Exo de Bac, Reunion 2005

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Fonctions – Septembre 2005, Réunion Exercices de Bac

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Exercice – Bac STT Septembre 2005, Réunion Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 a 80 tonnes de produit chimique.

Le coût de la fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d'euro, est donné par la fonction C définie par : C x 0,01x³ 1,05x² 37x 40.

Chaque tonne est vendue 19 centaines d'euro.

1. Déterminer les charges fixes de l'entreprise.

2. Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 40 tonnes.

3. Calculer C’(x) pour x compris entre 0 et 80 (où C’ est la fonction dérivée de la fonction C) et vérifier que C x 0, 03 x 35 ² 25

3 .

En déduire que la fonction C est croissante sur [0 ; 80].

a) Reproduire et compléter le tableau suivant :

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

C(x) 315

b) La recette est exprimée en centaines d'euro par la fonction R définie par R(x) = 19x . Tracer la représentation graphique de C et de R dans un même repère orthogonal.

Unité sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 10 tonnes.

Unité sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d'euro.

4. Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.

5. On note B la fonction bénéfice mensuel, exprimé en centaines d’euros.

a) Montrer que la fonction B est définie par :

B x 0, 01x³ 1,05x² 18x 40.

b) Montrer que B x 0, 03x 0, 3 x 60 où B’ est la fonction dérivée de la fonction B.

c) À l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de B’(x) sur [0 ; 80].

d) En déduire le tableau de variations de la fonction B sur [0 ; 80].

e) Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l'entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Justifier.

Que vaut alors ce bénéfice en euro ?

Comment retrouver ces deux résultats par lecture graphique ? Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.

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Exercice 01 – Bac STT Septembre 2005, Réunion Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 a 80 tonnes de produit chimique.

Le coût de la fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d'euro, est donné par la fonction C définie par : C x 0,01x³ 1,05x² 37x 40.

Chaque tonne est vendue 19 centaines d'euro.

1. Les charges fixes de l'entreprise sont les coûts de production de 0 tonne de produit.

Or C(0) = 40 donc les charges fixes sont de 4000 euros (40 centaines d’euros).

2. Calculons, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 40 tonnes :

• C(40) = 480 soit 48000 euros de coût de production de 40 tonnes de produit.

• R(40) = 19 40 760× = puisque une tonne est vendue 19 centaines d’euro, soit 76000 euros de recette lorsqu’on vend 40 tonnes.

• B(40) = 760 – 480 = 280 soit 28000 euros de bénéfice lorsqu’on produit et vend 40 tonnes.

3. →Pour x compris entre 0 et 80, C x'( ) 0.01 3= × x²−1.05 2× x+37 0.03= x²−2.1x+37.

→Pour vérifier que ^{C x}^{'( ) 0.03}⁼

(

^x⁻³⁵

)

²⁺²⁵₃ , on développe cette expression et on compare avec notre calcul de C’(x) :

( )

² ²⁵

( )

²

(

²

)

²

0.03 35 0.03 35 0.25 0.03 70 1225 0.025 0.03 2.1 37

x− + 3 = × −x + = × x − x+ + = x − x+ , on reconnaît dans

cette dernière égalité l’expression de C’(x).

Ainsi, on a bien ^{C x}^{'( ) 0.03}⁼

(

^x⁻³⁵

)

²⁺²⁵₃ .

→Comme un carré est toujours positif, pour tout x,

(

^x⁻³⁵

)

² ^≥⁰

(

^x⁻³⁵

)

²⁺²⁵₃ ^>⁰ ^{C x}^{'( ) 0}^> ^.

La fonction C est donc croissante sur [0 ; 80].

a) A l’aide de la calculatrice, on complète le tableau suivant :

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

C(x) 40 315 440 475 480 515 640 915 1400

b) La recette est exprimée en centaines d'euro par la fonction R définie par R(x) = 19x : R est donc une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine. Comme R(40) = 760, elle passe aussi par le point de coordonnées (40,760).

Pour représenter la courbe C, on utilise le tableau de valeurs précédent et la calculatrice.

Voir les représentations graphiques des 2 fonctions (dernière page).

4. Graphiquement l'entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe représentant la recette est au dessus de celle représentant le coût, cad à partir d’environ 24 tonnes produites (seuil de rentabilité).

5. On note B la fonction bénéfice mensuel, exprimé en centaines d’euros.

a) Le bénéfice B est défini par ^{B x}^{( )}⁼^{R x}^{( )}⁻^{C x}^{( ) 19}⁼ ^x⁻

(

^0.01^x³⁻^1.05^x²⁺³⁷^x⁺⁴⁰

)

^{= −}^0.01^x³⁺^1.05^x²⁻¹⁸^x⁻⁴⁰^.

b) → Par conséquent, B x'( )= −0.03x²+2.1x−18.

→ Mais

(

⁻^0.03^x⁺^0.3

)(

^x⁻⁶⁰

)

^{= −}^0.03^x²⁺^1.8^x⁺^0.3^x^{− = −}¹⁸ ^0.03^x²⁺^2.1^x⁻¹⁸ : on reconnaît l’expression de B’(x), donc on a bien ^{B x}^{'( )}^{= −}

(

^0.03^x⁺^0.3

)(

^x⁻⁶⁰

)

.

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c)d) A l’aide de cette dernière égalité, on va étudier le signe de B’(x) sur [0 ; 80] et ses variations

e) A l’aide du tableau de variations de B, on voit que 500 est le maximum de la fonction B et qu’il est atteint pour x = 60.

Ainsi, l’entreprise réalise un bénéfice maximum pour 60 tonnes produites et vendues, et ce bénéfice sera de 50000 .

f) Pour retrouver graphiquement ce résultat, il suffit de mesurer la plus grande distance entre les courbes recette et les courbes coûts.

En effet, le bénéfice est la recette moins le coût, donc graphiquement, cela corresponds à la distance algébrique (cad que cela peut être négatif) entre les deux courbes.

On constate que la plus grande distance a lieu pour x = 60.

x 0 10 60 80

- 0.03x + 0.3 + 0 - -

x-60 - - 0 +

B’(x) - 0 + 0 -

B (x) −40

-125

500

120

R

C

b e n e f m a x i m u m

2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 x

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5

R

C

20 30 40 50 60 70 80

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500

0 10

100

x y