Exercices de licence

(1)

Exercices de licence

Les exercices sont de :

Cornélia Drutu (algèbre et théorie des nombres) Volker Mayer (topologie, analyse réelle)

Leonid Potyagailo (algèbre et géométrie)

Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe) Les sujets d’examens sont de :

Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)

Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)

(2)

Table des mati`eres 2

Table des mati` eres

I Topologie 4

1 Notions de topologie I 4

1.1 Rappels . . . . 4

1.2 Topologie g´en´erale . . . . 4

1.3 Adhérence, intérieur, frontière . . . . 5

1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . 7

2 Notions de topologie II 8 2.1 Topologie s´epar´ee . . . . 8

2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . 8

2.3 Fonctions continues surR . . . . 9

2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . 9

2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . 11

2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . 12

2.7 Suites, limites et valeurs d’adh´erence, points d’accumulation et points isol´es . . . . 14

3 Notions de topologie III 15 3.1 Hom´eomorphisme . . . . 15

3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . 16

3.3 Prolongement de fonctions . . . . 17

3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . 17

3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . 18

4 Connexit´e 18 4.1 Connexit´e . . . . 18

4.2 Connexit´e par arcs . . . . 20

5 Compacit´e 21 5.1 Espaces topologiques compacts . . . . 21

5.2 Compacité dans les espaces métriques, normés . . . . 23

II Analyse r´ eelle 27

6 Applications linéaires bornées 27 6.1 Applications linéaires . . . . 27

6.2 Formes lin´eaires continues . . . . 28

7 Espaces m´etriques complets, Banach 29 7.1 Espaces m´etriques complets . . . . 29

7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . 31

8 Théorème du point fixe 32 9 Applications uniformément continues 34 9.1 Applications uniformément continues . . . . 34

9.2 Equicontinuit´´ e, th´eor`eme d’Ascoli . . . . 36

10 Applications diff´erentiables 37 10.1 Applications diff´erentiables . . . . 37

10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . 39

11 Théorème d’inversion locale et des fonctions implicites 41 11.1 Théorèmes d’inversion ; difféomorphismes . . . . 41

11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . 44

11.3 Sous-vari´et´es deRⁿ. . . . 45

12 Différentielles d’ordre supérieur, formule de Taylor, extremums 46 12.1 Différentielles d’ordre supérieur . . . . 46

12.2 Fonctions harmoniques . . . . 47

12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . 48

13 Equations diff´erentielles 48 13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . 48

13.2 Solutions maximales d’´equations diff´erentielles . . . . 49

13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . 51

13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . 52

13.5 R´esolvantes . . . . 54

13.6 Divers . . . . 55

III Alg` ebre et g´ eom´ etrie 57

(3)

Table des mati`eres 3

14 Généralités sur les groupes 57

15 Groupes et actions 59

16 Isom´etries euclidiennes 60

17 Géométrie différentielle élémentaire deRⁿ 62

18 Géométrie et trigonométrie sphérique 62

19 Le groupe orthogonal et les quaternions 63

20 G´eom´etrie projective I 64

21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP¹ 64

21.1 Applications conformes . . . . 64 21.2 Propri´et´es des homographies deCP¹ . . . . 65

22 Géométrie et trigonométrie hyperbolique 66

IV Analyse complexe 67

23 S´eries enti`eres 67

24 Fonctions holomorphes 69

25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances 71

26 Formule de Cauchy 73

27 Cons´equences de la formule de Cauchy 76

28 Singularit´es 80

29 Int´egrales curvilignes 82

30 Théorème des résidus 84

31 Fonctions Zeta et autres... 86

31.1 Divers . . . . 86 31.2 Transformations deC . . . . 89

V Alg` ebre et th´ eorie des nombres 89

32 Groupes 89

33 Sous-groupes, morphismes 91

34 Groupes finis 93

35 Anneaux, corps 95

36 Polynˆomes 97

37 Extension de corps 99

38 Extension d’anneau 100

VI Sujets d’examens 101

39 Examen AR janvier 1994 101

40 Examen AR juin 1994 102

41 Examen AR septembre 1994 103

42 Examen AR janvier 1995 104

44 Examen AR septembre 1995 106

46 Examen ARC d´ecembre 1998 108

(4)

47 Examen ARC janvier 1999 110

48 Examen ARC septembre 1999 111

49 Examen ARC novembre 1999 112

52 Examen ARC d´ecembre 2000 116

55 Examen VC janvier 96 119

56 Examen VC avril 96 120

57 Examen VC juin 96 121

58 Examen VC septembre 96 123

59 Examen VC janvier 98 125

VII Corrections 127

Premi` ere partie

Topologie

1 Notions de topologie I

1.1 Rappels

Exercice 1 1. Rappeler les définitions d’une borne supérieure (inférieure) d’un ensemble de nombres réels.

Si A et B sont deux ensembles born´es de R, comparer avec supA, infA, supB et infB les nombres suivants :

(i) sup(A+B), (ii) sup(A∪B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A∪B), (v) inf(A∩B).

2. Pour x∈Rⁿ et A⊂Rⁿ on d´efinitd(x, A) = inf_a∈A||x−a||. Trouverd(0,R−Q),d(√

2,Q),d(M,D) o`u M = (x, y, z)∈R³ et Dest la droite de vecteur unitaire (a, b, c).

3. Pour A, B ⊂Rⁿ on d´efinit d(A, B) = inf_a∈A,b∈B||a−b||. Trouverd(A, B) lorsque A est une branche de l’hyperbole {(x, y)∈R²; xy= 1}et B une asymptote.

4. On d´efinit diamA= sup_a,b∈A||a−b||. Quel est diam([0,1]∩Q) ? diam([0,1]∩R−Q) ?

Exercice 2 Montrer que tout ouvert de Rest union d´enombrable d’intervalles ouverts deux `a deux disjoints.

(Indication : si x ∈ O ouvert, considérer Jx = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ O et 3 x). Décrire de même les ouverts deRⁿ.

Exercice 3 On va montrer que l’ensemble D des r´eels de la forme p+q√

2 o`u pet q d´ecrivent Z, est dense dansR.

1. Remarquer queD est stable par addition et multiplication.

2. Posonsu=√

2−1 ; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern>1 tel que 0< uⁿ < b−a, puism v´erifianta < muⁿ< b.

En d´eduire le r´esultat.

1.2 Topologie g´ en´ erale

Exercice 4 1. SoitX ={0,1}muni de la famille d’ouverts{∅,{0}, X}. Cette topologie est-elle séparée ? 2. SoitX un ensemble non vide. Décrire la topologie dont les singletons forment une base d’ouverts.

(5)

3. Décrire la topologie surRdont la famille des intervalles fermés forme une base d’ouverts ; même question avec les intervalles ouverts symétriques.

4. SoitX un ensemble infini. Montrer que la famille d’ensembles constituée de l’ensemble vide et des parties deX de complémentaire fini définit une topologie surX.

Exercice 5 SoitX un espace topologique, etf une application quelconque deX dans un ensembleY. On dit qu’une partieAdeY est ouverte, sif⁻¹(A) est un ouvert deX. V´erifier qu’on a d´efini ainsi une topologie sur Y.

Exercice 6 Montrer qu’on peut construire sur R∪ {∞}une topologie séparée en prenant comme ouverts, les ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ∪ {∞} où aest réel. Comment construire une topologie séparée surR∪ {+∞} ∪ {−∞}?

Exercice 7 Soit X un ensemble non vide et Σ une famille de parties de X stable par intersection finie et contenantX. Montrer que la plus petite topologieT contenant Σ (la topologie engendrée par Σ) est constituée des unions d’ensembles de Σ, ou, de fa¸con équivalente,

A∈ T ⇐⇒ ∀x∈A ∃S∈Σ ; x∈S ⊂A.

Montrer que l’on peut affaiblir l’hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (∗) ∀S1, S₂∈Σ, ∀x∈S₁∩S₂, ∃S3∈Σ ; x∈S₃⊂S₁∩S₂.

Exercice 8 SoitCl’ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef ∈C etε >0 on d´efinit M(f, ε) ={g/

Z 1 0

|f−g|< ε}.

Montrer que la famille M des ensembles M(f, ε) lorsque f ∈ C et ε > 0 est une base de topologie. Mˆeme question avec la famille

U(f, ε) ={g/sup

x

|f(x)−g(x)|< ε}.

Exercice 9 U dansNest dit ouvert s’il est stable par divisibilité, c.a.d. tout diviseur den∈U est encore dans U. Montrer qu’on a défini ainsi une topologie surNqui n’est pas la topologie discrète.

Exercice 10 On consid`ere dansN^∗, la famille de progressions arithm´etiques P_a,b={a+bn/n∈N^∗},

o`u aetbsont deux entiers premiers entre eux.

1. Montrer que l’intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithmétique de même nature, plus précisément,

Pa,b∩Pa⁰,b⁰ =Pα,β

o`uαest le minimum de l’ensemblePa,b∩Pa⁰,b⁰, etβ= ppcm (b, b⁰).

2. En d´eduire que cette famille d’ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN^∗ dont on d´ecrira les ouverts.

3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.

1.3 Adh´ erence, int´ erieur, fronti` ere

Exercice 11 1. Montrer que siB est un ouvert de l’espace topologique X et A∩B =∅, alors A∩B =∅, mais queA∩B n’est pas n´ecessairement vide.

2. Montrer à l’aide d’exemples que l’égalité∪iAi =∪iAin’a pas lieu en général pour une infinité d’indices.

Exercice 12 Déterminer l’adhérence et l’intérieur des ensembles suivants :

Q; R\Q; {(x, y)∈R² /0< x <1, y= 0}; {(x, y, z)∈R³ / x= 0} {¹_n, n>1}; le cercle unit´e deR². Exercice 13 SiAest une partie de l’espace topologiqueX, on poseα(A) =

◦

Aetβ(A) =A.^◦ 1. Montrer queαetβ sont des applications croissantes pour l’inclusion deP(X) dansP(X).

2. Montrer que siA est ouvert,A⊂α(A) et si Aest ferm´e,β(A)⊂A. En d´eduire queα²=αetβ²=β.

(6)

3. ConstruireA⊂Rtel que les cinq ensembles : A,A,A,^◦ α(A),β(A) soient tous distincts.

Exercice 14 D´eterminer l’adh´erence dansR² du graphe G={(x, y)/y= sin1

x,0< x61}.

Exercice 15 Dans un espace topologique, on définit la frontière d’une partieAcomme étant∂A=A \A.^◦ 1. Montrer que∂A=∂(A^c) et queA=∂A⇐⇒ Afermé d’intérieur vide.

2. Montrer que∂(A) et∂(A) sont toutes deux incluses dans^◦ ∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont strictes.

3. Montrer que∂(A∪B)⊂∂A∪∂B, et que l’inclusion peut être stricte ; montrer qu’il y a égalité lorsque A∩B=∅ (établir A∪^◦B⊂A^◦ ∪B^◦).

Montrer que

◦

A∪B=A^◦ ∪B^◦ reste vrai lorsque ∂A∩∂B=∅ (raisonner par l’absurde).

Exercice 16 1. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu’il est aussi ´equivalent de dire

(i) Le compl´ementaire de Dest d’int´erieur vide.

(ii) Si F est un ferm´e contenantD, alorsF =X.

(iii)D rencontre tout ouvert non vide deX.

Montrer qu’un ensembleA⊂X rencontre toute partie dense dansX si et seulement si il est d’int´erieur non vide.

2. Soit E et Gdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dans X. En déduire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses.

Exercice 17 Etablir les propriétés suivantes de l’adhérence d’un ensemble dans un espace topologique : 1. A=A

2. SiA⊂B alorsA⊂B.

3. A∪B=A∪B

Montrer que la formuleA∩B =A∩Bn’est pas vraie en général ; montrer que 3. n’est pas vrai en général pour une infinité d’ensembles.

Exercice 18 Etablir l’équivalence entre les propriétés suivantes : 1. A^◦ est le plus grand ouvert contenu dansA.

2. a∈A^◦ si et seulement si il existe un voisinage deaenti`erement contenu dansA.

Etablir pour l’intérieur d’un ensemble des propriétés analogues à celles de l’exercice 17.

Exercice 19 On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0,1] dont on supprime l’intervalle médian ]¹₃,²₃[ ; à la deuxième étape, on supprime les intervalles ]¹₉,²₉[ et ]⁷₉,⁸₉[ etc. On note Kn la réunion des intervalles restants à lan-ième étape, et K =TKn.Quelle est l’adhérence et l’intérieur de K?

Exercice 20 Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble dense dans X. Montrer qu’il est aussi

´

equivalent de dire

1. Le compl´ementaire de D est d’int´erieur vide.

2. SiF est un ferm´e contenantD, alorsF =X.

3. D rencontre tout ouvert deX.

Montrer qu’un ensembleA ∈ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’int´erieur non vide.

Exercice 21 SoitE et Gdeux ouverts denses dans X; montrer queE∩Gest encore dense dansX.

Exercice 22 Soitf une application deRdansRtelle que pour touta >0, l’ensemble desxvérifiant|f(x)|> a est fini. Montrer que{x/f(x) = 0}est dense dansR. Le vérifier sur l’exemple suivant : on énumère les rationnels r1, r2, r3,· · · , rn,· · · et on posef(rn) = _n¹ sin>1,f(x) = 0 ailleurs.

Exercice 23 Montrer que{√

n−E(√

n), n>1}est dense dans [0,1], oùE(x) désigne la partie entière dex.

(7)

1.4 Espaces m´ etriques, espaces vectoriels norm´ es

Exercice 24 1. Montrer que dans tout espace métrique (E, d) une boule fermée est un fermé, mais que l’adhérence d’une boule ouverteB(a, r) ne coincide pas nécessairement avec la boule ferméeB⁰(a, r) (on pourra considérer dans (R²,||.||_∞),E = [0,1]× {0} ∪ {0} ×[0,1] et la boule centrée en (¹₂,0) de rayon 1/2).

2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E, d) v´erifie la condition (∗) de l’exercice 7.

Exercice 25 (E,||.||) un evn.

1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´eeB⁰(a, r) est l’adh´erence de la boule ouverteB(a, r).

2. Montrer queB(a, r)⊂B(b, R)⇐⇒r6Ret||a−b||6R−r.

Exercice 26 1. Si (x, y)∈R², on pose||(x, y)|| = max(|x+y|,|x−2y|). Montrer qu’il s’agit d’une norme surR² et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.

2. Soitp, qdeux normes surRⁿ,Bpet Bq leurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que B_q ⊂B_p⇐⇒p6q.

Que signifie ¹₂Bp⊂Bq ⊂2Bp? Exemples.

Exercice 27 SoitE un ensemble non vide, et X =E^N l’ensemble des suitesx= (x_n) d’´el´ements deE. Pour x, y∈X, on posep(x, y) = min{n/x_n6=y_n} six6=y, et∞six=y.

1. Montrer qued(x, y) = _p(x,y)¹ (avec _∞¹ = 0) est une distance surX qui vérifie l’inégalité ultramétrique d(x, z)6max(d(x, y), d(y, z)).

2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules fermées pour cette métrique ? Exercice 28 1. Soit||.||une norme surRⁿ et Ksa boule unité fermée. Montrer que

(i)K est sym´etrique,

(ii)K est convexe, fermé, borné, (iii) 0 est un point intérieur à K.

2. Réciproquement, montrer que siK possède les trois propriétés ci-dessus, il existe une norme dontK soit la boule unité fermée, en considérant

p(x) = inf{a >0 ; ^x_a ∈K}.

[Exercice corrig´e]

Exercice 29 On noteX =l^∞ l’espace des suites réelles bornées, et Y =c0l’espace des suites réelles tendant vers 0, tous deux munis de la métrique (à vérifier)d(x, y) = sup_n|x(n)−y(n)|. Montrer que Y est fermé dans X. Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dansY mais pas dansX.

Exercice 30 SoitE={f ∈C¹([0,1],R) ; f(0) = 0}. On pose

||f||= sup

06x61

|f(x) +f⁰(x)|, etN(f) = sup

06x61

|f(x)|+ sup

06x61

|f⁰(x)|.

Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes surE.

Exercice 31 Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe.

R´eciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une applicationNdeEdansR⁺telle queN(λx) =

|λ|N(x), et telle que{y/N(y)61} soit convexe. Montrer que

N(x+y)62 sup(N(x), N(y)), x, y∈E.

Exercice 32 On consid`ere dansR², les deux applications n((x, y)) = sup

t∈[0,1]

|x+ty|,

m((x, y)) = Z 1

0

|x+ty|dt.

(8)

2 Notions de topologie II 8

1. Montrer quenet md´efinissent deux normes surR².

2. Dessiner les boules unités fermées associées, et trouver des constantes effectivesA,B, telles queA n((x, y))6 m((x, y))6B n((x, y)) pour tout (x, y)∈R².

Exercice 33 1. On considère dans R² les 4 boules euclidiennes fermées de rayon 1 centrées aux points (1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1) ;Aleur réunion contient 0 comme point intérieur. Trouver le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en 0 et contenue dansA.

2. On se pose plus généralement le problème dansRⁿ:Adésigne l’union∪jB(ej,1)∪jB(−ej,1) où (ej) est la base canonique deRⁿ. Montrer que x∈Asi et seulement si kxk²₂62kxk∞. En déduire que le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en 0 et contenue dansAest ^√²_n.

Exercice 34 Soit N un entier > 1, et E, l’espace des polynômes trigonométriques pde degré 6N, p(t) = PN

−Nc_kexp(ikt).

On pose, pourp∈E,kpk_∞= sup_t∈[0,2π]|p(t)|, etkpk=PN

−N|ck|. Montrer, à l’aide de l’identité de Parseval, que ces deux normes vérifient

kpk_∞6kpk6√

2N+ 1kpk_∞.

2 Notions de topologie II

2.1 Topologie s´ epar´ ee

Exercice 35 (Espace quasi-s´epar´e) Soit (X,T) un espace topologique.

1. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)∀x, y∈X, x6=y, ∃V voisinage dex; y /∈V. (ii)∀x∈X, {x}est ferm´e.

(iii)∀x∈X, ∩ {V ; V voisinage dex}={x}.

2. Soit (X,T) ainsi etA⊂X tel queA6=A. Montrer que six∈A\A, tout voisinage dexcoupeAen une infinit´e de points.

Exercice 36 (Exemple de topologie non séparée) DansC, on note [z0→[ la demi-droite{ρeîθ⁰; ρ>ρ0}, siz0=ρ0eîθ⁰. On déclare ouvert toute réunion (éventuellement vide) de telles demi-droites.

1. Montrer qu’on a ainsi défini sur Cune topologieT non séparée.

2. Montrer que l’adh´erence du point{z0} pour cette topologie est [0, z0].

3. En déduire que les fermés deT sont les ensembles étoilés par rapport à 0 (Aest dit “étoilé par rapport à 0” si, pour toutz∈A, le segment [0, z] est encore dansA).

[Exercice corrig´e]

2.2 Topologie induite, topologie produit

Exercice 37 Soit (X,T) un espace topologique séparé. Montrer que la diagonale ∆ deX×X est fermée dans X×X.

Exercice 38 1. Quels sont les ouverts de [1,2]∪ {3} induits par ceux deR? 2. Quelle est la topologie induite surZpar celle deR?

3. Quels sont les ouverts du cercle Γ ={z/|z|= 1}? du demi-plan{z/Imz >0}? du demi-plan{z/Imz>0}

dansC?

Exercice 39 Soit Y un sous-ensemble de l’espace topologique X, muni de la topologie induite. Décrire les ouverts (fermés) induits deY lorsqueY est ouvert (fermé).

Soit A ⊂ Y. Montrer que l’adh´erence de A dans Y, A^Y = Y ∩A; a-t-on pour l’int´erieur de A dans Y,

◦

A^Y=Y∩A^◦?

Exercice 40 On dit qu’un espace topologiqueX a la propriété (P) si la famille de parties deX qui sont à la fois ouvertes et fermées est une base pour les ouverts deX.

1. Montrer qu’un espace topologique discret a cette propri´et´e.

2. Montrer que la topologie induite surQpar la topologie usuelle deRn’est pas la topologie discrète, mais qu’elle possède aussi la propriété (P).

3. Autre exemple ?

(9)

2.3 Fonctions continues sur R

Exercice 41 Soit f une isométrie de R dans R. Montrer qu’on a soit f(x) = a−x, soit f(x) = a+x, où a=f(0). (Se ramener àa= 0.)

Exercice 42 Soitf une application deRdansR, telle quef(x+y) =f(x) +f(y) et f(xy) =f(x)f(y) pour tousx, y∈R. On va montrer quef est soit nulle, soit la fonction identit´e.

1. Remarquer quef(x)>0 six>0 et ainsi, quef est croissante.

2. Montrer que pour tout xréel on peut construire une suite (rk) et une suite (sk) de rationnels telles que rk ↑xetsk ↓x. En déduire le résultat.

Exercice 43 Soitf une application continue deRdansR. On rappelle quetest une période def sif(x+t) = f(x) pour toutxréel. SoitE le groupe des périodes def, supposé non vide etT = inf{t∈E ; t >0,}.

1. Montrer que siT = 0 alorsf est constante.

2. SiT >0,f estT-p´eriodique et E=Z.T.

Exercice 44 Soitf une application de RdansRet ωsa fonction oscillation d´efinie pour x0∈Retδ >0 par ω(x0, δ) = sup

{|x₀−y|=δ,|x₀−z|=δ}

|f(y)−f(z)|.

1. Remarquer quef est continue enx0si et seulement si ω(x0) = inf

δ>0ω(x0, δ) = 0.

2. Montrer que pour toutε >0,Oε={x; ω(x)< ε}est un ouvert.

En d´eduire queC(f), l’ensemble des points de continuit´e def, est unGδ.

Exercice 45 Existe-t-il une application continue f de [0,1] dans R, telle que f(x) soit rationnel si x est irrationnel, etf(x) irrationnel sixest rationnel ?

Exercice 46 On note pour toutx∈R, ϕ(x) = dist(x,Z).

1. Montrer que la fonction ϕest continue, 1-p´eriodique, et ´etudier la fonctionf telle que f(x) =X

n

ϕ(2ⁿx) 2ⁿ . 2. On fixex0∈R, et on consid`ere les deux suites de terme

zk = 1

2^kE(2^kx0), yk =zk+ 1 2^k.

Montrer que la suite (z_k) croˆıt vers x₀ et que la suite (y_k) d´ecroˆıt vers x₀. Calculer ^f(z_z^k^)−f(y^k⁾

k−yk et en d´eduire quef n’est pas d´erivable enx₀.

On a ainsi construit une fonction continue, nulle part d´erivable.

2.4 Continuit´ e dans les espaces topologiques

Exercice 47 SoitX un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l’ensemble vide, et les parties de complémentaire fini. Montrer que siY est un espace séparé, toute application continue deX dansY est constante.

Exercice 48 SoitX un espace topologique etf :X →R.

1. Montrer quef est continue si et seulement si pour toutλ∈R, les ensembles{x; f(x)< λ}et{x; f(x)>

λ} sont des ouverts deX.

2. Montrer que si f est continue, pour tout ω ouvert deR, f⁻¹(ω) est un Fσ ouvert de X (Fσ= réunion dénombrable de fermés).

3. SoitA⊂X. A quelle conditionf =1_A est-elle continue surX?

(10)

Exercice 49 1. Soit C l’espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etrique d1(f, g) = R1

0 |f−g| dx, puis de la m´etrique d_∞(f, g) = sup_x|f(x)−g(x)|. V´erifier que l’applicationf →R1 0 |f|dx deC dansRest 1-lipschitzienne dans les deux cas.

2. Soit c l’espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique d(x, y) = sup_n|x(n)−y(n)|. Si on désigne parl(x) la limite de la suitex, montrer quelest une application continue decdansR. En déduire quec0est fermé dansc.

Exercice 50 Soitf, g deux applications continues deX dansY, espaces topologiques,Y étant séparé.

1. Montrer que{f =g} est ferm´e dansX; en d´eduire que sif et g coincident sur une partie dense deX, alorsf =g.

2. Application : Soitf une fonction continue deRdansR, telle quef(x+y) =f(x)+f(y) pour tousx, y∈R. Montrer quef(r) =rf(1) pour tout rationnelret en d´eduire l’expression def.

Exercice 51 SoitEet F deux espaces vectoriels normés et on noteBE la boule unité fermée deE. Soituune application deE dansF telle que

(i)u(x+y) =u(x) +u(y), ∀x, y∈E.

(ii)u(B_E) est born´ee dansF.

1. Calculeru(rx),x∈E,rrationnel.

2. Montrer queuest continue en 0, plus pr´ecis´ement :

∃M >0 ; ∀x6= 0 ||u(x)||6M||x||.

3. Montrer queuest continue et lin´eaire.

Exercice 52 SoitOun ouvert de l’espace topologique produitX×Y. Montrer que pour toutx∈X, l’ensemble A_x={y∈Y /(x, y)∈O}est un ouvert de Y. Le v´erifier sur{(x, y)∈R²/xy >1, x+y <4}.

Exercice 53 Montrer que sif est continue deX dansY, espaces topologiques, Y étant séparé, son grapheG est fermé dansX×Y. Etudier la réciproque en considérant l’hyperbole équilatère.

Exercice 54 Soitf :X→Y, espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)f est continue.

(ii)f⁻¹(B)⊂f⁻¹(B) pour toute partieB deY. (iii)f⁻¹(B)^◦ ⊂

◦

f⁻¹(B) pour toute partieB deY.

En d´eduire∂f⁻¹(B)⊂f⁻¹(∂B) pour toute partieB deY.

Exercice 55 Une application deX dansY est diteouvertesi l’image de tout ouvert deX est un ouvert deY ; ferméesi l’image de tout fermé deX est un fermé deY.

1. Montrer qu’une fonction polynˆomiale de RdansRest une application ferm´ee.

2. Montrer que l’application (x, y)∈X×Y →x∈X est ouverte mais pas nécessairement fermée (considérer l’hyperbole équilatère deR²).

3. Montrer que la fonction indicatrice de l’intervalle [0,¹₂], comme application deRdans{0,1}, est surjective, ouverte, ferm´ee, mais pas continue.

4. Montrer que toute application ouverte de RdansRest monotone.

Exercice 56 1. Montrer quefest continue si et seulement sif(A)⊂f(A) pour toutAdansX. Que peut-on dire alors de l’image parf d’un ensemble dense dansX?

2. Montrer quefest ferm´ee si et seulement sif(A)⊂f(A), et quefest ouverte si et seulement sif(A)^◦ ⊂

◦

f(A).

Exercice 57 SoitCl’espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etriqued(f, g) =R1

0 |f−g|dx, puis de la m´etriqued(f, g) = sup_x|f(x)−g(x)|. V´erifier que l’applicationf →R1

0 f dxdeCdansRest continue dans les deux cas.

Exercice 58 Soitc l’espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etrique d(x, y) = sup_n|x(n)−y(n)|.

Si on d´esigne parl(x) la limite de la suitex, montrer quel est une application continue decdansR.

(11)

Exercice 59 SoitX un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l’ensemble vide, et les parties de complémentaire fini. Montrer que siY est un espace séparé, toute application continue deX dansY est constante.

Exercice 60 SoitX un espace m´etrique etY un sous-ensemble deX. Montrer queY est ferm´e si et seulement si il existe une application continuef :X →Rtelle que Y ={x/f(x) = 0}.

Exercice 61 Soitf une application ouverte de X dans Rⁿ, et A une partie de X. Montrer que pour tout a dans l’int´erieur deA,

kf(a)k<sup

x∈A

kf(x)k.

2.5 Topologie des espaces m´ etriques, norm´ es

Exercice 62 SiAest une partie born´ee d’un espace m´etrique (E, d), on pose diamA= sup_a,b∈Ad(a, b).

1. Montrer que diamA= diamA.

2. Trouver le diamètre de {f ∈ C([0,1]) ; 06f 61}; de {f ∈C([0,1]) ; 06f 61, f(0) = 0}, C étant muni de la métriqued1.

Exercice 63 Soit (X, d) un espace m´etrique ; montrer que l’application (x, y) → d(x, y) est continue sur le produitX×X.

Exercice 64 Soit (E, d) un espace métrique et A une partie de E; retrouver les propriétés de la fonction d_A:x→d(x, A) :

1. d_A est 1-lipschitzienne ;d(x, A) =d(x, A) etd_A(x) = 0 si et seulement six∈A.

2. Montrer que{x∈E ; d(x, A)< ε}est un ouvert contenant A.

3. Montrer que tout ferm´e deE est unGδ et que tout ouvert est unFσ.

Exercice 65 (Support d’une fonction continue) Soit f : E → R une fonction continue d´efinie sur un espace topologiqueE. On appelle support (ferm´e) def,S=S(f) ={x∈E ; f(x)6= 0}.

1. Montrer queS =S.^◦

2. Réciproque. On supposeE métrique etA⊂E fermé vérifiantA=A. Montrer qu’il existe^◦ f :E→Rune fonction continue telle queA=S(f).

Exercice 66 1. Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints F₁ et F₂ peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant{x/d(x, F₁)>

d(x, F₂)}.

2. Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F1 et 1 surF2 (considérerf(x) =_d(x,F^d(x,F¹⁾

1)+d(x,F2)).

Exercice 67 Soit (X, d) un espace métrique avec métrique bornée. On noteF l’ensemble des fermés non vides deX, et on définit pourAetB dansF,

δ(A, B) =kdA−dBk∞

o`u dAest la fonction born´eex→d(x, A).

Montrer qu’on a défini ainsi une métrique surF, et que l’applicationa→ {a}est une isométrie deX dansF. Exercice 68 SoitE un espace vectoriel normé surRouC.

1. Vérifier que l’application (λ, x)→λxest continue ; que (x, y)→x+yest lipschitzienne ainsi que l’applicationx→ kxk; et que les translations et les homothéties sont des homéomorphismes deE.

2. Montrer que la boule unité ouverte est homéomorphe àEtout entier (considérer l’applicationx→ _1−||x||^x ).

3. Montrer que deux boules ouvertes de (E,||.||) sont hom´eomorphes entre elles.

4. Montrer que le seul sous-espace ouvert deEestElui-mˆeme, et que tout sous-espace propre est d’int´erieur vide dansE.

5. Montrer que l’adhérence d’un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel ; en déduire qu’un hyperplan deE est fermé ou partout dense dansE.

(12)

Exercice 69 (extrait du partiel de décembre 98) SoitE un espace vectoriel normé surCde boule unité ferméeB etF un sous-espace vectoriel fermé deE. On va montrer que si F 6=E,

sup

x∈B

d(x, F) = 1.

1. Etablir les propri´et´es pourx, x⁰∈E, y∈F, λ∈C: (i)d(x, F)6||x||.

(ii)d(λx, F) =|λ|d(x, F).

(iii)d(x−y, F) =d(x, F)

(iv)d(x+x⁰, F)6d(x, F) +d(x⁰, F).

2. Soitx∈B tel queα=d(x, F)>0. Montrer que pour toutε >0 il existey∈F tel que : α6||x−y||< α(1 +ε).

3. Montrer qu’il existex⁰∈B tel que : _1+ε¹ =d(x⁰, F)<1.

4. En d´eduire le r´esultat.

Exercice 70 Peut-on construire dansRun ensemble infini, fermé, constitué uniquement d’irrationnels ? Exercice 71 Montrer que surRⁿ, les distancesdeuclidienne, d∞ etd1 définissent la même topologie.

Exercice 72 1. Dans R², on considèreU =R²\{(0, y)∈R²/y >0}. Vérifier qu’il est ouvert et qu’il peut s’écrire comme une union dénombrable de fermés (un tel ensemble est dit de type F_σ).

2. DansRⁿ, on considère le sous-ensemble des points à coordonnées entières, et le sous-ensemble des points

`

a coordonnées rationnelles. Vérifier que le premier est fermé mais que le second n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 73 SoitM_n(R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordren, muni de la distanced(A, B) = max_i,j|ai,j− b_i,j| o`uA= (a_i,j) et B= (b_i,j).

1. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense deMn(R).

2. Dans le casn= 2, décider si les ensembles suivants sont ouverts, fermés, ni ouverts ni fermés : A= matrices ayant deux valeurs propres distinctes et>0.

B = matrices ayant deux valeurs propres>0.

Exercice 74 On noteX l’espace des suites r´eelles x= (x(n)) et on le munit de la topologie dont les ouverts

´

el´ementaires sont

V(x;n1, n2,· · ·nk;ε) ={y∈X/|x(ni)−y(ni)|< ε, i= 1· · ·k}.

V´erifier qu’on a bien d´efini une base de topologie.

Comparer la topologie qu’elle engendre surl^∞et c0 avec la topologie métrique de l’exercice précédent.

Exercice 75 SoitX un espace topologique. On considère les propriétés suivantes : (i) X contient un dénombrable dense.

(ii) la topologie surX poss`ede une base d´enombrable d’ouverts.

Montrer que (ii) implique (i) et que la réciproque a lieu si X est métrisable. Un espace vérifiant (i) est dit séparable.

Exercice 76 SoitX un espace métrique séparable (cf exercice 75), etAune partie quelconque deX. Montrer queAest encore séparable.

2.6 Comparaison de topologies et de m´ etriques

Exercice 77 On considère dansRles trois topologiesT1, T2, T3, engendrées respectivement par les intervalles de la forme ]a, b[, [a, b[, [a, b],aet bdécrivantR. Comparer les topologies, et décrire les fonctions continues de (R,T1) dans (R,T2) ; de (R,T1) dans (R,T3).

Exercice 78 SoitT etT⁰ deux topologies surX. Montrer queT⁰ est plus fine queT ssi (X,T⁰)id

→(X,T) est continue. Montrer qu’alorsA^T

0

⊂A^T ; quelle inclusion a-t-on entre

◦

A^T⁰ et

◦

A^T ?

(13)

Exercice 79 On d´esigne pard(a, b) la distance euclidienne usuelle dea, b∈R² et on pose δ(a, b) =

d(a, b) si a, b sont align´es avec l’origine O d(0, a) +d(0, b) sinon

1. Montrer queδ est une distance surR² (“distance SNCF”) plus fine que la distance usuelle.

Dans la suite, on supposeR²muni de la topologie associ´ee `a δ.

2. SoitH le demi-plan{(x, y) ; y >0}; d´eterminerH.

3. Quelle est la topologie induite sur une droite vectorielle ; sur le cercle unit´e Γ ?

4. Lesquelles des transformations suivantes sont continues : homoth´eties de centreO; rotations de centreO; translations ?

Exercice 80 1. Montrer que||f||_∞= sup₀₆_x₆₁|f(x)|et||f||1=R1

0 |f(t)|dtsont deux normes surC([0,1],R).

Sont-elles ´equivalentes ?

2. Les deux métriques associées sont-elles topologiquement équivalentes ?

Exercice 81 Comparer surX ={0,1}^N^∗, l’espace des suites de 0−1, les topologies d´efinies par les distances d(x, y) = 1

min{n/xn 6=yn} six6=y, 0 sinon, et

δ(x, y) = sup_n|x(n)−y(n)|.

Exercice 82 SoitE =C¹([0,1],R). Comparer les normesN1(f) =||f||∞, N2(f) =||f||∞+||f||1, N3(f) =

||f⁰||∞+||f||∞, N3(f) =||f⁰||1+||f||∞.

Exercice 83 On se donne une applicationf :R→Rⁿ, et on note dla distance euclidienne surRⁿ. A quelles conditions surf,δ(x, y) =d(f(x), f(y)) définit-elle une distance surRéquivalente topologiquement à la distance usuelle (ie définissant la même topologie.) ?

Exercice 84 SoitE un ensemble non vide, et X =E^N l’ensemble des suitesx= (xn) d’´el´ements deE. Pour x, y∈X, on posep(x, y) = min{n/xn6=yn} six6=y, et∞six=y.

Montrer qued(x, y) =_p(x,y)¹ (avec _∞¹ = 0) est une distance surX qui vérifie l’inégalité ultramétrique d(x, z)6max(d(x, y), d(y, z)).

Exercice 85 On dit qu’une distance estultramétrique si elle vérifie l’inégalité triangulaire renforcée : d(x, z)6max(d(x, y), d(y, z)).

Etablir les assertions suivantes :

1. Sid(x, y)6=d(y, z), alorsd(x, z) = max(d(x, y), d(y, z)).En d´eduire que tout triangle dansEest isoc`ele.

2. Toute boule ouverte B(x, r) est un ensemble `a la fois ouvert et ferm´e, et B(x, r) =B(y, r) ∀y∈B(x, r).

3. Toute boule ferméeB⁰(x, r) est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et B⁰(x, r) =B⁰(y, r) ∀y∈B⁰(x, r).

4. Si deux boules ont un point commun, elles sont emboˆıt´ees.

Exercice 86 Soit (X, d) un espace métrique, et soit ϕ une fonction réelle définie pour x > 0, vérifiant (i) ϕ(0) = 0, (ii)ϕcroissante, (iii)ϕ(u)>0 siu >0, (iv)ϕ(u+v)6ϕ(u) +ϕ(v).

1. Montrer queδ(x, y) =ϕ(d(x, y)) d´efinit une distance surX.

2. Vérifier que les fonctionsϕ1(u) = inf(u,1),ϕ2(u) = _1+uû ,ϕ3(u) = log(1 +u), etϕ4(u) =u^αoù 0< α <1 remplissent les conditions (i) (ii) et (iii) ; plus généralement, montrer que toute fonction f strictement croissante, concave, telle que f(0) = 0 remplit ces conditions.

3. On suppose de plus que la fonction ϕest continue en 0. Montrer que les m´etriquesdet δ sont topologiquement ´equivalentes.

4. Montrer queδ1=ϕ1(d) etδ2=ϕ2(d) sont lipschitz-´equivalentes.

Exercice 87 Soit (X, d) un espace métrique avec métrique bornée. On noteF l’ensemble des fermés non vides deX, et on définit pourAetB dansF,

δ(A, B) =kd_A−d_Bk_∞

où dA est la fonction bornéex→d(x, A). Montrer qu’on a défini ainsi une métrique surF, et que l’application a→ {a}est une isométrie de X dansF.

(14)

2.7 Suites, limites et valeurs d’adh´ erence, points d’accumulation et points isol´ es

Exercice 88 Trouver les valeurs d’adh´erence de la suite : 0,1,0,¹₂,1,0,¹₄,¹₂,³₄,1,· · · ,0,₂¹_k,₂²_k,· · ·,²^k₂⁻¹_k ,1,0, ...

Exercice 89 Soit (x_n) une suite d’un espace topologiqueX s´epar´e ; on note Al’ensemble{x₁, x₂,· · · }.

1. Toute valeur d’adhérenceade la suite est un point deA : donner un exemple oùaest un point isolé de A; un exemple où aest un point d’accumulation dansA; un exemple où aest un point d’accumulation dansA\A.

2. Montrer que tout point d’accumulation deAest valeur d’adh´erence de la suite.

Exercice 90 1. Soit (un) une suite r´eelle telle quee^iuⁿ et eⁱ

√2u_n convergent. Montrer que (un) a au plus une valeur d’adh´erence.

2. Soit (un) une suite réelle telle queeîtuⁿconverge pourt∈T oùT est non dénombrable. Même conclusion.

Exercice 91 Soit (un) une s´erie positive divergente telle queun d´ecroit vers 0 et on pose A ={±u1±u2±

· · · ±un, n>1}. Montrer queA=R.

Exercice 92 SoitRⁿ consid´er´e comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. SoitGun sous-groupe de Rⁿ.

1. On suppose que 0 est isolé dansG. Montrer que tout point est isolé, queGest discret et fermé dansRⁿ. On se restreint au casn= 1.

2. Montrer qu’alors,Gest soit{0}, soit de la formeaZ, a >0.

3. Montrer que si 0 est point d’accumulation,Gest partout dense dansR. En d´eduire ainsi les sous-groupes ferm´es deR.

4. On considèreα /∈Q; montrer queZ+Zαest un sous-groupe dense deR. En déduire les valeurs d’adhérence de la suite (e^2iπnα).

Exercice 93 Soit dans un espace m´etrique (X, d) une suite (xn) telle que les trois sous-suites (x2n), (x2n+1), et (x3n) convergent. Montrer que la suite elle-mˆeme converge.

Exercice 94 Soit (a_m,n)_(m,n)∈_N2une suite d’un espace m´etrique (X, d). On suppose que lim_n→∞a_m,n=a_m, et que lim_m→∞am=a. Montrer qu’il existe une sous-suite de la suite initiale (ap,n_p) telle que lim_p→∞ap,n_p=a.

Exercice 95 Soit (F_n) une suite décroissante de fermés dans un espace topologiqueX, et soit (x_n) une suite convergente dansX telle que pour chaquen,x_n∈F_n. Vérifier que lim_x→∞x_n∈TF_n.

Que peut-on dire si la suite de ferm´es n’est plus d´ecroissante ?

Exercice 96 On va montrer que les polynˆomes sont denses dans les fonctions continues sur [−1,1]. Pour commencer, on approche la fonction|t|.

1. Montrer que la suite de polynômes définis par récurrence : p_n+1(t) =p_n(t) +1

2(t²−p²_n(t)), p₀(t) = 0, converge vers|t|.

2. En d´eduire que toute fonction affine par morceaux sur [−1,1] est limite d’une suite de polynˆomes.

3. Montrer que les polynˆomes sont denses dans les fonctions continues sur [−1,1].

Exercice 97 1. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite de réelsxn= (1 +_n¹) sin(n^π₆) ; de la suite (_m¹ +_n¹)_m_>_1,n_>₁.

2. Montrer que l’ensemble Zα+Zest dense dans Rsi αest irrationnel. En d´eduire l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suitex_n = cos(2πnα).

(Indication : on pourra montrer que tout sous-groupe fermé deRest soitR, soit discret, de la formeaZ.) Exercice 98 On sait que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite réelle est un fermé deR. Montrer que tout fermé deR est l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite réelle : siF est fini, trouver une suite qui prend une infinité de fois chaque valeur deF; siF est infini, montrer queF contient un dénombrable denseD et trouver une suite qui prend une infinité de fois chaque valeur deD.

(15)

3 Notions de topologie III 15

Exercice 99 Soit (εk) une suite `a valeurs dans {−1,1}et Sn =Pn

k=0εk. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (S_n) est un intervalle deZ.

Exercice 100 On consid`ere une suite (xn) de [0,1] telle quexn+1−xn tend vers 0.

1. Montrer que l’ensembleAde ses valeurs d’adh´erence est un intervalle ferm´e de [0,1].

2. On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie parxn+1=f(xn) oùf est continue de [0,1] dans lui-même, et un point initialx0∈[0,1]. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si x∈A, alorsx=f(x), et que si xm∈Apour un indicem, alors la suite converge.) 3. Soit x = (xn) une suite de l^∞; montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite y de terme

généraly_n= ^x¹^+x²^+···+x_n ⁿ est un intervalle. En déduire que l’applicationf del^∞dans lui-même qui associe y à x, n’est pas bijective.

3 Notions de topologie III

3.1 Hom´ eomorphisme

Exercice 101 1. Montrer queZetQ(munis de la topologie induite par celle deR) ne sont pas hom´eomorphes.

On peut par ailleurs montrer que deux sous-ensembles d´enombrables denses deRsont toujours hom´eomorphes.

2. Trouver un hom´eomorphisme de ]−1,1[ surR; de ]−1,1[ sur ]a, b[.

3. Montrer que si I est un intervalle ouvert de R, et c un point n’appartenant pas `a I, les ensembles I et I∪ {c}ne sont pas hom´eomorphes bien qu’en bijection.

Exercice 102 Soitf une injection continue deRdansR.

1. Montrer à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires quef est strictement monotone.

2. Montrer que l’image par f d’un intervalle ouvert est encore un intervalle ouvert ; en d´eduire que f est ouverte et donc un hom´eomorphisme deRsurf(R).

Exercice 103 Soit f une application de X dans Y séparé. Montrer que sif est continue, son graphe Gest fermé dansX×Y, et l’applicationx→(x, f(x)) est un homéomorphisme deX sur le grapheGdef.

Montrer sur un exemple que la réciproque est fausse en général (mais vraie siY est compact).

Exercice 104 Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dansR² sont homéomorphes.

Exercice 105 Montrer que la boule unité ouverte deRⁿest homéomorphe àRⁿtout entier, et que deux boules ouvertes sont homéomorphes entre elles.

Exercice 106 On noteS¹le cercle unit´e dansR², ethl’application de RdansS¹ :t→(cos 2πt,sin 2πt).

1. Montrer que le cercle privé d’un point,S¹\{a}, est homéomorphe à l’intervalle ]0,1[.

2. Montrer quehest une bijection continue de [0,1[ surS¹, mais n’est pas un hom´eomorphisme.

3. Soit f une application continue de R dans S¹\{a}, cette fois plong´e dans C. Montrer que f admet un

“logarithme continu”, c’est-à-dire qu’il existeg continue deRdansRtelle que f =eîg. Exercice 107 SoitF l’application deR⁺ dans C² qui àxassocie (exp(2iπx),exp(2iπx√

2)) dont l’image est la courbeγ.

1. Montrer queF est continue injective.

2. Montrer que l’adh´erence deγ dansC²est S¹×S¹. 3. Montrer queF⁻¹ n’est continue en aucun point de γ.

Exercice 108 (Projection st´er´eographique) SoitSⁿ⁻¹={x= (x1,· · · , xn)∈Rⁿ/ kxk²=Pn

1x²_i = 1}, la sphère unité deRⁿ,pson pôle nord i.e. le pointp= (0,· · ·,0,1), etA=Sⁿ⁻¹\{p}.

1. Montrer que le “plan” de l’équateurE est homéomorphe àRⁿ⁻¹.

2. A tout point xdeA on associeh(x) le point d’intersection de la droite issue de ppassant par ce point, avec le planE. Expliciterh, puish⁻¹ et montrer ainsi que la sphère est homéomorphe àRⁿ⁻¹.

(On ´etablirah(x) =p+_1−x^x−p

n et h⁻¹(y) = _1+kyk^2y ₂ +p ^1−kyk_1+kyk²₂).

3. En d´eduire un hom´eomorphisme deS¹surR.

(16)

3.2 Dualit´ e, isom´ etrie

Exercice 109 SoitE un evn,f un ´el´ement non nul du dual deE, etLl’hyperplan affine{x∈E/f(x) = 1}.

1. Montrer que

x∈Linf kxk> 1 kfk.

2. On peut trouver dans la sphère unité une suite (x_n) telle que |f(x_n)|> n+1ⁿ kfk (justifier) et, à l’aide de cette suite, montrer que l’on a finalement

x∈Linf kxk= 1 kfk. Exercice 110 SoitE=C([0,1]),µ(x) =R1

0 x(t)dt,µ_n(x) =_n¹Pn

k=1x(^k_n).

1. Calculerkµket kµnk.

2. Montrer queµn(x) converge versµ(x) pour toutexdansE, mais quekµ−µnk= 2.

Exercice 111 SoitE =C([0,1]) et (tn) une suite de points distincts, convergente dans [0,1]. Montrer quef d´efinie par f(x) =P∞

1 (−1)ⁿ

2ⁿ x(t_n) est un élément deE⁰ de norme 1 qui n’atteint sa norme en aucun point de la boule unité deE.

Exercice 112 Soit a, b∈ E evn,B1 ={x∈E/kx−ak =kx−bk = ¹₂ka−bk}, et pour n > 1,Bn ={x∈ B_n−1/kx−yk6 ¹2δ(B_n−1), ∀y∈B_n−1}, oùδ(B) désigne le diamètre de l’ensembleB.

1. Montrer queδ(B_n)6¹₂δ(B_n−1), et queT

nB_n={^a+b₂ }.

2. Soitf une isom´etrie deEsurF evn, telle quef(0) = 0. Montrer en consid´erant la suite (f(Bn)) que pour tous a, b∈E,

f(a+b

2 ) = f(a) +f(b)

2 .

En déduire que f est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d’une isométrief deE surF.

3. On notel_n^∞l’espaceRⁿ muni de la norme sup₁₆_i₆_n|x_i|, et on considère l’applicationf :l_n^∞→l^∞_n+1définie parf(x₁,· · · , x_n) = (x₁,· · ·, x_n,sinx₁). Vérifier quef est une isométrie non linéaire entre evn ; pourquoi n’a-t-on pas de contradiction avec ce qui précède ?

Exercice 113 1. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite born´ee de complexes (vn), la s´eriePunvn converge. Montrer que (un) est dans l’espacel¹.

2. Soit (un) une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite (vn) dansl², la s´eriePunvn

converge. Montrer que (un) est dans l’espacel².

Indication : Soit (a_n) une série positive divergente. Montrer que la série de terme général _Sâⁿ_α

n

, o`u S_n = Pn

k=0akconverge siα >1 et diverge sinon. Utiliser ensuite cette remarque pour conduire un raisonnement par l’absurde.

Exercice 114 On va montrer que le dual del²est isométriquement isomorphe àl². On note comme d’habitude en l’élément de l² dans toutes les composantes sont nulles, sauf lan-ième qui vaut 1.

1. Soit x∈ l². Montrer que la suite d’´el´ements de l² xn =Pn

1x(k)ek converge vers xdans l² (autrement dit, les suites nulles `a partir d’un certain rang sont denses dans l².) En d´eduire que sif ∈(l²)⁰, f(x) = P∞

1 x(n)f(en).

2. Montrer quekfk>(Pn

1|f(e_k)|²)¹², et que (f(e_n))_n est un ´el´ement del².

3. Montrer alors que pour toutx∈l²,|f(x)|6kxk₂k(f(e_n))k₂, et quekfk=k(f(e_n))k₂.

En d´eduire que l’applicationf →(f(en)) est un isomorphisme isom´etrique du dual del² surl².

Exercice 115 En suivant la même démarche que l’exercice 114, montrer que le dual topologique de c0 est isométriquement isomorphe àl¹.

(17)

3.3 Prolongement de fonctions

Exercice 116 1. Montrer que si deux fonctions continues sur un espace topologique X co¨ıncident sur un ensemble dense dans X, elles sont ´egales.

2. Soitf une fonction r´eelle d´efinie continue sur [−1,1]. Montrer que si pour toutn,R1

−1f(x)xⁿdxest nulle, alorsf est nulle.

(Indication : Consid´erer l’applicationg→R1

−1f(x)g(x)dx.)

Exercice 117 SoitF un ferm´e de R, etf une application continue deF dansR. Montrer que f se prolonge en une fonction continue surRtout entier. Peut-on remplacer “ferm´e” par “ouvert” ?

Exercice 118 Soitn→r_n une bijection deNsurQ∩[0,1], et f la fonction d´efinie surQ∩[0,1] par f(x) = X

rn<x

2⁻ⁿ.

Montrer quef est continue, mais qu’elle ne peut ˆetre prolong´ee en aucune fonction continue sur [0,1].

Exercice 119 Soit (X, d) un espace métrique ; on rappelle tout d’abord les propriétés de la fonctiondA:x→ d(x, A) où Aest une partie deX :

1. dA est 1-lipschitzienne, et dA(x) = 0 si et seulement six∈A. On en d´eduit que tout ferm´e est unGδ et que tout ouvert est unF_σ.

2. Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints F₁ etF₂peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant{x/d(x, F1)> d(x, F₂)}.

3. Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue f valant 0 sur F₁ et 1 surF₂.

4. Soit F1, F2,...,Fn, nfermés disjoints dans X, et c1,c2,...cn, nnombres réels. Montrer que la fonction f valantci surFi peut se prolonger en une fonction continue à X tout entier.

Exercice 120 Soit (X, d) un espace m´etrique, et Y un sous-espace non vide deX. On va montrer que toute fonctionf :Y →R,k-lipschitzienne, admet un prolongementg:X →Rqui est aussik-lipschitzien. Soit donc f ainsi ; pour toutx∈X ety∈Y , on pose

fy(x) =f(y) +kd(x, y).

1. Montrer que pourxfix´e, l’ensemble{fy(x)}lorsqueyparcourtY est minor´e. On poseg(x) = inf_y∈Y{fy(x)}.

2. Montrer que l’applicationg ainsi d´efinie surX, r´ealise un prolongementk-lipschitzien def. 3. Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique.

3.4 M´ etrique de la convergence uniforme

Exercice 121 On consid`ere l’espace m´etrique E = C([0,1]) muni de d∞, et pour f ∈ E, on note M(f) le maximum def sur [0,1]. Montrer que l’applicationf →M(f) est 1-lipschitzienne.

Exercice 122 Soit (f_n) une suite de polynômes qui converge uniformément sur [0,1] vers une fonction qui n’est pas un polynôme. Montrer que la suite des degrés tend vers l’infini.

Exercice 123 On consid`ere la suite de polynˆomes sur [−1,1]

f_n(x) = Rx

0(1−t²)ⁿ dt R1

0(1−t²)ⁿ dt .

1. Montrer que pour tout ε, cette suite converge uniform´ement vers 1 sur l’intervalle [ε,1], et vers −1 sur l’intervalle [−1,−ε].

Indication : ComparerR1

0(1−t²)ⁿ dt`a R1

0(1−t)ⁿ dt.

2. En d´eduire que la suiteg_n(x) =Rx

0 f_n(t)dtconverge uniform´ement vers |x|sur [−1,1].

3. Montrer que dans l’exercice 96 la convergence est aussi uniforme sur [−1,1], en ´etablissant une relation de r´ecurrence satisfaite par l’erreur ε_n(t) =|t| −p_n(t).