Exo de Bac

(1)

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Probabilités Conditionnelles Exercices de Bac

1

EXERCICE 1

Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer.

On rappelle que dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleur (pique, trèfle, cœur et carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

Margaux propose la règle suivante :

On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire une seconde carte et on regarde si c’est un roi.

On note R l’évènement « tirer un roi au premier tirage » et ₁ R l’évènement « tirer un roi au second tirage ». ₂ 1. Justifier les valeurs des probabilités suivantes :^{p R}

( )

¹ ⁼¹₈^, 1

( )

2

3

R 31

p R = et pR₁

( )

R² =₃₁⁴ . 2. On traduit le jeu par un arbre pondéré.

Reproduire et compléter l’arbre ci-contre en inscrivant les probabilités en écriture fractionnaire sur chaque branche.

Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

3. Exprimer l’évènement A à l’aide des évènements R₁ etR₂ : A « tirer un roi au premier et au deuxième tirage » puis calculer p(A).

4. Calculer la probabilité de tirer un roi au second tirage.

5. Les évènements R₁ etR₂ sont ils indépendants ?

6. On donne ^B⁼

(

^R¹^∩^R²

) (

^R²^∩^R¹

)

. Exprimer en français cet évènement et déterminer p(B).

Exercice 1 Corrigé 1. p R

( )

1 : il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes donc

( )

1

4 1

p R =32 8= .

pR1

( )

R2 correspond à la probabilité de piocher un roi au second tirage sachant qu’on en a déjà piocher un au premier. Il reste donc 3 rois et 31 cartes donc 1

( )

2

3

R 31

p R = .

pR₁

( )

R correspond à la probabilité de piocher un roi au second tirage sachant qu’on n’en a pas piocher un au premier. Il 2

reste donc 4 rois et 31 cartes donc pR₁

( )

R² =₃₁⁴ .

2. D’après la loi des nœuds (à chaque nœud, la somme des probabilités vaut 1), on a :

Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

3. A est l’évènement « tirer un roi au premier et au deuxième tirage » donc A = R1 R2. D’après les règles de calcul sur les arbres,

(

1 2

)

( ) 1 3 0,012

p A = p R R = ×8 31≈ .

4. Tirer un roi au second tirage, c’est tirer (un roi au second et au premier tirage) ou (tirer un roi au second mais pas au premier). D’après la formule des probabilités totales, p R^{( )}² = p R

(

² R¹

)

+p R

(

² R¹

)

= ×^{1 3}8 31 8 31 8+ ×^{7 4} = =¹ ^0,125. La probabilité de piocher un roi au premier tirage est donc la même que d’en piocher un au second.

5. On a ₁

( )

2

3

R 31

p R = et

( )

2

1

p R =8 donc pR1

( )

R2 ≠ p R

( )

2 : les évènements ne sont pas indépendants.

6. ^B⁼

(

^R¹^∩^R²

) (

^R²^∩^R¹

)

donc B est l’évènement cad (R₁et pas R₂) ou (R₂et pas R₁) cad « tirer un roi à un seul des deux tirages ». Ainsi, p B^{( )}= p R

( (

¹∩R²

) (

R²∩R¹

) )

= p R

⁽

¹∩R²

^{) (}

+p R²∩R¹

⁾

= ×^{1 28 7 4}8 31 8 31 31+ × = ⁷ ≈^{0, 226}.

R2

R1

R1 1 8

7 8

3 3 1 2 8 3 1 4 3 1 2 7 3 1

R2

R1