le groupe G est encore appelé g;roupe fondamental de l'espace homogène» SI H est le sous^groupe des transformtions â® G conservant un point donné de Y, 1® couple (a/E;a) où Inaction d© G sur G/E est défiai© par gfa«H) gaoH est un espace homogène isomorphe à
On identifie souvent ces deux espaces.
Plus généralement, si G est un groupe cmalytiquo réel ©t E un sous^groupe fermé» l'espace quotient G/H peut toujours
être considéré c o m e un espace homogène dont le groupe fon-plus grand sous-groupe invariant de G contenu dans E,
Hous dirons qu'un espace hoiaogène est fibré Ç^) s'il peut
être partagé en une famille infinie àe sous^variétés fermées et si cette partition, appelée fiTaration» est conservée par toute transformation du groupe fondamental» Chacime des sous- |
variétés de cette famille est appelée filjre (2), on déduit da
la définition que les fi"bres sont des sous-variétés analytiques g | que le sous-groupe conservant un® fite© agit analjrtiquesent et
transitivement sur ses points et que l'ensemble des fihres est 1 naturellement auni d'un© structure d'espace homogène.
(3.) Les espaces considérés ici sont des espaces fibrés au sens topologique ordinaire; ils sont de plus localement triviaux.
(2) Les fibres d'un tel espace homogène sont aussi appelées classes d'imprisiitivité, G étant alors dit impriisitif.
B. SEFINITIOHS RELàTITES AUX RUB&NS.
csoMEacoasxsseaEaaaBa&sassasssssBaasassasss
L'olD^ei; géoméi;riq.ue dont nous faisons l^'étude est le ruljan de surface^ ou plus siraplsment ruban, d'une variété d@ class»
(r^l) à trois diiisneions; on peut s'imaginer un ruban ootsme formé d^une courbe c, dite courbe support, et en <âiaque point d© c, d'un élément plan tangent à o et variant conti~ nûmento La présente section rassemble les définitions relati^^-ves au3t rubans parafé tri sé s, aux rubans et aux rubans locaux; elle se termine par la définition de la classe d'un ruban^
q,ue nous caractérisons par deux indices a et n; 1^indice m précise le degré de différentiabilité de la courbe support et l'indice n celui de la famille d'éléments plans.
6. RUBAJ3S PÂBÀISTRISES.
V désigne, dans les § 6 et 7, une 'îrariété réelle de classe
0"^ à trois diiaensions. D'autre part^ noua notons I un des
ensembles suivants: un intervalle ouvert de la droite réelle H ou une circonférence réelle R/aZ.
Définition. Un ruban paraaétrisé de V est un Qb,1et géoiBé° trique formé
lo) d'une courbe paraaétrisée localement régulière appelée support du ruban pararaétrisé et notée c; le support d'un ruban paramétrisé est donc une application de classe 0^ d© X dan» 7 dont les éq.uations peuvent s'écrire
(Soi) X « x(t) p y = y(t) , z « z{t) , |x«| +!y»f +Î25'|>0 , X, y» z étant des coordonnées locales valables dans un certain
ouvert de ?, t étént un élément de X;
2**) pour tout t^ d'un élément plan P de centre (x{t}By(t|,asft]|, tangent au support; on suppose que P est fonction continue de tî cela a un sens, car l'ensemble dos éléments plans de ¥ a une structure naturelle de variété topologique F. On peut donc ajouter aux équations (6«1) les suivantes
1 1
X, Y, Z étant los coordonnéies d^ôlémeiits plans définies aus: forsiules C3«2). L'éiénsnt pian P étanfe, on c>iaq.U0 point» incident à la direction du support, les systèmes (6.1) at
(5o2ll doivent vérifier Inéquation (3.5)» c'est-à-^dire
7. RUB/UfS, RUBÂÎ2S LOCâUZ.
OoBBfie on le fait pour les variétés plongées„ on peut
considérer un ru'ban ooiaffle uno classe de rutans parafétrisés; plus précisément:
Définition. Etablissons la relation d'équivalence suivante dans l*©nseiable des rubans paramétrisôs: ^Daux gubana para° aétrisésfe-j^ et ^ 2 Cqui sont respQctivaaent des applications de ïj^ et d® Ip dans la variété F des élésienta plans &» Y) sont équivalents s'^il existe une M^leotioa contintaent âiffégeiifeia° •ble g de Ig sur qui soit telle (R^ « ^^^og. Un ruban est
une classe d'équivalence pour cette relation. Les supports
des rubans paraaétrisés d°une classe forsoent le support du ruban.
Sij dans (ôoDs l«i fonction x(t) est tell© que z^Ctg} Og on peut résoudre l'équation x =» x(t) dans un certain voisinage de tQ et obtenir t % t(x). In portant ce résultat dans les équations (6,1)et C5o2)s on obtient
y » yCt(x)) , z = 2{t(x)) ,
X » X(t(x)) , Y=»Y{t(x)) , Zr.z(t(x)) , |xj-î-gï|^|Z|>0.
Si, de plusj Z(tQ) ^ 0, les équations écrites oi-dessus entraînent, dans un certain voisinage de XQ = xtt^):
C7ol) y = f^fx) , z « fgCx) 5 (7»2) f - fjCx) , |:= f^(x) .
Les fonctions f a i n s i obtenues à partir de deux rubans paraiBétrisés équivalents sont les mêmes dans un certain voi^ sinag® de SQ . Gela justifie la choix fait, dans ce chapitre, quant aux équations C 7 o l ) ©t ( 7 o 2 ) eoEffie équations d'un ruban^
Insistons sur le fait q.ue les fonctions f n e sont pas indépendantes: la relation (6.3} devient
C7.5) * fl^f;^ + ^2° - ° "
de sorte q.ue le ruban est déterminé par f^ , t2 Çt f^ .
Définition. Un ruban paraaétrisé est dit ouvert ou fermé selon que 1© domaine de définition I ©st un intervalle
ouvert d© R ou un© circonférence réelle. Les rubans paraiié-trisés é<2.uivalents à un ruban paranétrisé ouvert fresp. fermé) sont ouvert» (respo fermés); un ruban est ouvert (resp. fermé) 8*11 est classe de rubans paramétrisés ouverts (resp. fermés)
La question de l'orientation des rubans est différente sulvantai g.ue les rubans sont ouverts ou fermés. Notons
d'abord q.u'il y a deux types d'orientation:
1«») L'orientation du support. Dans F, la courbe
représen-tant un ruban est susceptible de deux orientations liées aux
deux familles connexes de paramétrisation de ce ruban. A ehaqu.® orientation correspond une orientation bien déterminée du
support. Dès lorss nous appellerons ruban à support orienté tout rubem pour leq.uel on distingue une des deux familles connexes de paramétrisation.
2*>) L'orientation des éléments plans. Tout élément plan de centre p est le support de deux éléments plans orientés. Si X, jg z sont des coordonnées locales de p, les coordonnées
d'un élément plan orienté seront x, y, z» Y, Zg où Xj Yg
2.3
Définition. Appelons ru'ban paramétrisé pointé 1© couple foroê d'un ruban païaaétriaé et d'une valeur du paramètre t. Un ruban paramétrisé pointé est donc une application pointée. Dans l'enssmble des rubans paramétrisés pointés de Y, établis-sons la relation d'équivalence suivante: Deux rubans paraaêtidaêa pointés C^j^jtj^) et C^2»*2^ sont équivalents s'il «xiste une bljeotion continûment différentlable g de ïg sur 1^^ telle qu® gttg) » tj^ et iHig ^ dRjj^og . Un ruban pointé est une olass© d'équivalence pour oette relation.
Notone que la notion de ruban pointé ainsi définie est plus adaptée à la gêonétrie différentielle que celle où le rubaa pointé serait un aoupl© f o r ^ d'un ruban ©t d'un point du support de ce rub£Ui« Ces deux notions ne coïncident que si l'on ne considère que des rubans dont le support est une courbe siBjpleo
Définition. Appelons ruban paraaétrisé local le ;îet local d'un ruban pararaôtrisé pointé. Dans l'ensemble des rubans paramétrlsés locauH de Vj établissons la relation d'équiva-lence suivante: Deux rubans paraEiétrisés Icoaux Y^^ et de sources respectives t-^ et t^ sont équivalents s'il existe un jet local de classe G^„ de source t^ et de but t^^ tel que Yg » YjoX. Un ruban local est une classe d'équivalence pour cette relation.
Il nous sera util© de considérer an ruban local coiaae une classe de rubans pointés. La possibilité d'une telle identi° fication vient de ce que, si deux rubans pararaétrisés pointés déterminent le Biême ruban pointé» les jets locaux de ces
rubans paraiiétrisés pointés sont des rubans paramétrlsés lo-caux qui déterainent le sieme ruban local,
8o OLàSSE D'Dîî RUBàïïf.
Il nous sera commode d'introduire une stuctur® d'ordre dans l'ensemble des couples Ca,b) de nombres entiers; M M poserons:
Deux couple;? c - (apt) et c' = {a%b*î forment une partis
d© Z qui possède une borne supérieure désignée par sup ^io.c''} et une "borne inférieure désigné© par inf o(c»o')î autrement
2 2
dit, Z*^ est un treillis.
Définition. Un ruban ^ est de elasse if^^'^ g^. !•) le support de 0^ est une courbe d© classe 0°^,
2o) l^image de ^ dans la variété g des éléments plans de V est une courbe de classe 0*^. C^)
Rappelons que, 7 étant de elasse c', F est une VB.riété de classe 0^"''', On en déduit les inégalités
(Soi) l«é«aér et O ^ n ^ ^ r ^ l
De plus, on a
{8o2î n ^ n
parce que la projection canonique de F sur V est de classe O^"'"''. Le nombre r étant fixé, les couples (o,nJ vérifiant (8,1| et
(8o2) forment un sous-treillîs T J de qui jouit de la
propriété suivante: Si îa,n) et (m*,n*) appartiennent à TjjOaa supj^CCia,n),Cni%n")) - sup CiB,n)„(Bi%n*)) ^ et une relation
r Z
analogue pour la borne inférieurep ce qui permet de négliger les indices et Z^ dans les sjTaboles de borne supérieure et inférieure.
Propriétés.
I l * ' " "• f ^
1*) SI (m^n) ^ C m % n M n tout ruban de classe 0^ est aussi de classe 0°^»^«
2**| 8i un ruban est à la fois de classe o°»^ et de classe
0°^*'^'^ 0 il est aussi de classe 0^»^ où Ca«b) » sup( Ça.nkCm'.aMK
(1) Si ¥ est de classe 0®*, on définit de plus les rubans do classe 0®®'^ et de classe 0^'®®; si V est analytique, on définit encore les rubans de classe O ^ * ^ , de classe
15 Co DS RX7B&NS DU PREMIER TYÎ>E.
Comme la classe d'un rulsan, le oontact de deuz rubans sera précisé par deux entiers m et n^ le premier indiq.uant 1®
oontact des supports^ le second celui des faodlles d'éléments planso A partir de cette définition, nous introduirons les éléments de rubans, qui sont aux rubans ce que les éléments curvilignes sont aux courbes. Nous terodnerons cette section en définissant les représentants polynomiaux d<^un élément de rubano
9o OOFTAOT DS DIÎIK RÏJBâMS.
Désignons toujours par F la Tariété à cinçt dimensions et de classe c'"^ des éléments plans de 7. La définition ««Deux rubans ont en un élément plan P un contact d'ordre n s H l s sont repré<° sentés dans F par deux courbes ayant en F un contact d^orâre n n
C^|i ne donne pas suffisamment de précision quant au contact des supports des rubans; nous lui préférerons la suivante.
Définition. Deux rubans Êtj^ et de classe o°»^ ont en un point p un contact d'ordre Ça,a) si les supports de et éL^ ont en p un contact d'ordre m et ai ^ éî»^ sont représentés dans F par deux courbes ayant, en un point de la fibre sur p. un contact d'ordre n.
Il est bien clair que a» n doivent être liés par les relations C8«l) et f6o2). On étend un peu la définition en convenant que Ê)-^ et ont en p un contact d'ordre (0,0)
s'ils ont mime élément plan en p, et ont en p un contact d'ordre (m,°l) si les supports de et ék^ ont en p un contact d'ordre
m; il faut alors remplacer les inégalités (8.1) et {8,2) par
C9ol)
(9.2) m ^ n
Le nombre r étant fixéj» les couples Cm,n) vérifiant f 9 o l )
et (9o2| forment un sous=treillis à nouveau stable pour les
lois sup et inf: on a donc
C9o3î aup-, « sup 5 et inf™ « inf ^ ^r Z*^ p -^r 2*^
et l'on suppriaera les indices Z et T^^ .
Propriétés.
1*>| Si deux rubans ont en p un contact d^ordre Cm*.n')n ils ont aussi ©n p un contact d'ordre Crsan),, pour tout couple
d^'eatiers Cm.nl tel que Çm.nX Cia^n') et vérifiant C9ol]i et
2«>| Si deux rubsms ont en p un contact d'ordre imsjn) et
un contact d'ordre (a'.n'K ils ont aussi en p un contact d^ordre égal à aupÇ Cm.nK f ta\a'H c
30) Si Jli ^ 2 en p un contact d'ordre Cm.a) et si
®i ^ 3 ont en p un contact d'ordre Cm'.n'K «t
ont en p un contact d'ordre égal à inf C (m,nK Cm\n') ),
10, ELSîidNTS DE RIÎBâHS.
La troisième propriété du contact a un important cas particuliers
Si ^ ont en p un contact d'ordre (la.n) et si et ont en p un contact d'ordre (a.n). et ont en p un contact d'ordre (m«n).
Il s'ensuit que la relation
ClOol) et ^ 2 ont en p un contact d'ordre Cm«n) w
est un©^relation d'équivalsnce dans l'ensemble des rubans de classe o*^'^ dont le support passe par p« D'où la
Définition. Un élément de ruban d'ordre Cm.a) @t de centre p est une classe d'éq^uivalenoe de la relation (lOoll.
Le s3rmbole n Rjiauijij^ n sera une abréviation de la locution n élément de ruban d'ordre (sijn) «, Nous pourrons ainsi
1 7
« l'RCm,n) du ïulDaii d^n rsBQil&cera la suivante; ni»E(mpB) oontenmnt le ruban ^ n.
Les symboles BQCi5,,n)9 H^(ia,n), «..désigneront des RCra^n) particuliers. Pour (m',n* ) ^ CrnsQ), la phrase » R^ÎE^n') supporta Rj^Craynl n signifiera que la classe de rubans R^fmsn) est contenue dans la classe de rubans Rj^(a%n»), Enfin, et dans le cas où fm® « jn» » (»8a) et ( s ' % n ^ • ) ^ (a^n») 9 aous dirons qjae R^fa,n) ©t R^CaSaM ont un contact d'ordre lorsque H^Cmj,n) ot R2(oi'9nM sont supportés par un même R(m«%n''M.
Propriétés»
l*î Si C^,p) est un ruban pointé de classe 0° »^ , ^ a en p un et un seul R{B«nK pour tout couple d'entiers Cmnnï tel que Cm,n)^Ca'.a') et vérifiant C9.ll et (9c2).
2») Tout RCm^n'^'il est supporté par un et un seul RCm^a). pour tout couple d'entiers {a,n!l tel que Cni«n) ^ Cm^^nH et vérifiant (9ol) et C9e2).
Remarque. Une autre définition des éléments de rubans peut âtre envisagées pour n^Oy appelons R(Eajn) le couple formé d'un élément curviligne A d'ordre n de ? et d^un élément cur-viligne B d'ordre m de Yg les conditions suivantes étant remplies:
10) qui est un® classe de courbes de F, contient au
moins une oourb@ itmge d'un ruban (et par suite une infinité)^
B**) 3s qui est line classe de courbes de Y, est contenue
deins la projection d© A dans 7»
Un l[{mgn) étant formé de deux classes de courbes^ 11 n'est pas identique à un RCm^n) qui est formé d'une classe de
rubans, néanmoinss se donner l'un équivaut à se donner 1'autrej en effet étant donné un Hfm^n):, ses rubans sont représentés dans ? par des courbes qui ont un contact d''ordre n et
déter-minent a i n s i un élément curviligne A vérifiant la condition 1®; d'autre part^ les supports de ces rubans ont un contact d'^ordre
m et déteriainent ainsi un élément curviligne B vérifiant la
g.ue les oour'bes de A qui sont inagos do rultans ®t qui ont
une oourbe de B comme projection forment un RCm^nK
Pour n « -1, on peut appeler RCmj-l) les éléments curvi-lignes d^ordre si de V. A nouveau, la donnée d'un R(m9<°l) équivaut à celle d'un ÏÏCmj=l)«
11. OOORDOKÎJEKS D'UH ELEiaSHT DE RUBAN.
Grâce à la remarque qui tersiine le § précédent, nous avons ramené la donné© d'un R{mjnî à celle d'un élément curviligne pour n " d® deux éléments curvilignes pour n > 0 . Il est dès lors facile d'attribuer des coordonnées aux R(mjn) d'un ruban dont les équations sont {7«1) et (7.2h
1°) Pour n = =1, on prend les coordonnées de l'élément
curviligne d'ordre m du support, c'est-à-dire XQ et fd^f.
;iioi) B. » rr » Ci =
où O ^ i ^ m .
2o) Pour m « n, l'élément curviligne B d^ua l^Ca^n) est déter= rainé par 1 ^élément curviligne A; on prend les coordonnées de c©lui-=ci9 soit XQ et '•d^f.
^ J^LdxJjx«=XQ '
où O ^ j ^ n .
50) Pour m > n ^ O , l'élément curviligne B d'un K m , n ) a pour
coordonnées (llol) ©t l'élément curviligns à a pour coordonnées
( 1 1 « 2 K On prend la réunion des coordonnées (lld) et { 1 1 . 2 ) 9
soit
Cllo3î XQ , B^ s g , j où O ^ i ^ m et 04^^n .
Il revient au mêra® de se donner le représentant polynomial de l'HCm^n) considérés c'est-à-dire la famille d'éléments plans d*équations
y « B Q + BJ^CX'XQ^ ^ + ... + BJQ{X-XQ)'° ,
ill.^) Ç " OQ-«-OI(X-XO) + ... ^C^(x»Xo)^f ... •«•O^CX^^XQI'^ ,
X9 D. ESPACES D*£I.Emn7S DE RUBANS DU PREMER TYPE.
L'ensaiabl* S(m,n) dos àléaents do rubans d'ordro (m^n) de V a une structure naturelle de variété (§ 12). Cette variété possède de plus un certain nombre de fibrations: pour tout
R ( m * , n M tel q.u© ( m ' ^ n * ) < (mpn), on a un® fibre formée de tous les R(n(,nî supportés par cet R(m%n^)o Ces fibres, notées E(mi,n;m%n")« seront les principaux objets d'éjbuds de cette
section. Nous commencerons par étudier celles pour lesquelles^
(ra'jn") ®t (mpn) sont consécutifs (§13 et 14), Nous pourrons
en déduire que le groupe d*isotropie infinitésimale d*ordre r de V en un point p opère transitivement sur la variété des RCmpn) centrés en p et tels que a ^ r et n ^ r - l (§ 15), Nous
terminerons la section en déterminant certains couples d^RCm^n) que le groupe d^'isotropie infinitésimale permute transitivement.
1 2 . DEFINITIONS ET PROPRIETES GENERALES.
Les coordonnées d^R(mi,n) définies au § 11 ne sont pas indé° pendantes, puisque les fonctions , ^ f^ et f^ sont liées
par C 7 o 3 ) . Si m « n, cette relation permet de calculer D Q , D^^ s
... , Djj^j^ au moyen des B^^ , C^^ et E^^ ; il y a donc + 5
coordonnées indépendantes : ZQ , B^^ , 0^^ , "E^ ( O ^ i ^ n ) et D^ o Si m ^ n , on peut calculer DQ , Dj^ p o.o , D^ au moyen des
®i » ^i ** » il y a par suite 2m + n + 4 coordonnées indé-pendantes; XQ g s ( O ^ i ^ m ) et Ej ( O ^ j ^ n ) , Ce qui
précède peut s'^exprimer en disant que les R(m,n) des rubans . d'équations C 7 e l ) et C 7 o 2 ) peuvent se représenter par des
points d'^un espace numérique è 2 f f l + n + 4 + 5 ^ dimensions.
Certains R(ra,n) n'ont pas de coordonnées (llo3)» ^i® suppoî?tant pas de rubans dont les équations sont (7ol) et (7o2|. Mais dans ce casc: on peut leur donner d^'autres coordonnées^ déduites
d'équations de rubans où o® n'^est plus x qui est variable X Y ï
précisément s
Théorème 12.1. Si Y est une variété de classe 0^ à trois dimensions, l'enseiable des R(n,,n) de Y a une structure natu-relle de variété de classe o^^^^°3. ^ ^ dimenaions. Pour m n« l'easeaTile de» R(mpn) de Y a une structure naturelle de variété de olagge 0^°'^à2m'«-n-«-4 dimensions.
Démonstration; nous avons vu au début de ce § que le nombre de coordonnées indépendantes (pour un système de
coordonnées) est 2a + n + 4 + 5 ^ g ce qui fournit la dimen» sien de la variété des R(mpn). Four déterminer la classe de cette variété, il suffit de voir comment se transforment les coordonnées d^on RCm^n) lors d^'un changement de coordonnées locales. Or^ les coordonnées d*un R(mj,zi) sont aussi celles d'unlCmpnîj c*©st-à=dire d*un coupla (A,B) d^ôléments curvi= lignes. A eût un élément curviligne d'ordre n de la variété
r=>l
F de classe C ; ses nouvelles coordonnées sont donc dos fonctions de classe o^"^""'' des anciennes, B est un élément curviligne d® ordre m de 7; ses nouvelles coordonnées sont donc
r<»ER.
des fonctions de classe 0 des anciennes. Si m »> n, on a r - a - l < r « = m et l^on conclut que la variété des RCn^n) est de classe 0 " « Si m>aj on a r - n » ! ^ r = m et l^on conclut que la variété des RCm^n) est de classe 0^"°^,
Désignons par E(m,n) la variété des RCm^n) de 7. Pour
(m',nM< (m^n) s il existe une application canonique de ECmjn| sur ]î(m%n'') (voir propriété 2°) du § 10)? elle fait corres-pondre à tout R{mgn)f l'RCmjn") qui le support©. Les images réciproques des RCm^n*^) sont des sous-varié tés fermées de SCm^n) ; de pluss
Théorème 1 2 o 2 o On peut munir l'ensemble des RCm.-,n) supportés
par un HÇm^n'') donné d*une structure de variété analytique à 2m 2ra' •» n n" * 1 ^ " <il mens ions.
21 aous-Tariété à 2m -> 2m* n dimensions. On munit cett® sous-Tariété d^une structur® de variété analytique en remarquant d'^a'bord qu@ tous les Rlta^nl considérés ont mim® centre^ soit p; on choisit alors dans 1 un système de coor-données y g z Talalile en p et l^cn ne considère plus que ceux qui peuvent s'en déduir® par des; cbstngeaients de ®oordon'=-nées analytiques et tels qu® H^foi^sJ^^l' conserve ses coordon®oordon'=-nées. On conclut alors comme au théorème précédent que les nouvelles coordonnées d^un HCm2,n| sont des fonctions analytiques des anciennes»
DéfiaitioBo L^ensemhle des RCm.n) supporté par un R{mV,HMn muni de aa etruc^are de variété analytique réelle „ est ai espace des RÇmon) au dessus d'^ua RCm^^^nM ou encore
B(m„n;m\B^|; l''RCm%nM est dit de hase et l^ECm,n;m\BM dont la hase est RQfm^^,n' se note EQCmffn;m'^^n^
Pour (ffign) > Cm%n'), désignons par p^fm^nîm"jnM l'appli= cation canonique de ECm^nl sur S(m*pn'')« Si Cm^n] > (ia\n'
m 0 tf a on a visiblement
prCm%n''?ïa'%n'MoprCia,nîm\n'') - pr(m,n;m» %n'^'î. Ceci nous permet d^étahlir un diagramme des SCm^n) et des prCm^n^m'jn'') « Dans l**exemple ci-dessousp les flèches et les compositions de flèches représentent les applications pr» Les
SCOî,-=lî«V Efmpn) de mime dimension ont
Nous nous limiterons dans le reste du chapitre à l*étud© des éléments de ruljans d9 csntro donné, Ca n^est pas diiBlauer la généralité q[U® de supposer alors que co centr® ost 1 ^ori-gine 0 do R ^ , Bien entenduj est considéré CODUQ© un®
varié-té d© classe 0 g c'est-à-dire que les automorphismes locaux de R^ sont les applications d® classe et de rang 3 d'un ouvert do R^ sur un ouvert d® R^. En particulier;, 1© group® dHsotropie locale en 0 est formé des Jets locaux d© classe
0^8 de rang 3, de source ©t d© but 0, D'autre part g pour tout
g tel cLue l ^ g ^ r^ il existe un groupe L | dHsotropi© infi-nitésimale d^ordre g en 0, formé des g^'jets de rang 3; de source et de but 0.
Le représentant polynomial d^un g^jet générique d© L | a pour équations:
X * ^100^ * ^oioy + ^001^ + • « • ^ ^00g=^^
(12ol) y" * ^100* * ^010^ ^001^ ^200^ ^OOg^^
^ °100^ * °oioy + ^OOl'^ °200^ a • • ^ °00g^^
avec
D''autre part5 les rubans passant par 0 «t qui ont pour équa-tions C 7 o l ) ©t (7<.2Î ont un Rftajn) ©n 0 ayant un représentant
polynomial d'équations y « B^x + 00. + B^x^ * B^-^i^*^ * B^x"^ z « 0,x + + 0„x^ + C„.,x^'*"^ + 0 x°* {12o3) X n f « Dg ^ ... + D^x^ y n s E Q + • O • *
Si l'on transforme un R(n,n) de centre 0 par d©ux automor= piiisiaes locaux conservant 0 ©t appartenant à un mêm© g-jet d© L | , les RCn^n) transformés sont identiques si g ^ n + 1 ©t
©n général distincts si g < n . Pour un HCnijnîp où r&>ns de centre 0 que l'on transforme ainsi^ on voit que les RCm^n) transformés sont identiques si g ^ a et en général distincts
25 si g<nio On en déduit quej pour m et g^n+l» le groupe
opère sur l'espace des Rîman) au dessus de 1 ^'origine de R^o Par suite?
ThéQrème 12o3. Pour g » m et g:^n-»-l. le groupe d'isotropie infinitésimale d^'ordre ^ en un point p opère analytlquement sur l^EfaiBn^Oo-ll de "base p et de la mime faoon que le paeado° groupe des automorphismes locaux Gonaervamt Po
Dans ee qui suit» la locution « le groupe induit par L | dans les Efronnsm^nM «» valable pour g ^ m et g^n+l^ désigna 1©
groupe quotient G/K» ©ù G est le sous-group© de L | conservant l'^RCta^n") de base et où K est le sous=groupe invariant de G conservant tous les RCm^n) supportés par l^R(m\n^) de base,
13o ESPACES ELEMEHTAIRES Rîm^n).
Définition» Un espace élémentaire d^RCm^n) est un SÇmr.ngm'^ on^ ]) pour lequel il n'existe pas de couple Çant?) tel que
'lm%,n^)< Ca.bKCmnn).
Un espace élémentaire est donc soit du type ECm^ngo^lsn)« soit du type ECmonia^n^l)o
Kous démontrerons que les espaces d'RCcapn| sont homogènes •t nous obtiendrons certaines de leurs propriétés en étudiant uniquement les espaces élémentaires d^RCm^nlo Hous verrons quej, pour g$^m et g ^ n + ln le groupe Induit par L | dans les espaces élémentaires munit ceux-^@i d'une structure d"espace homogène„ c'est-à-dire que ce groupe opère transitivement eî analytiquement sur les espaces élémentaires »
Le groupe induit par L | dans les espaces élémentaires est précisé dans les théorèmes 1 3 d à 13o9. Les démoastratioas de ces théorèmes seront données au § 14.
Théorème 1 3 d . Pour a^l. le groupe induit par dans I'ECIB-'-I^On°l| munit cet espace d*une structure de plan Projectif réelo
les R(0o=-1} aux points de V, Le théorème 13 »1 se ramène alors au suivant: Les automorphismes locaaa: conservant un point p de V munissent l'^enaemblg des directions centrées en p d^ua@ structure de plan Projectif réel,
La géométrie du plan projeotif peut Itre développée dans l'B(l8°ls03-l) ; mentionnons la notion fondamentale d*RClg-=l) alignés et la propriété:
Oorollaireo SI ^ dg » d^ ^ d^ sont quatre R(l„°l] dont aucun triple n^eat alig^né, les automorphismes locaux conser° vant chaque d^ ( l ^ i ^ 4 ) conservent tous les R(l.-l)o
L'identification des Rdp-lJ et des directions d^une parts des RCOpOÎ et dos éléments plans de l^autre» permet de parler de l"incidenco d'un Rfl»»!} et d'^un RfOpO). On a la
Proposition. Les R(l„-lî représentés par les points d°une droite du plan projectif sCln°I;0„-^l| sont tous incidents à un même RÇOnOI« (Démonstration au §
Il s'ensuit que l'I^^^OvOg^l) peut Itre identifié à l^espace des droites du plan projectif S(lj,=.l|0a-1). D ^ O ù î
Théorème 13o2. Pour g ^ l . la groupe induit par L | dans l''EgOoOsQn°l) munit cet espace d^une structure de plan projectif réel>
Remarquée Avec la terniinologie classique, c© théorème se ramène au suivantî Les automorphismes locaux conservant un point p de Y munissent 1''ensemble des éléments plans centrés en p d'aune structure de plan pro.jectif réel»
Considérant l'E(OpO|Og=-lî comme le dual de l«ECl5-l;0g<=l} ^ nous parlerons â*R(Oj<0) concourants et nous aurons le
Corollairec Si P^ „ Pg c il ^4 sont quatre RfOnO| dont aucun triple n*est concourant « les automorphismes locauz: con°
servant chaque P^ (1^ i g 4 ) conservent tous les RCQaO)e
Théorème 13»3. Pour gStl, le groupe induit par L | dans les EdriOsOftO) munit ces espaces d°une structure de droite
projective réelleo
25 !• théorèm® précédent s"énonce encoreî Les automorphiames locaux conservant un élément plan de V jaunisaoat l'ensemble des directions incidentes à 1 ^élément plan d*'ane structure de droit© projective réelle.
Trois points ordonnés distincts forment on repère de la droite proj'eotive. Par suite:
Corollaire. Les automorphismes locaux conservant trois
RflnOÎ supportés par un même RfOnO) conservent tous les RfloO)
supportés par l^RtO^M.
Quatre points ordonnés distincts d'une droite projective ont un invariant: leur birapport. Par suite:
Corollaireo Q.uatra RflaO) distincts supportés par un mSme
RÇO.Ol ont un invariant pour les automorphismes locaux; cet
invariant peut s'écrire sous forme de birapport»
Théorème 13o^« Pour g ^ a ^ l » 1® groupe induit par L | dans les ECmnOgtan°lll munit ces espaces d'une structure de droit© projeotivc réelle.
Remarque. Convenons qu'un élément plan est incident à un élément curviligne lorsqu'il est incident à la direction qui supporte l'élément curviligne? le théorème 13,4 ©st équivalent au suivant: Les automorphismes locaux conservant un élément ourvilign® de ? munissent l^ensemble des éléments plans incl° deats à l'élément curviligne d'une structure de droite pro^ .iective réelle.
Comme pour le théorème 13o38 on a deux corollaires: l'un est relatif au repère formé par trois HCmjO}^ l^autre à l'ia^
variant de quatre RCm^O) supportés par un mime RCmp^l).
Théorème 1^.^. Pour g:^n^2. le groupe induit par L | dans les ECma°l;m--la°l) munit ces espaces d''une structure de plan affin réel.
Remarque « Ce théorème est équivalent au suivant: Les auto.^ morphismes locaux conservant un élément curviligne d^ordre a ° 1 noté X raunissent l'ensemble des éléments curvilignes
^ ^ B ^ a ^ a ^ — M i M P a i — . i ^ n f M M E — i = ^ i f c i t » « — l u i i i i ^ — l i m a » » — g — — w c e m — 1 — a m w — i w i — — i ^ i ' » ina mwiim^mf^OfimmeamamfBtmimm^mfamXSmmmmmÊÊm
La géométrie du plan affin peut Stre développée dsuas les E(mf>°lsm°>l0->1| • Mentionnons les notions de milieu de deux RCfflp-lîj d'RCnijj^lî alignés et de rapport de section de trois R(œp<»l| alignés0 Notons la propriétés
Oorollaire o Pour 2^ les automorphiames]^ loca^ox conserTaat trois Rgmr,°-1)) supportés par un mifae R(Bi°ln-l| et J&OB. aligaés conservent tous les RCm^^l) supportés par l^R(m°7i(,"lK
Théorème 13«6» Pour g ^ a ^ 2 n le groupe induit par L | daaa les ECmF.m-=»l;ai°liiia°l] munit ces espaces d^un® structure de droite affiné réelle.
Ml a I p • ir • f T 1 I
Deux points ordonnés distincts forment un repère de la droite affine; par suite:
Oorollaireo Pour les automorphismes locau:c conservant
deux Rfaam^l) supportés par un mime RÇm-lnm-l) coniaervent tous les R(m«m°ll supportés par l°R(m°lf,m°l),
Trois points ordonnés distincts d'aune droite affine ont un invariant; leur rapport de section; on en déduit:
Oorollaire, Trois R(ninm~l) distincts supportés par un même R(m"lnm°l)) ont un invariant pour les automorphismes locaux; ©et invariant peut s'écrire sous forme de rapport de sectioa.
Théorème 13»7. Pour g ^ m ^ n + 1^2« le groupe induit par LI dans les ECfflnn^m^n°ll munit ces espaces â^une structure de droite affine réelleo
Comme pour le théorème 13o6p oa a deux corollaires; l'un est relatif au repère formé par deux RCm^nl^ l^autre à l^ia-variant de trois RCm^n) supportés par un mime Rim^nc-l),
Théorème 13o8« Pour g^n-8 l^2>. le groupe induit par L | dans les ECnBn;nan°l) munit ces espaces d^une structure de plan affin réel eoncrétiaé par une direction (sans ceatreK
2 7
dira do drolto parallèle à la direction qui concrétise 1® plan» Trois fibres ordonnées distinctes ont un invariant: un rapport
de section; de façon duale, trois directions ordonnées dis°> tinctes ont un rapport de section» Un triangle déteriaine trois fibres et trois directions ayant mime rapport de section.
Le groupe fondamental du plan affin fibré agit @omme le groupe de la droite affine sur 1^ensemble des fibres; le sous» groupe conservant une fibre agit comme 1® groupe de la droite affine sur les points de cette fibre. Par conséquents
Corollaire. Trois R(n^n) (n^ll supportés par un aSme
R(nnn°l]l ont un invariant pour les automorphismes locaux; cet invariant peut s ^écrire sous la forme d'^un rapport de sectioa»
Corollaire » Pour a ^ ln trois R Ç B ^ B ) appartenant à une mime
fibre d.°un Efannsnnn^ll ont un invariant pour les automorphlsaes locaux; cet invariant peut s^écrire sous la forme d^un rapport de section»
Théorème 15o9o Pour g ^ m < 5 n ^ - 2 ^ 2 « le groupe induit par
dans les EfcHansm^lnnl munit ces espaces d^une structure de plan affin fibré.
Comme pour le théorème 13.8, on a deux corollaires relatifs aux invariants de trois Rdspn) supportés par un mime RCm^l^nK
14. DEMOHSTaSLTIONS ET AUTRES RESULTATS.
L'R(mpn) au point 0 d*un ruban dont les équations sont f 7 o l ) et C 7 o 2 ) a un représentant polynomial dont les équations sont
( 1 2 o 3 ) o Les coefficients ^ * s \ s 0^ , ,,, , , ,
. . . p » EQ g ... et sont les coordonnées de l'RCmgn)
considérée Dans ce § g nous désignerons par R^Cmpa) 1 ^élément de ruban d'^ordre (mon) dont toutes les coordonnées sont nulleso Autrement dit, RQfmpn) est l*R(mj,n| du ruban d'équations
Rappelons enoops q.u»j lors de la transformation les coordonnées à°éléments plans se transforment selon
Démonstrations des théorèmes I3al et 13c2« L© théorème 1 3 d revient à montrer qù^on jet infinitésimal générique de induit une projeotiTité générique dans 1*S(1J=1JOB-1) . Ife tel jet a pour équations
®00ll
i>ooi ^ ^*
°001 !
Sous Inaction de ce jet^ l^RClp-l| d'équations {14o3) y « B^x e z » Cj^x 5
est envoyé sur l'RCla^l) d'équations Cl4o4) y» « Bj^'x , z» s Oj^^'x ,
Il suffit de porter {14o2î puis fl4o3) dans Cl4o4) pour obteair
X'^ « a^^QQX + ^010^ + ^001^ ^ 1 ^100 ^010
14 oi») y. ^ ^100^ ^010^'' b,.-.„a avec ^100 ^010 " *^1QÛ^ + ^010^ CQOI^ 8 1 °100 ®010 :i4o5) , ^100 ^ ^010^1 ^001^1 ^ '^lOO * ^010^ * *001°1 ®100 ®010®1 * °00i^l 0 ' ^ " ®100 ^010^1 ^001'
ce sont les équations d^une projectivité générique du plan
CBJ^SCJ^)^ ce qui termine la démonstration du théorème 15d» Pour
prouver la proposition énoncée avant le théorème 1 3 é c r i v o n s la condition pour que l^Rflj^ll de ©©ordonnées B^^j 0^^ soit in= cident à l*'n(OgO) de coordonnées DQ, SQ
(l4o6) DQ •«• « 0 ;
29
•n fonction de DQ , SQ st des ooefficients d« (14.2). Si noua désignons par A^jj^ s ®* ^ijk ^®®P®otivoffiont les minoors
^* ®"i31c ^ ^ijk ®^ ''i^k ^® déterminant do (14.2), 1« jot
d'ordre 1 de la transformation (14ol) a un roprésantant poly-nomial d^équations
(14,7) Y ' = BJ^QQK + BQ^^QY * B^Q^^Z ,
Sous l'action du jet (14.2), l*R(OpO) d'équations
fl4o8) i - »o ' I * ^0 •
est envoyé sur 1* R(09 0) d'équation»
(14.9) f»- " ' |T - ^o' '
Il suffit alors d© porter (14,7) puis (14,8) dans (14.9) pour obtenir ^ j ^ p ^ Q I Q ^ O ^ Q Q I
° < W \ ) * «010«0 * «001 ' ' , , °ioo°o * W o * °001
0 "• 0l00»0 * °010»0 * °001
oe qui torutino la démonstration du théorème 13«2.
Loasme 14ol. Lo .1ot générique ds Lj conservant RQC1P-1) a pour équations;
-^100^ * ^010^ *001* » (14oll) y' • boio3^ ^001* '
" °oioy °001^ '
c'est une consôqusnc© do (14,5) lorsqu*on y fait B-^ « OJ-JB-B ^ ' « G^^ « 0.
Leamo 1 4 , 2 . Le iat générique de conservant H Q ( 0 9 0 ) ^
pour équationsI
(14.12) y « DJ^QQX + Doj^Qy + bQQJ^Z „ 2 » - CQOJ^Z .
Démonstration du théorème 13o3« D'après 1© théorème 13 tous les R(0,OÎ sont éq.ul'^alents pour et sont en particulier équivalents à R Q C O ^ O ) . H O U S démontrerons le théorème pour I'l(l90;0g0) de M s e R^fOsO), c'est-à-dir© pour SQClgO;OgOÎ.
Un jet générique de , conservant RQCOOO}J, a pour équations
le système (14,12). Sous l'action de ce Jet, l*HClsO) géné-rique «apporté par R Q C O ^ O ) , d'équations
(14.13) y s Bj^x , s a 0.x 5 f « 0 9 J * 0 »
•st envoyé sur l'E(l,0) d'équations
(14.14) y' m B / x ' p 25» » 0.x' , JJ. » 0 , 1 ^ - 0 ,
On porte (14.12) puis (14,13) dans (14,14) et l'on obtient;
(14.15) B^' - a^oo " C A ^100^010 ° ^010^100 ^ ^ «
ce qui prouve que EQ(1,0;0S0) est suni d'une structure de droite projeotivG réelle. Il en est de même des autres SCl,0;0,0)e ce qui termine la démonstratiOAo
Démonstrations des théorèmes 13.4 . 13.5 et du Lemme 14.3. Pour k ^ l ,
RQCICï-I) a pour équations;
Lemme 14.3. Pour k ^ l « le jet générique de conservant
- ^100^ ^0103^ * ^001^ ^OOk^^ ' (14.16) y» - tQ^QV * \>QQjZ UQQJ^Z^ ,
2 ' " «^OlO^ «001^ OQQJ^Z^ , ^2â2 aj^oo^^oio^'ooi " ^001°010^ ^ ° ^ (14*17) \QQ - c^QQ « 0 pour l ^ i ^ k .
Le lemme est valalsle pour k » 1 puisqu'il se réduit alors au lemme 14,1. .Wous raisonnerons par induction pour le montrer pour k quelconque et démontrer en mime temps 1® théorème 13,5. Supposons donc vrai 1© lemme 14,3 ; sous l'action du jet
