Exo de Bac

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Fonctions Exercices de Bac

1

EXERCICE

1. Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle

[ ]

^1;20 ^par ^{f x}^{( )}^{= + +}₄^x ¹ ⁴_x^.

a. On note f ’ la dérivée de f ; vérifier que ( 4)( 4) '( )

4 ²

x x

f x x

− +

= .

b. Etudier le signe de f ’ sur

[ ]

^1;20 ^.

c. En déduire le tableau de variations de f.

d. Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de la fonction f au pointA(1;5, 25).

e. Tracer la courbe (C) et la droite (T) dans le plan muni du repère ( ; , )O i j ; unités graphiques : 1cm en abscisses, 4cm en ordonnées.

2. Le coût de production exprimé en millions d’euros pour fabriquer q milliers de tonnes de produit P est

donné par : ²

( ) 4

4 C q = + +q q .

Pour que l’entreprise existe, la production ne peut être inférieure à 1millier de tonnes du produit P et ne peut être supérieure à 20milliers de tonnes

a. Déterminer U q( ) le coût unitaire de production d’un millier de tonnes de produit P, lorsque la production est de q milliers de tonnes.

b. L’entre prise décide de choisir le niveau de production qui minimisera son côut unitaire. En utilisant la question 1 , déterminer cette production.

(2)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Fonctions Exercices de Bac

2

Exercice Corrigé

Soit ( ) 1 ⁴

4 f x x

= + +x définie sur I = [1 ;20].

1a. On a donc '( ) ¹ ⁴₂ ² ₂¹⁶

4 4

f x x

x x

= − = − . Or pour tout x, ^x²⁻¹⁶^{= −}

(

^x ⁴

)(

^x⁺⁴

)

. On en déduit alors

( )( )

2

4 4

'( )

4

x x

f x x

− +

= .

1b. Sur I, x+4 > 0 et 4x² > 0 donc f’(x) est du signe de x-4.

Or x-4 > 0 ssi x > 4 d’où le tableau suivant :

1c. On en déduit alors le tableau de variations qui suit :

1d. L’équation de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 1 a pour équation

( )

(1) '(1) 1 3.75 9 y= f +f x− = − x+ . 1e.Voir graphique.

2a. Le coût unitaire de production est par définition le coût total C(q) divisé par la nombre d’unités produites q.

Ainsi, ( ) ^{( )} ⁴ 1 4

C q q

U q = q = + +q .

2b. On remarque que f et U sont les mêmes fonctions. D’après le tableau de variations de f, le minimum est atteint pour x = 4. Le coût unitaire minimum est donc atteint pour 4 milliers de tonnes produites.

x 1 4 20 F’(x) - 0 + x 1 4 20 F’(x) - 0 + F(x) 5.25 6.2

3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 -1

8 12

0 1 4

x y