EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry

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M2IF Evry

Monique Jeanblanc Universit´e d’EVRY

Mars 2009

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Rappels

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1 Ensembles appartenant `a une tribu.

1. Montrer que siF est une tribu, et siAetB appartiennent àF avecA⊂B, alorsB−A∈ F où B−Aest l’ensemble des éléments deB qui ne sont pas dansA.

2. Montrer que siC et Dappartiennent `aF, alorsC∆D^def= {C∩D^c} ∪ {C^c∩D}appartient `a F.

Exercice 1.1.2 Exemples de tribus.

1. D´ecrire la tribu engendr´ee par un ensembleA.

2. D´ecrire la tribu engendr´ee par deux ensemblesAet B disjoints.

Exercice 1.1.3 Fonctions indicatrices.

On note 11Ala v.a. qui vaut 1 pourω∈Aet 0 sinon.

1. Montrer que 11A∩B= 11A11B.

2. Montrer que, siA∩B=∅, on a 11A∪B= 11A+ 11B. 3. Montrer que 11B−A= 11B−11A.

4. Montrer que 11A∪B= 11A+ 11B−11A∩B. Exercice 1.1.4 Union et intersection.

SoitF1et F2 deux tribus. Montrer queF1∩ F2 est une tribu. Montrer qu’en g´en´eralF1∪ F2 n’est pas une tribu.

Exercice 1.1.5 Tribu grossie par un ensemble.

SoitF une tribu etAn’appartenant pas à F. Montrer que la tribu engendrée parF et A(c’est-à- dire la plus petite tribu contenantF et A) est composée des ensembles B tels que il existeC et D appartenant àF vérifiantB= (C∩A)∪(D∩A^c).

Exercice 1.1.6 Tribu engendr´ee par une v.a.

SoitX une v.a. sur un espace (Ω,G). La tribu engendrée parX, notéeσ(X), est la plus petite sous tribuF telle queX soit mesurable de (Ω,F) dans (R,B). Elle est engendrée parC={F ⊂Ω,|F = X⁻¹(B), B∈ B). Montrer queCest une tribu. Vérifier que siY =h(X) avechborélienne, alorsY estσ(X) mesurable. On admettra que la réciproque est vraie.

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Exercice 1.1.7 Lois de v.a.

Soit (X, Y) un couple de variables ind´ependantes et (Z, T) deux variables ind´ependantes telles que X ^loi=Z et Y ^loi=T.

1. Soitf une fonction bor´elienne (born´ee) deRdansR. ComparerE(f(X)) etE(f(Z)).

2. Soithune fonction bor´elienne (born´ee) deR²dansR. ComparerE(h(X, Y)) etE(h(Z, T)).

1.2 Variables gaussiennes

On note N la fonction de r´epartition de la loi gaussienne standard: N(x) = ^√¹_2πR_x

−∞e^−u²^/2du et N(m, σ²) la loi d’ une v.a. gausienne d’esp´erancemet de varianceσ².

Exercice 1.2.1 Moments.

SoitX une v.a.r. de loi N(0, σ²).

1. CalculerE(X³),E(X⁴),E(|X|) etE(|X³|).

2. CalculerE(exp{λX²+µX}) pour 1−2λσ²≥0.

3. Montrer queE(exp¹₂a²X²)) =E(exp(aXY)) oùY est indépendante deX et de même loi.

Exercice 1.2.2 Somme de variables gaussiennes ind´ependantes.

SoitX et Y deux v.a. gaussiennes ind´ependantes. Montrer queX+Y est une variable gaussienne.

Pr´ecisez sa loi.

Exercice 1.2.3 Transform´ee de Laplace.

SoitX une v.a.r. de loi N(m, σ²).

1. Quelle est la loi de ^X−m_σ ? CalculerE|X−m|.

2. Montrer queE(e^λX) = exp(λm+¹₂λ²σ²). CalculerE(Xe^λX).

3. Dans le cas o`uX est v.a. gaussienne standard montrer queE(exp^a₂²X²) =E(expaXX⁰) avec X et X⁰ i.i.d.

4. Soit Φ(x) =^√¹_2π Z _x

−∞

e⁻^y²² dy. Calculer, dans le casm= 0 etσ= 1 la valeur deE(11X≤bexpλX) en fonction de (Φ, λ, b).

5. Montrer queE(e^θXf(X)) =e^mθ+σ²^θ²^/2E(f(X+θσ²) pourf continue born´ee.

6. Montrer que, sif est ”r´eguli`ere”E(f(X)(X−m)) =σ²E(f⁰(X)).

Exercice 1.2.4 Convergence.

Soit (Xn, n≥1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL²versX. Quelle est la loi deX?

Exercice 1.2.5 Vecteur gaussien. SoitX un vecteur gaussien à valeurs dansRⁿetAune matrice (p, n). Montrer queAX est un vecteur gaussien. Préciser son espérance et sa variance.

Exercice 1.2.6 Vecteur Gaussien. Soit (X, Y) un vecteur gaussien centr´e tel queE(XY) = 0.

Montrer queX etY sont ind´ependantes.

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Exercice 1.2.7 Projection.(*)

Rappel : projection dansL²: SoitAun sous espace deL²(Ω) engendré par les variables aléatoires Y1, . . . , Yn, c’est-à-dire siZ ∈ A, il existe (ai) réels tels queZ=P

iaiYi. SoitX ∈L². On appelle projection deX surAl’unique ´el´ementP rX deAtel que

E( (X−P rX)Z) = 0,∀Z∈ A

Soit (X1, X2, . . . , Xd, Y1, . . . , Yn) un vecteur gaussien centr´e dans R^d+n. Montrer que X = (X1, X2, . . . , Xd) etY = (Y1, . . . , Yn) sont deux vecteurs gaussiens centr´es.

On supposed= 1. Montrer que P rX est une v.a. gaussienne σ(Y) mesurable, telle queX−P rX etY sont ind´ependantes.

Exercice 1.2.8 Caractérisation de vecteur gaussien. Soit (X, Y) deux v.a.r. telles que Y est gaussienne et la loi conditionnelle deX à Y est gaussienne de moyenne aY +b et de variance indépendante deY, c’est-à-dire queE(exp(λX)|Y =y) = exp(λ(ay+b) + λ²

2 σ²). Montrer que le couple (X, Y) est gaussien.

1.3 Esp´ erance conditionnelle

On travaille sur un espace (Ω,F,P) muni d’une sous-tribu deF not´eeG.

Exercice 1.3.1 Montrer que, si X et Y sont born´ees

E(YE(X|G)) =E(XE(Y|G))

Montrer que siX estG-mesurable etY est indépendante deG, pour toute fonction borélienne bornée Φ,

E(Φ(X, Y)|F) = Ψ(X) o`u Ψ(x) =E(Φ(x, Y)).

Exercice 1.3.2 Montrer que siX ∈L²,E(X|G) =Y et E(X²|G) =Y² alorsX =Y.

Exercice 1.3.3 Soit (X, Y) ind´ependantes,Xstrictement positive etZ=XY. CalculerE(11Z≤t|X) en utilisant la fonction de r´epartition deY.

Exercice 1.3.4 Soit (X, Y) indépendantes, équidristibuées etM = max(X, Y). CalculerE(11X≤t|M).

Exercice 1.3.5 Conditionnement et ind´ependance.

SoitX, Y deux v.a. telles que la v.a. X−Y est indépendante de G, d’espérancem et de variance σ². On suppose que Y est G-mesurable. Calculer E(X −Y| G). En déduire E(X| G). Calculer E( (X−Y)²| G). En déduireE(X²| G).

Exercice 1.3.6 Vecteur gaussien (*)Suite de l’exercice 1.2.7

Soit (X, Y1, . . . , Yn) un vecteur gaussien centr´e dansR¹⁺ⁿ. Montrer queE(X|Y) =P rX. On supposen= 1. Montrer queE(X|Y) =αY. D´eterminerα.

Exercice 1.3.7 Soit X = X1+X2. On suppose que X1 est ind´ependante de G, que X2 est G mesurable et queX1 est gaussienne.

1. CalculerE(X|G) et var (X|G).

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2. CalculerE(e^λX|G).

Exercice 1.3.8 Covariance conditionnelle. SoitZ₁, Z₂deux variables aléatoires de carré intégrable.

On d´efinit

Cov(Z₁, Z₂|G) =E(Z₁Z₂|G)−E(Z₁|G)E(Z₂|G). Montrer que

Cov(Z1, Z2|G) =E[ (Z1−E(Z1|G))Z2|G].

Exercice 1.3.9 Tribu grossie.

Soit A /∈ G et A∈ F et X une v.a. intégrable. On note Hla tribu engendrée par G et A. (Voir exercice 1.1.5). On admettra que les v.a. Z qui sontH mesurables s’écriventZ =Y₁11_A+Y₂11_A^c, où les v.a. Yi sontG-mesurables. Montrer que

E(X|H) = E(X11A|G)

E(11A|G) 11A+E(X11A^c|G) E(11A^c|G) 11A^c

Exercice 1.3.10 Lin´earit´e. SoitZ=αY+β, avecα6= 0. Montrer queE(aX+b|Z) =aE(X|Y)+b.

Exercice 1.3.11 Grossissement progressif SoitFune tribu. On considère la tribuGengendrée parτ∧1 oùτ est une v.a. à valeurs dansR⁺.

1. Montrer que toute v.a. G mesurable s’écrith(τ∧1) où hest borélienne.

2. Montrer que, siX est une v.a. F mesurable, E(X|G)111≤τ =A111≤τ o`uA est une constante.

Montrer queA=E(X111≤τ)/P(1≤τ).

Exercice 1.3.12 Conditionnement et indépendance 1. SoitG1etG2deuxσ-algèbres indépendantes, G=G1∨G2et (Xi, i= 1,2) deux variables aléatoires bornées telles queXiestGimesurable. Montrer queE(X1X2|G) =E(X1|G1)E(X2|G2).

Exercice 1.3.13 Conditionnement et ind´ependance 2. Montrer que siGest ind´ependante de σ(X)∨ F,E(X|G ∨ F) =E(X|F).

Exercice 1.3.14 Formule de Bayes. Soit dQ = LdP sur (Ω,F) et G une sous-tribu de F.

Montrer que

EQ(X|G) = 1

EP(Z|G)EP(ZX|G). Montrer que

EQ(X|G) =EP(X|G),∀X ∈ F si et seulement siLest Gmesurable.

Exercice 1.3.15 Soitf et gdeux densités strictement positives surR. SoitX une v.a. de densité f sur un espace (Ω,P). Montrer qu’il existe une probabilitéQ sur cet espace telle queX soit de densitég.

Exercice 1.3.16 Ind´ependance conditionnelleSoit (Ft) et (Gt) deux filtrations.

1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

(H1)pour toutt, les tribusF∞etGtsont conditionellement ind´ependantes par rapport `aFt. (H2) ∀F ∈ F∞,∀Gt∈ Gt,E(F Gt|Ft) =E(F|Ft)E(Gt|Ft)

(H3) ∀t,∀Gt∈ Gt,E(Gt|F∞) =E(Gt|Ft) (H4) ∀t,∀F ∈ F∞,E(F|Gt) =E(F|Ft).

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2. SoitFetGdeux filtrations telles queFt⊂ Gt. Montrer que (H) TouteF-martingale de carr´e int´egrableest uneG-martingale

´equivaut `a (H1).

3. Dans le casGt=Ft∨σ(t∧τ) oùτ est un temps aléatoire, montrer que (H1) équivaut à (H5)∀s≤t,P(τ≤s|F∞) =P(τ≤s|Ft).

1.4 Martingales

L’espace Ω est muni d’une filtration (Ft).

Un processusM est une martingale si - pour toutt,Mtest int´egrable;

- pour toutt > s,E(Mt|Fs) =Ms,p.s.

On dit queM est une surmartingale si -Mt est adapt´e, int´egrable;

-E(Mt|Fs)≤Ms, ∀s≤t.

Le processusM est une sousmartingale si−M est une surmartingale.

Exercice 1.4.1 Exemple de base. SoitX une v.a. int´egrable. Montrer que (E(X|Ft), t≥0) est une martingale.

Exercice 1.4.2 Surmartingale.

1. Montrer que siM est une martingale etAun processus croissant adapt´e (As≤At, ∀s≤t) alorsM−Aest une surmartingale.

2. SoitM une martingale. Que peut-on dire deM²?

3. SoitM une martingale telle queE(M_∞²)<∞. Montrer que sup_tE(M_t²)<∞.

4. Montrer qu’une surmartingale telle queE(Z_T) =E(Z₀) est une martingale sur [0, T].

Exercice 1.4.3 Martingale locale. Montrer qu’une martingale locale positive est une surmartingale.

Exercice 1.4.4 Martingale en fonction de la valeur terminale. SoitX une martingale telle queXT =ζ. ExprimerXten fonction deζ pourt < T au moyen d’une esp´erance conditionnelle.

Exercice 1.4.5 Un lemme. On trouve dans la litt´erature (Duffie) le lemme suivant:

Lemma: Letφ be an adapted bounded process. Then (Yt = Mt− Z _t

0

φsds,0 ≤t ≤ T) for some martingaleM if and only if

Yt=E[

Z _T

t

φsds+YT|Ft] Donner une d´emonstration de ce lemme.

Exercice 1.4.6 Martingale de carré intégrable. Soit (Mt, t≥ 0) une Ft-martingale de carré intégrable (telle queM_t² soit d’espérance finie, pour toutt). Montrer que

1. E((Mt−Ms)²|Fs) =E(M_t²|Fs)−M_s² pourt > s.

2. E((Mt−Ms)²) =E(M_t²)−E(M_s²) pourt > s.

3. La fonction Φ d´efinie par Φ(t) =E(M_t²) est croissante.

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Exercice 1.4.7 Projection de martingale. Montrer que siM est uneFt-martingale, c’est aussi une martingale par rapport `a sa propre filtration Gt =σ(Ms, s≤t). SoitHt ⊂ Ft. Montrer que Yt=E(Mt|Ht) est uneHt-martingale.

Exercice 1.4.8 Une sousmartingale. Soit τ une v.a. positive. Montrer queZt =P(τ ≤t|Ft) est une sousmartingale.

Exercice 1.4.9 Processus à accroissements indépendants. SoitX un PAI (processus à accroissements indépendants, c’est-à-dire tel que, pour t > s, la v.a. Xt−Xs est indépendante de σ(X_u, u≤s)). Montrer que, si, pour toutt, la v.a. X_t est intégrable,X est une martingale et que siX est de carré intégrable,X_t²−E(X_t²) est une martingale. Montrer que, sie^λX^t est intégrable,

Zt= e^λX^t E(e^λX^t) est une martingale.

Exercice 1.4.10 SoitM une martingale positive continue uniform´ement int´egrable etτ = inf{t : Mt= 0}. Montrer queM est nulle surt > τ.

Exercice 1.4.11 SoitX un processusF-adapt´e, positif `a trajectoires continues et G⊂F. Montrer queE(R_t

0Xsds|Gt)−R_t

0E(Xs|Gs)dsest uneG-martingale.

1.5 Temps d’arrˆ et

Exercice 1.5.1 Tribu associée à un temps d’arrêt. Soitτ un temps d’arrêt. Montrer queFτ

est une tribu.

Exercice 1.5.2 Soit T un temps d’arrêt et X une variable aléatoire appartenant à FT, vérifiant X ≥T. Montrer queX est un temps d’arrêt.

Exercice 1.5.3 Exemple de processus adapté. SoitT un temps d’arrêt. Montrer que le pro- cessusXt= 11]0,T](t) est adapté.

Exercice 1.5.4 Comparaison de tribus. SoitSetT deux temps d’arrˆet tels queS≤T. Montrer queFS ⊂ FT.

Exercice 1.5.5 Propriété de mesurabilité. SoitS un temps d’arrêt. Montrer que S est FS- mesurable.

Exercice 1.5.6 SoitS et T deux temps d’arrˆet. Montrer que {S ≤T},{T ≤S}appartiennent `a FS.

Exercice 1.5.7 Exemple de processus càdlàg. SoitS et T deux temps d’arrêt tels queS < T. Montrer que le processusZt= 11_[S,T[(t) (égal à 1 siS≤t < T et à 0 sinon) est un processus càdlàg.

Exercice 1.5.8 Exemple trivial de temps d’arrˆet. Montrer qu’une constante τ est un temps d’arrˆet. Quelle est dans ce cas la tribuF_τ?

Exercice 1.5.9 Opérations sur les temps d’arrêt. Montrer que l’inf (resp. le sup) de deux temps d’arrêt est un temps d’arrêt.

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Exercice 1.5.10 Caract´erisation de martingale.

1. Soits < t, A∈ Fset T =t11A^c+s11A. Montrer queT est un temps d’arrˆet.

2. Montrer que si E(XT) = E(X0) pour tout temps d’arrˆet T, alors le processus X est une martingale.

Exercice 1.5.11 Théorème d’arrêt. Soit M une martingale continue telle que M0 = a et limt→∞Mt= 0. Montrer que supMtloi

= a

U o`uU est une v.a. de loi uniforme sur [0,1].

1.6 Changement de probabilit´ e

Ce th`eme sera central en vue d’application `a la finance.

Deux probabilités Pet Qdéfinies sur le même espace (Ω,F) sont dites équivalentes si elles ont mêmes ensembles négligeables, c’est à dire si

P(A) = 0⇐⇒Q(A) = 0.

On admet le résultat: Si P et Qsont équivalentes, il existe une variable Y, strictement positive, F-mesurable, d’espérance 1 sousPappelée densité de Radon-Nikodym telle quedQ=Y dPou encore Q(A) =R

AY dP. On ´ecrit ´egalement cette relation sous la forme dQ

dP =Y. Réciproquement, si Y est une v.a. strictement positive,F-mesurable, d’espérance 1 sousP, la relationEQ(Z) = EP(ZY) définit une probabilitéQéquivalente àP. Elle est facile à mémoriser par la règle de calcul formel suivante:

EQ(Z) = Z

ZdQ= Z

ZdQ dPdP =

Z

ZY dP=EP(ZY) On a aussi dP

dQ = 1 Y.

Exercice 1.6.1 Montrer que si P est une probabilité et Z une v.a., telle que l’égalité dQ=ZdP (soitQ(A) =EP(Z11A)) définit une probabilité, alorsEP(Z) = 1 etP(Z <0) = 0.

Exercice 1.6.2 1. SoitU une variable de Bernoulli sous Pd´efinie par P(U = 0) = 1−p, P(U = 1) =p.

Soit Y la variable d´efinie par Y = λU +µ(1−U). Dans quels cas cette variable est elle d’esp´erance 1? SoitdQ=Y dP, CalculerQ(U = 1). Quelle est la loi deU sousQ?

2. SoitX est une v.a. de loiN(m, σ²) sousPet soitY = exp{h(X−m)−¹₂h²σ²}. SoitdQ=Y dP.

CalculerEQ{exp(λX)}) =EP{Yexp(λX)}. En d´eduire la loi deX sousQ(utiliser l’exercice 1.2.1.

3. SoitX est un vecteur gaussien sousPetU une variable telle que le vecteur (X, U) soit gaussien.

On pose dQ=Y dPavec Y = exp(U −EP(U)−1

2VarPU). Montrer queX est gaussien sous Q, de mˆeme covariance que sousP.

1.7 Alg` ebre b´ eta-Gamma

Exercice 1.7.1 Loi Arc sinus Une variable al´eatoire A a une loi Arc Sinus si sa densit´e est

√1 π

√ 1

1−t11_t∈[0,1]. Montrer que cos²(Θ)^loi=A si Θ est uniforme sur [0,2π].

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SoitN etN⁰ deux variablesN(0,1) ind´ependantes. Montrer que N² N²+N⁰²

loi=A.

SoitC= N

N⁰. Montrer queC a une loi de Cauchy et que 1

1 +C² a une loi Arc sinus.

1.8 Divers

Exercice 1.8.1 SoitX un processus atMt= sup_0≤s≤tXs. On noteτ une v.a. de loi exponentielle de param`etre θind´ependante deX. Montrer que

E(exp(−λMτ)) = 1−λE Z _∞

0

due^−λue^−θT^u

o`uTu= inf{t : Xt≥u}.

Exercice 1.8.2 Transformée de Laplace et indépendance. SoitXetY deux v.a. indépendantes.

Justifier que E(e^λ(X+Y⁾) =E(e^λX)E(e^λY). La r´eciproque est-elle vraie?

Exercice 1.8.3 Transformée de Laplace et moments. SoitX et Y deux v.a. bornées telles queE(e^λX)=E(e^λY) pour toutλ. Montrer queX etY ont même moments.

Exercice 1.8.4 Markov. SoitX un processus de Markov fort etTa = inf{t : Xt=a}. Montrer que, pourt < T

P(XT ∈dx|Xt=a) =P(XT ∈dx|Ta =t).

Exercice 1.8.5 Propri´et´e de Markov Soit B un mouvement Brownien et f une fonction. On noteT^f = inf{t : Bt=f(t)}.Montrer que

P(Bt≥f(s)|T^f =s) =1 211s<t. Si f est croissante, montrer queP(T^f ≤t) = 2P(Bt≥f(T^f)).

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Chapter 2

Mouvement Brownien

Dans tout ce qui suit, (Bt, t≥0) est un mouvement Brownien réel (un processus à accroissements indépendants issu de 0, tel que pourt > s,Bt−Bsest une v.a. gaussienne centré de variancet−s) et on noteF= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.

Dans certains exercices, il sera pr´ecis´e queB est issu dex.

On rappelle que siXest un processus continu issu de 0, c’est un mouvement Brownien si et seulement siX et (X_t²−t, t≥0) sont des martingales.

Le mouvement Brownien est un processus de Markov fort: pour tout temps d’arrˆetτ fini E(f(B_t+τ|F_τ) =E(f(B_t+τ|B_τ).

2.1 Propri´ et´ es ´ el´ ementaires

Exercice 2.1.1 Caract´erisation. Montrer qu’un processusX est un mouvement Brownien si et seulement si

a. Pour toutt0< t1· · ·< tn, le vecteur (Xt0, Xt1, . . . , Xtn) est un vecteur gaussien centr´e b. E(XtXs) =s∧t

c. X0= 0

Exercice 2.1.2 Caract´erisation 2. Montrer qu’un processus continu X est une mouvement Brownien si et seulement si, pour toutλle processus exp(λXt−¹₂λ²t) est une martingale.

Exercice 2.1.3 Calcul d’esp´erances.

1. Calculer pour tout couple (s, t) les quantit´esE(BsB_t²),E(Bt|Fs),E(Bt|Bs) et E(e^λB^t|Fs).

2. CalculerE(R_t

0Budu|Fs) avect > set E(R_t

0Budu|Bs)

3. On a vu, dans Exercice 1.2.1, que siZ est une v.a. gaussienne centr´ee de variance σ², on a E(Z⁴) = 3σ⁴. CalculerE(B²_tB_s²).

4. Quelle est la loi deBt+Bs?

5. Soit θs une variable al´eatoire born´ee Fs-mesurable. Calculer pour t ≥s, E(θs(Bt−Bs)) et E[θs(Bt−Bs)²].

6. CalculerE(11Bt≤a) etE(Bt11Bt≤a).

7. CalculerE(R_t

0exp(Bs)ds) et E(exp(αBt)R_t

0exp(γBs)ds).

8. CalculerE(e^B^t|Fs) etE((ae^B^t−b)⁺|Fs).

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Exercice 2.1.4 Lois. Montrer queE(f(Bt)) =E(f(G√

u+Bt−u)) avec Gv.a. indépendante de Bt−u et de loi gaussienne centré réduite. En déduire le calcul deE(f(Bt)|Fs).

Exercice 2.1.5 Soit Θ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètreθ(soitP(Θ∈dx) = θe^−θx11_x>0dx) indépendante deB. Quelle est la loi deB_Θ?

Exercice 2.1.6 Des martingales. Parmi les processus suivants, quels sont ceux qui sont des martingales. (On pourra utiliser, sans d´emonstration, que E[

Z _t

0

Budu|Fs] = Z _t

0

E[Bu|Fs]du.) 1. Mt=B³_t−3R_t

0Bsds.

2. Zt=B_t³−3tBt. 3. Xt=tBt−R_t

0Bsds.

4. Ut= sinBt+1 2

Z _t

0

sin(Bs)ds.

5. Yt=t²Bt−2R_t

0Bsds.

Exercice 2.1.7 Exponentielle de Brownien. CalculerE(e^x+B^t) et E(sin(x+B_t)) en utilisant E(f(x+Bt)) =f(x) +1

2 Z _t

0

E(f⁰⁰(x+Bs))ds .

Exercice 2.1.8 Changement de temps. Soit Zt = BA(t) o`u A est une fonction d´eterministe continue strictement croissante.

1. Calculer l’esp´erance et la variance deZt. Ce processus est-il une martingale par rapport `aF?.

2. On d´efinitGt=F_A(t). Montrer queZ est uneG-martingale.

3. D´eterminer le processus croissantC tel que (Zt)²−Ct soit uneG-martingale.

4. Soit un processusM tel queM est une martingale et il existeA, fonction d´eterministe continue strictement croissante telle queM_t²−A(t) est une martingale. On noteCl’inverse deA, c’est-

`a-dire la fonction telle queC(A(t)) =t. Montrer queWt=MC(t)est un mouvement Brownien.

Exercice 2.1.9 Calcul d’esp´erance. Comment calculerEx(f(Bt)g(Bs))?

Exercice 2.1.10 Calculer

E((λ Z ₁

0

duBu+µB1)²)

Exercice 2.1.11 Calcul de transform´ee de Laplace. CalculerEx exp(−λW_t²) . Exercice 2.1.12 Comportement limite.

1. Montrer que limt→∞Bt

t = 0

2. Montrer que limt→∞Px(Bt<0) = 1/2. En d´eduire que pour tout x >0, siT0= inf{t:Bt= 0}, on aPx(T0<∞)≥1/2. (En fait, on peut montrer queT0 est fini ps.)

Exercice 2.1.13 Montrer que l’int´egrale Z ₁

0

Bs

s dsest convergente.

(17)

Exercice 2.1.14 Tribu triviale. On admettra qu’un ensemble appartenant `a la filtrationF0=F₀⁺ a pour probabilit´e 0 ou 1.

Siτ= inf{t≥0 : Bt>0}, montrer queP(τ≤t)≥ 1

2. En d´eduire queP(τ= 0) = 1.

Exercice 2.1.15 Applications de la propri´et´e de Markov. Montrer que Ex

Z _t

0

h(r, Br)dr|Fs

= Z _s

0

h(r, Br)dr+EBs

Z _t−s

0

h(s+u, Bu)du

Exercice 2.1.16 Soit τ un temps d’arrˆet, λ > 0 et u une fonction continue born´ee. On pose g(x) = Ex

Z _τ

0

e^−λtu(Bt)dt

et f(x) = Ex

Z _∞

0

e^−λtu(Bt)dt

o`u comme d’habitude l’indice x pr´ecise que le Brownien est issu dex.

1. Montrer queg etf sont d´efinies.

2. Montrer que

Ex

Z _∞

τ

e^−λtu(Bt)dt

=Ex 11τ <∞e^−λτf(Bτ) . 3. Montrer que siτ=T0, alorsg(x) =f(x)−f(0)ϕ(x) o`u on expliciteraϕ.

Exercice 2.1.17 Polynômes d’Hermite. Les polynômes d’HermiteHksont définis pare^αx−^α²² = Xα^k

k!Hk(x). Montrer qu’il existeHk(x, t), polynˆomes en les deux variables (t, x) tels quee^αx−^α²²^t= Xα^k

k!Hk(x, t). En d´eduire la valeur de E(B^k_t|Fs).

Exercice 2.1.18 Des gaussiennes. SoitSt= exp(µt+σBt). Calculer l’esp´erance et la variance de

Z _T

0

Stdtet Z _T

0

lnStdt. Ces variables sont-elles gaussiennes?

Exercice 2.1.19 Zeros. Montrer que

P(Bu6= 0, ∀u∈]s, t[) = 2 πarcsin

rs t

Exercice 2.1.20 Filtration. SoitGt=Ft∨σ(B1). V´erifier queB n’est pas uneG-martingale.

2.2 Processus Gaussiens

Exercice 2.2.1 Montrer que le processusYt= Z _t

0

Buduest gaussien. Calculer son esp´erance et sa covariance.

Exercice 2.2.2 Expliciter la solution de

dXt=−aXtdt+e^btdBt

CalculerE(Xt) etV ar(Xt).

(18)

Exercice 2.2.3 Non-existence de processus. Montrer qu’il n’existe pas de processus ”r´egulier”

X tel que∀(s, t), s6=t,les variablesXtetXssoient indépendantes, centrées gausssiennes, etE(X_t²) localement borné. On considérera

Z _t

0

Xsds et on montrera que ce processus serait Gaussien, on calculera son esp´erance et sa variance.

Exercice 2.2.4 Le pont Brownien. On d´efinit un pont Brownien par Zt=Bt−tB1,0≤t≤1.

1. Montrer queZ est un processus gaussien indépendant de B1. Préciser sa loi, c’est-à-dire sa moyenne et sa fonction de covariance.

2. Montrer que le processus ˜Z avec ˜Zt=Z1−ta mˆeme loi queZ.

3. Montrer que le processusY avecYt= (1−t)B ^t

1−t,0< t <1 a mˆeme loi queZ.

4. Montrer que (Ztloi

= (Bt|B1= 0)).

Exercice 2.2.5 Un exemple surprenant. Montrer que Zt = Bt− Z _t

0

Bs

s ds est un processus gaussien. Calculer sa variance et sa covariance. En d´eduire que Z est un mouvement Brownien.

Montrer queZ n’est pas uneF^B-martingale, o`uF^B est la filtration naturelle deB.

Exercice 2.2.6 Pont. Soit B un MB et Γt l’espace Gaussien engendr´e par (Bu−u

tBt, u ≤ t).

Montrer que Γt est croissant en t. Montrer que Γ(Bu, u ≤ t) = Γt⊕Γ(Bt) o`u Γ(G) est l’espace engendr´e parG.

Exercice 2.2.7 Changement de probabilit´e. Soit B un MB, Lt = exp(mBt− m²

2 t) , et Q définie sur FT par dQ=LTdP. Montrer que ˜Bt =Bt−mtest, sous Q, un processus gaussien à accroissements indépendants. Montrer que ˜Btest unQ-mouvement Brownien.

Exercice 2.2.8 SoitB un mouvement Brownien,p >1 etτ une v.a. positive. On admettra que E(sup

t (|Bt| −t^p/2))<∞ 1. Montrer que

E(sup

t (|Bt| −µt^p/2)) =λE(sup

s (|Bs| −s^p/2)) avecλ= (1

µ)^1/(p−1).

2. Montrer queE(|Bτ|)≤E(sup_t(|Bt| −µt^p/2)) +µE(τ^p/2).

3. Montrer que

∀p >1,∃Cp,∀τ, E(|Bτ|)≤Cp||τ^1/2||p

2.3 Brownien Multidimensionnel

Exercice 2.3.1 Deux mouvenements BrowniensBetW sont corrélés si le processus (WtBt−ρt, t≥ 0) est une martingale. Soit deux mouvements BrowniensBetW corrélés de coefficient de corrélation ρ. Montrer, sans utiliser la formule d’Itô pour des processus corrélés, qu’il existe un Brownien Z, indépendant de W tel queB=ρW+p

1−ρ²Z.

(19)

Exercice 2.3.2 Somme de browniens. Soit W un mouvement brownien ind´ependant de B et ρ∈[0,1]. Montrer que (Zt=ρWt+p

1−ρ²Bt, t≥0) est un mouvement Brownien.

SoientB etW deux browniens indépendants et (σi, i= 1,2) deux fonctions déterministes. Montrer qu’il existe une fonctionσ3telle que le processus Z défini par

σ3(t)dZt=σ1(t)dBt+σ2(t)dWt

est un Brownien.

Exercice 2.3.3 SoitB un Brownienn-dimensionnel. Soitf une fonction borélienne bornée. Mon- trer que, pour 0< s < tEx(f(Bt)|Fs) = Φ(Bs) avec Φ(x) =Ex[f(Bt−s)].En déduire que BⁱB^j est une martingale pouri6=j.

Exercice 2.3.4 Mouvement Brownien dans R².

1. SoitW1et W2deux mouvements Browniens indépendants. Le processusWt=W1(t) +W2(t) est-il un mouvement Brownien? Si oui, justifiez la réponse, sinon, expliquez pourquoi. Même question avecαW1(t) +βW2(t).

2. SoitW1et W2 deux processus. Soitcun r´eel donn´e. Montrer que si

exp

aW1(t) +bW2(t)− t 2[a, b]

1 c c 1

a b

, t≥0

est une martingale pour tout couple (a, b),W1 et W2 sont des MB. Calculer E[exp(aW1(t) + bW2(t))].

Exercice 2.3.5 Brownienn-dimensionnelSoitBun MBn-dimensionnel etU une matrice telle queU U^T =I. Montrer que (U B_t, t≥0) est un MB.

2.4 Temps d’atteinte

Dans tous ces exercices,a∈Ret Ta= inf{t : Bt=a}.

Exercice 2.4.1 Transformée de Laplace. Montrer que Ta est un temps d’arrêt. Calculer E(e^−λTâ) pour toutλréel. Montrer queP(Ta<∞) = 1 et que E(Ta) =∞.

Mˆemes questions avecτa= inf{t : St=a} o`u St= exp(σBt).

Exercice 2.4.2 Soita <0< betT =Ta∧Tb. CalculerP(Ta< Tb) etE(T).

Exercice 2.4.3 Temps d’atteinte.

1. Soitf(t) =E(e^−rT^a11Ta<t). On ne cherchera pas `a calculerf ici.

Calculer en fonction def la quantitéE(e^−rînf(T,Tâ⁾) oùT est un nombre positif.

2. Montrer que si 0< a < b, Tb−Ta est indépendant de Ta et a même loi que Tb−a. Montrer (sans calculs) que pourb > a >0, la v.a. Tb−Ta est indépendante deTa. Quelle est la loi de Tb−Ta? Que peut-on dire du processus (Ta, a >0)?

3. SoitT un nombre r´eel. Calculer Zt=P(Ta> T|Ft). On rappelle que sup_u≤tBuloi

=|Bt|.

4. Calculer E(e^−λT^a) avec Ta = inf{t : Xt = a} et Xt = νt+Wt. Calculer E(e^−λT) pour T =Ta∧Tb.

5. Montrer qu’il existectel que Trloi

=cTr+X avecX ind´ependante dec.

(20)

6. Mˆemes questions siTa= inf{t;νt+Bt=a}.

7. SoitS un brownien g´eom´etrique (soitSt=xexp(νt+σWt)) etτa = inf{t : St=a}. Calculer E(

Z _∞

0

e^−rtStdt) et E(

Z _τ_b

0

e^−rtStdt). TROP DIFFICILE

Montrer que si 0< a < b,τb−τa est ind´ependant deτa et a mˆeme loi queτb−a. CalculerE(e^−rτ^K11τK<T11τH−τK>t).

Exercice 2.4.4 On supposeb <0< a. Montrer que (a−Bt)(Bt−b) +test uneF-martingale. En d´eduireE(Ta,b) o`uTa,b=Ta∧Tb.

Exercice 2.4.5 Premier instant. SoitBun MB issu de 0 etT^d=d+inf{t : Bt+d= 0}. Calculer E(e^−λT^d) etE(11Bd≤ae^−λT^d).

SoitT^∗=dsiBd≥ −aetT^∗=d+T^d siBd≤ −a, B_d+Td≥ −a. CalculerE(e^−λT^∗).

Exercice 2.4.6 Soit Tea et Tba deux v.a. ind´ependantes de mˆeme loi que Ta. Quelle est la loi de Tea

Tea+Tba

(Sans faire de calculs).

Exercice 2.4.7 Loi de l’inf. SoitI=−infs≤T1Bs. Montrer queP(I∈dx) = dx 1 +x².

Exercice 2.4.8 SoitT_a^∗ = inf{u : Mu−Bu> a} avecMu = sup_t≤uBt. Montrer que MT_a^∗ a une loi exponentielle.

Exercice 2.4.9 Temps d’atteinteSoitAet B deux nombres positifs. On noteXt=µt+σBtet h(x) = exp(−2µx/σ²)−exp(2µB/σ²)

exp(−2µA/σ²)−exp(2µB/σ²). Vérifier queh(Xt) est une martingale. Le temps d’arrêtτ est défini par

τ= inf{t : Xt=AouXt=−B}. CalculerP(Xτ=A).

Exercice 2.4.10 Soitf une fonction bor´elienne born´ee et et u(x) =Ex(exp[−θ²

2 T0+ Z _T₀

0

duf(Bu)]) o`uB est un mouvement Brownien issu dex. Montrer queuest solution de

1

2u⁰⁰= (θ²

2 +f)u, u(0) = 1 Exercice 2.4.11 Soienta, ddeux nombres r´eels positifs.

1. CalculerE(e^−|B^d^|^√^2λ11Bd≤−a).

2. SoitT1 = inf{t ≥d : Bt = 0}. Montrer queT1 est un temps d’arrˆet. Calculer E(e^−λT¹) et E(e^−λT¹11Bd≤−a). Montrer queBT1+dest ind´ependant deBd et deT1.

3. On introduit la v.a. τ1 suivante : siBd ≤ −a, on poseτ1=d. SiBd >−aet siBT1+d ≤ −a, on poseτ1=T1+d, sinon on poseτ1=∞.

Calculer pourλ >0 la transform´ee de Laplace deτ1, soitE(e^−λτ¹).

4. On continue. SiBd≤ −a, on poseτ2=d. SiBd >−aet siBT1+d≤ −a, on poseT2=T1+d, sinon on d´efinitT2 = inf{t≥T1+d : Bt = 0}. Si BT2+d ≤ −aon pose τ2=T2+d. Dans tous les autres cas, on poseτ2=∞.

(21)

(a) Montrer queBT₂+d est ind´ependant de (BT₁+d, Bd) et deT2. (b) Calculer la transform´ee de Laplace deτ2.

5. On utilise la même procédure pour définir par itérationτn et on poseτ=τ∞. (a) Montrer queτ est fini en utilisant, après l’avoir justifié que

P(τ <∞) =Y

i

P(BTi+d<−a) (b) Calculer la transform´ee de Laplace deτ.

(c) Calculer la transform´ee de Laplace deBτ. (d) Montrer queBτ est ind´ependant deτ.

Exercice 2.4.12 On trouve parfois (voir exercice précédent, ou les temps d’atteinte d’un niveau) des temps d’arrêt τ tels que τ et Bτ sont indépendants. Ceci n’est cependant pas très courant.

Dans ce qui suit on admettra le r´esultat (non trivial) suivant (Cramer) Si X et Y sont deux v.a.

ind´ependantes telles queX+Y est une v.a. gaussienne, alorsX etY sont des gaussiennes.

Le but de cet exercice est de montrer : siτ est born´e par K et si τ et Bτ sont ind´ependants, alorsτ est une constante.

1. Montrer que sis > K,

Bs=Bτ+Bbs−τ

avecBb un mouvement Brownien ind´ependant deFτ. 2. Montrer queBτ etBbs−τ sont des v.a. ind´ependantes.

3. Calculer l’esp´erance et la variance de Bτ. (Attention, ce n’est pas trivial. Penser au cas o`u τ=Ta.)

4. Montrer queBbs−τ est une v.a. Gaussienne.

5. Montrer que l’on obtient √

K−τ G ^loi= p

K−E(τ)G où G est une v.a. gaussienne réduite centrée.

6. Conclure.

Exercice 2.4.13 Soita et µ deux constantes strictement positives etT1 = inf{t : Bt ≥a−µt}, T2= inf{t : Bt≤ −a+µt}. On pose, pour toutλa≥0, Φ(λ) =E(exp[−λτ]) avecτ =T1∧T2.

1. Montrer queT1loi

=T2 et que (T1, T2)^loi= (T2, T1).

2. V´erifier que Φ est bien d´efinie et donner un majorant et un minorant simples de Φ (S’aider par un dessin).

3. Montrer que Φ(λ) = 2E(exp(−λT1)11T1<T2).

4. Montrer que

e^λaΦ(−λµ−λ²/2) +e^−λaΦ(λµ−λ²/2) = 2 Exercice 2.4.14 SoitXt=νt+σBt. Montrer que, pour toutλ

exp(λXt+βt), t≥0 est une martingale pour un param`etreβ que l’on d´eterminera.

On noteTa = inf{t :Xt≥a}. CalculerE

exp

−λ² 2 Ta

etP(Ta<∞).

Exercice 2.4.15 CalculerP(Mt≤y|Bt=x) o`uMt= sup(Bs, s≤t).

(22)

2.5 Scaling

Exercice 2.5.1 Montrer que le calcul de E(

Z _t

0

exp(νs+σBs)ds) se d´eduit de E(

Z _T

0

exp(2(µs+ Bs)ds). On ne demande pas de faire ce calcul.

Exercice 2.5.2 SoitT1= inf{t :Bt= 1}. Utiliser le scaling du MB pour établir les égalités en loi suivantes

1. T1loi

= 1

S₁² avecS1= sup(Bu, u≤1) 2. Ta loi

=a²T1 avecTa = inf{t :Bt=a}.

3. gt loi

= tg1, dt loi

= td1 o`u gt = sup{s≤ t : Bs = 0} et dt = inf{s≥ t : Bs = 0}. Montrer que {gt< u}={du> t}. En d´eduire gtloi

= _d^t

1

loi= _d(1/t)¹ .

4. On suppose queA est un processus croissant continu tel que, pout toutc (Bct, Act, t≥0)^loi= (√

cBt, cAt;t≥0) On note ∆a = inf{t :At≥a}. Montrer qued∆a

loi=ad∆1. En d´eduireAgloi

= 1/d∆1. 5. Montrer queAt= sup_s≤tB²_s vérifie les conditions précédentes.

Exercice 2.5.3 Montrer que

sup

0≤t≤1

|Bt|^loi= 1 pT₁^∗ o`uT₁^∗= inf{t≥0 : |Bt|= 1}.

Exercice 2.5.4 Soit A une fonctionnelle du mouvement brownien. On dit que A a la propri´et´e (hom) s’ il exister∈Rtel que pour toutc,

(Bct, Act;t≥0)^loi= (√

cBt, c^r+1At;t≥0) Pour quelle valeur de r la fonctionnelle At =

Z _t

0

11(Bs>0)ds a t’elle la propriété (hom)? Même question pour le temps local (voir la définition plus loin)

2.6 Compl´ ements

Exercice 2.6.1 Projection d’un Brownien. SoitBun MB dans sa filtrationFetGune filtration plus petite queF. On suppose queE(Bt|Gt) =Bbtest un MB. Montrer que Bbt=Bt.

Exercice 2.6.2 Filtration de carrés de Browniens. SoitYt=aB_t²+bW_t²aveca6=b etaet b non nuls,W et B étant des Browniens indépendants. Montrer queσ(Ys, s≤t) =σ(Bs, Ws, s≤t).

Généraliser au cas dencarrés.

Exercice 2.6.3 Représentation prévisible. Soit B⁽ⁱ⁾, i = 1,2,3 trois MB, avec B⁽ⁱ⁾, i = 1,2 indépendants. Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir σ(Bs⁽³⁾, s ≤t)) = σ(Bs⁽¹⁾, Bs⁽²⁾, s≤ t). On utilisera le théorème de représentation prévisible pour représenterB_t⁽¹⁾, B_t⁽²⁾ en terme deB⁽³⁾.

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry

M2IF Evry

Monique Jeanblanc Universit´e d’EVRY

Mars 2009

Contents

Chapter 1

Rappels

1.1 Tribu

1.2 Variables gaussiennes

1.3 Esp´ erance conditionnelle

1.4 Martingales

1.5 Temps d’arrˆ et

1.6 Changement de probabilit´ e

1.7 Alg` ebre b´ eta-Gamma

1.8 Divers

Chapter 2

Mouvement Brownien

2.1 Propri´ et´ es ´ el´ ementaires

2.2 Processus Gaussiens

2.3 Brownien Multidimensionnel

2.4 Temps d’atteinte

2.5 Scaling

2.6 Compl´ ements