EXERCICE
Deux élèves de BTS ont créé un site Internet pendant leur cycle d’études. Ils ont relevé sur le tableau suivant le nombre de visiteurs par mois pendant les 8 premiers mois de fonctionnement :
1. Construire le nuage des points Mi de coordonnées (xi, yi) dans un repère orthogonal
( , , ) O i j
:2cm pour un mois en abscisses en graduant jusqu’à 14 2,5cm pour 5 visiteurs, en ordonnées, la graduation commençant à 315 en ordonnées
2. On nomme G le point moyen du nuage.
a) Déterminer les coordonnées de G.
b) Placer G sur le graphique.
3. On choisit pour ajustement affine du nuage la droite D passant par G de coefficient directeur 2.
a) Déterminer une équation de D.
b) Tracer D sur le graphique.
4. On suppose que le nombre de visiteurs évolue en suivant cet ajustement.
a) Déterminer graphiquement une estimation du nombre de visiteurs au mois d’août suivant :justifier par des traits de construction.
b) Déterminer graphiquement le rang puis le mois à partir duquel le nombre de visiteurs dépassera 340 : justifier par des traits de construction.
5. On considère maintenant un ajustement affine
∆
du nuage obtenu par la méthode des moindres carrés.a) Donner l’équation de cette droite
∆
en arrondissant les coefficients à 10-2.b) Calculer, en utilisant le résultat précédent, une estimation du nombre de visiteurs au bout d’un an de fonctionnement.
Mois Rang xi Nombre yi de visiteurs
Novembre 1 322
Décembre 2 325
Janvier 3 328
Février 4 327
Mars 5 334
Avril 6 332
Mai 7 335
Juin 8 337
EXERCICE Corrigé
Deux élèves de BTS ont créé un site Internet pendant leur cycle d’études. Ils ont relevé sur le tableau suivant le nombre de visiteurs par mois pendant les 8 premiers mois de fonctionnement :
1. Voir ci-dessous pour le nuage de points.
2. On nomme G le point moyen du nuage.
a) Les coordonnées de G sont (moyenne des x ; moyenne des y) soit G(4.5 ; 330).
b) Voir graphique.
3. On choisit pour ajustement affine du nuage la droite D passant par G de coefficient directeur 2.
a) D a une équation du type y = ax + b avec a = 2 par hypothèse.
Donc D : y = 2x + b.
Comme G est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation de D donc 330 2 4.5= × +b b=321. Ainsi D a pour équation y = 2x + 321.
b) Pour tracer D on place l’ordonnée à l’origine (0 ;321) et comme on a un deuxième point de D (c’est G), on peut la tracer.
4. On suppose que le nombre de visiteurs évolue en suivant cet ajustement.
a) Le mois d’août suivant correspond à x = 10 et graphiquement, on estime à 341 le nombre de visiteurs.
b) Graphiquement, l’antécédent de 340 est 9.5 : c’est donc à la mi- juillet, ou encore dès août que les 340 visiteurs seront franchis.
5. On considère maintenant un ajustement affine
∆
du nuage obtenu par la méthode des moindres carrés.a) A l’aide de la calculatrice, l’équation la droite
∆
est : y = 2.07x + 320.68.b) Au bout d’un an de
fonctionnement, soit pour x = 12, on a y=2.07 12 320.68 345.52× + ≈ soit environ 346 visiteurs.
Mois Rang xi Nombre yi de visiteurs
Novembre 1 322
Décembre 2 325
Janvier 3 328
Février 4 327
Mars 5 334
Avril 6 332
Mai 7 335
Juin 8 337
G
2 3 4 5 6 7 8 9
-1 325 330 335 340
0 1
315 320
x : mois y : connections
G
