Divers

Exercice 438 On consid`ere l’´equation du pendulex⁰⁰+ sinx= 0.

On sait que les solutions maximales sont d´efinies surRtout entier.

1. Soit ϕla solution maximale de condition initiale ϕ(0) =a, ϕ(0) = 0 ; montrer que ϕ⁰(t)² = 2(cosx(t)− cosa) et en d´eduire que|x(t)|6apour toutt.

13 Equations diff´erentielles 56

2. Soit y⁰⁰ = −y, y(0) = a, y⁰(0) = 0 le probl`eme lin´earis´e correspondant. Montrer que Z d´efinie par Z = (x−y, x<sup>0</sup>−y<sup>0</sup>) v´erifie un syst`eme diff´erentiel du premier ordre de la formeZ⁰(t) =AZ(t) +B(t), o`u A est antisym´etrique. En d´eduire, pour toutt,|x(t)−y(t)|6 ^a6³|t|.

Exercice 439 SoitV un champ de vecteurs d´efini sur Ω⊂Rⁿ. On dit qu’une applicationh: Ω→Rde classe C¹ est une int´egrale premi`ere de V, si h◦ϕ(t) est constante sur J pour toute solution (ϕ, J) de l’´equation autonome associ´ee. On suppose le champ de classeC¹ sur Ω.

1. Montrer quehest une int´egrale premi`ere deV si et seulement si h⁰(x).V(x) = 0 pour toutx∈Ω.

2. Donner une int´egrale premi`ere sur R<sup>n</sup> du syst`eme diff´erentiel X⁰ = AX o`u A est une matrice anti-sym´etriquen×n(commencer avecn= 2).

3. Soitf une application de classeC^∞deRdansRtelle quef(0) = 0, et on noteF(x) =Rx

0 f(u)du.

Montrer que la fonction (x, y) → y²+ 2F(x) est une int´egrale premi`ere sur R² du champ de vecteurs V(x, y) = (y, −f(x)) d´efini surR². On suppose que F tend vers +∞lorsque xtend vers±∞. Montrer que si une solution (x(t), y(t)) de X⁰=V(X) est d´efinie sur un intervalle quelconqueI, les fonctionsxet y sont born´ees surI (remarquer queF est born´ee inf´erieurement).

Exercice 440 (Extrait de l’´epreuve de septembre 97) Soitf une application de classeC¹d’un ouvert Ω deRⁿ dansRⁿ telle quef(0) = 0. On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(1) dx

dt =f(x).

1. SoitF un diff´eomorphisme de classeC¹ de Ω sur un ouvert Ω1 deRⁿ tel queF(0) = 0, et on note Gle diff´eomorphisme inverse. Montrer que siϕest solution de (1),ψ=F◦ϕest solution de l’´equation

(2) dy

dt =g(y),

o`ug est une application de classeC¹ de Ω1 dansRⁿ que l’on d´eterminera.

On suppose maintenantn= 3.

2. Montrer que l’application F de R³ dans R³ d´efinie par F(x1, x2, x3) = (2x2−x3, x1−x²₂, x3) est un diff´eomorphisme deR³ de classeC^∞ tel queF(0) = 0.

3. D´eduire `a l’aide de a) et b) les solutions de l’´equation diff´erentielle

dx1

dt = 2(x1−x²₂)−2x2+x3+ 2x2(x1−x²₂+ 5x2−x3)

dx₂

dt = x₁−x²₂+ 5x₂−x₃

dx₃

dt = 2(x₁−x²₂) + 4x₂+x₃

Exercice 441 (Calcul fonctionnel holomorphe) SoitA ∈ L(Rⁿ) et 0 < ρ= sup{|λ|; λvaleur propre de A}. On va montrer sur un exemple que l’on peut calculerf(A) pour toutef somme d’une s´erie enti`ere de rayon

> ρ.

Soit doncA un op´erateur deRⁿ tel que (A−I)²(A−2I) = 0.

1. On noteE₁ = ker(A−I)², E₂= ker(A−2I),p_i le projecteur surE_i (parall`element `a l’autre). Calculer p₁ etp₂en fonction deA(Solution :p₁=−A(A−2I) et p₂= (A_I)².)

2. Calculer Aⁿxpour x∈ E₁, puisx∈ E₂. D´eduire de a) l’expression deAⁿ pour toutn >0 (Solution : Aⁿ= (I+n(A−I))A(2I−A) + 2ⁿ(A_I)²).

3. Soit f un polynˆome de degr´e > 2 et P le polynˆome minimal de A. Montrer que _P(x)^f(x) = g(x) + ^f(2)_x−2 −

xf(1)

(x−1)² −^f_x−1⁰⁽¹⁾ o`u g est lui-mˆeme un polynˆome. En d´eduire f(A) pour f polynˆome puis f somme d’une s´erie enti`ere de rayon>2.

4. Trouver ainsie^tA sit∈Ret r´esoudre le syst`emex<sup>0</sup>=A.xo`u A=? ? Exercice 442 On consid`ereAla matrice





0 1 0 0 0 1 1 0 0



.

1. CalculerA³et montrer quee^tA=





f g h h f g g h f



, o`uf(t) =P∞ 0

t³ⁿ

3n!, g(t) =P∞ 0

t³ⁿ⁺¹

3n+1!, h(t) =P∞ 0

t³ⁿ⁺² 3n+2!. Montrer quef(t) =¹₃(e^t+e^jt+e^j2t) et donner l’expression deh.

14 G´en´eralit´es sur les groupes 57

2. On consid`ereϕ:R→Rune application de classeC<sup>∞</sup>. Montrer qu’une solution particuli`ere de l’´equation (E) y⁰⁰⁰−y=ϕ(t) est

y(t) = Z t

0

h(t−s)ϕ(s)ds.

3. On suppose ϕ 1-p´eriodique (ie ϕ(t+ 1) = ϕ(t) ∀t ∈ R). Soit y une solution de (E) telle que y(0) = y(1), y⁰(0) =y⁰(1), y⁰⁰(0) =y⁰⁰(1). Montrer quey est 1-p´eriodique.

Montrer que (E) poss`ede une et une seule solution 1-p´eriodique.

Exercice 443 SoitE=Rⁿ ett→A(t),t→B(t) deux applications deJ dansL(E) o`uJ =]α,+∞[.

On consid`ere les deux ´equations

(1)x⁰=A(t).x (2)x⁰ = A(t) +B(t) .x, eta∈J. On note R(t, a) la r´esolvante de (1) telle queR(a, a) =I_E.

1. Si y est une solution de (2), montrer que la fonction z d´efinie par y(t) =R(t, a).z(t) est solution d’une

´

equation de la forme (3)z⁰=C(t).z, o`uC(t) =R(a, t)B(t)R(t, a).

2. On suppose que ||R(t, s)|| 6k pour toust, s ∈J o`u k est une constante et que ||B(t)||6ε(t) o`u εest continue surJ.

Montrer que||C(t)||6k²ε(t).

3. On suppose de plus queR∞

a ε(t)dtconverge. Montrer (`a l’aide de Gronwall) que sizest telle quez(a)6= 0,

||z(t)|| est uniform´ement born´ee sur [a,+∞[, puis quez a une limite lorsquet→+∞.

Exercice 444 Soitf ∈C¹(R×Rⁿ,Rⁿ) une application born´ee et soitϕla solution maximale du probl`eme x⁰(t) =f(t, x(t)) , x(t₀) =x₀ ,

que l’on suppose d´efinie sur l’intervalleI⊂R. (Rappeler pourquoi une telle solution existe). Montrer queϕest d´efinie surI=Rtout entier. (Indication : supposerβ= sup{t; t∈I}<∞. ´Etablir queϕest born´ee sur [t0, β[

et que limt→βϕ(t) existe. Conclure).

Exercice 445 Soitf une applicationC¹et born´ee deRⁿdansRⁿet soitx0, x⁰₀∈Rⁿ. Montrer que le probl`eme x⁰⁰(t) =f(x(t)) , x(0) =x0, x⁰(0) =x⁰₀

admet une unique solution maximale d´efinie surR. Exemple :x⁰⁰+ sin(x) = 0, l’´equation du pendule simple .

Exercice 446 Soita >0 et soitf :R×Rⁿ→Rⁿ une application de classe C¹ v´erifiant

|hx, f(t, x)i|6ahx, xi pour tout (t, x)∈R×Rⁿ.

Soitϕune solution de l’´equation diff´erentiellex⁰=f(t, x) que l’on suppose d´efinie sur l’intervalle I.

1. On poseN(t) =hϕ(t), ϕ(t)i. Montrer que l’applicationN est d´erivable surI, calculer sa d´eriv´ee et montrer qu’elle v´erifie|N⁰(t)|62aN(t).

2. Soient tett₀ deux points deI. ComparerN(t) etN(t₀).

3. Montrer que les solutions maximales de l’´equation diff´erentielle en consid´eration sont d´efinies surR. 4. Montrer que les solutions maximales du syst`eme

(S)

x⁰₁(t) = 2x1(t) +tx2(t) +x²₂(t) x⁰₂(t) = −tx1(t) +x2(t)−x1(t)x2(t) sont d´efinies surR.

Troisi` eme partie

Alg` ebre et g´ eom´ etrie

14 G´ en´ eralit´ es sur les groupes

Exercice 447 SoitGun groupe etS une partie de G.

14 G´en´eralit´es sur les groupes 58

1. Montrer que H :={a^ε_i1¹...a^ε_inⁿ, ai ∈S, εi ∈ {−1,+1}} est le sous-groupe engendr´e parS (i.e le plus petit sous-groupe deGcontenantS), not´e< S >.

2. SoitAune partie de G, on appellecentralisateurdeA, l’ensemble :CA:={g∈G:∀a∈A ga=ag}.

(a) Montrer queCA est un sous-groupe deG.

(b) Montrer queCA=C<A>

3. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surS pour que< S >soit ab´elien,< S >soit normal dans G.

Exercice 448 SoitGun groupe etA,B deux sous-groupes deG, on noteAB:={g=ab:a∈A, b∈B}.

1. Montrer queAB est un sous-groupe deGsi et seulement siAB=BA.

2. Montrer que siAB est un sous-groupe deGalorsAB=< A, B >.

Exercice 449 DansGL(2,R) : le groupe des matrices (2,2) inversibles `a coefficients r´eels.

1. (a) Montrer queH := ¹_{0 1}^p

, p∈Zest un sous-groupe ab´elien.

(b) Montrer qu’il est cyclique, est-il normal ? 2. Soient A:=

0 −1

1 1

et B:=

0 1

−1 0

deux matrices.

(a) Montrer queAetB appartiennent `aSL(2,Z), calculer leur ordre et montrer queH est contenu dans

< A, B >.

Que pensez-vous des assertions suivantes ?

– “un groupe engendr´e par des ´el´ements d’ordre fini est fini.”

– “tous les ´el´ements d’un groupe engendr´e par des ´el´ements d’ordre fini sont d’ordre fini.”

(b) Le groupe engendr´e parA etB est-il ab´elien ?

(c) Calculer l’intersection du groupe cyclique engendr´e parAet du groupe cyclique engendr´e par B.

Exercice 450 1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique (monog`ene) est cyclique.

2. Rappelons qu’un groupe s’appelle localement cyclique si chaque ensemble fini engendre un sous-groupe cyclique . Montrer queQest localement cyclique, mais pas cyclique et en d´eduire queQn’est pas de type fini.

Exercice 451 SoitGun groupe.

1. Soient A,B deux sous-groupes deG.

(a) On suppose queAest d’indice fini dansG, montrer alors queA∩B est d’indice fini dansB.

(b) On suppose queAetB sont d’indice fini dansG, montrer alors que A∩B est d’indice fini dansG, g´en´eraliser au cas d’un nombre fini de sous-groupes.

2. Montrer que∩{A:A est d’indice fini dansZ} ={id}. (Comparer avec 1.b).

Exercice 452 1. Supposons que H est d’indice fini dans G montrer qu’il existe K < ∞ tel que ∀ g ∈ G∃ng∈N^∗ : g^ng ∈H etng6K .

2. Montrer queQne poss`ede pas de sous-groupe d’indice fini (autre que lui-mˆeme).

Exercice 453 1. Soit G un groupe et A un sous-groupe de G d’indice fini. Montrer qu’il existe un sous-groupe B deAnormal dansGet d’indice fini dansG.

(Indication: poserB= \

g∈G

gAg⁻¹.)

2. Montrer qu’un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe propre d’indice fini.

Exercice 454 SoitGun groupe,AetBdeux sous-groupes deGtels queA⊂B. On suppose queAest d’indice fini dansG. Montrer que |G:A|=|G:B||B:A|.

Exercice 455 Le but de cet exercice est de donner la construction d’un groupe libre et d’introduire la notion de pr´esentation d’un groupe.

SoitS={si}i∈I un ensemble quelconque qu’on appellera alphabet. Un mot dans l’alphabetS est par d´efinition une succession finie (ou vide) :

15 Groupes et actions 59

w=s^ε_i¹

1 · · ·s^ε_i^k

k, o`u ε_i=±1 et s_ij ∈S, k∈N (1)

Notons W l’ensemble de tous les mots. Un mot w∈W est dit r´eduit si son ´ecriture (1) ne contient pas deux lettres cons´ecutives du types^ε_i et s^−ε_i . Les motsw1 et w2 sont dits voisins siw2=gs^ε_is^−ε_i het w1=gh. Deux motsf etgs’appellent ´equivalents (on notef ∼g) s’il existe une succession finie de mots :f =w0, w1, ..., wn=g o`u les motswi etw_i−1 sont voisins (i∈ {1, ..., n}).

1. Montrer que∼est une relation d’´equivalence.

Etant donn´e un motf =a1...at(o`uaj=s^ε_ij^j) d´efinissons une suite de transformations appel´eeR-proc´ed´e : R₀=e(le mot vide), R₁=a₁ et

Ri+1=

(Riai+1 siRi n’est pas un mot r´eduit du typeXa⁻¹_i+1 X siR_i est un mot r´eduit du typeXa⁻¹_i+1 . Autrement dit un R-proc´ed´e consiste `a faire toutes les simplifications de droite `a gauche.

2. On suppose que w₁=a₁...a_ra_r+1...a_t et w₁ =a₁...a_rs^ε_js^−ε_j a_r+1...a_t sont deux mots et queRⁱ d´esigne le R-proc´ed´e appliqu´e au motw_i. Montrer queR¹_t =R²_t+2 c.-`a.-d.R¹(w₁) =R²(w₂). En d´eduire que chaque classe deW/∼contient un mot r´eduit et un seul.

Pour deux classes [w_i]∈ W/∼ (i= 1,2) d´efinissons maintenant leur produit comme suit (de gauche `a droite) :

[w1][w2] = [w1w2] (2).

3. D´emontrer que (2) ne d´epend pas du choix des repr´esentants des classes [wi]. Montrer que l’ensemble F =W/∼muni de l’op´eration (2) est un groupe.

Ce groupe s’appelle groupe libre engendr´e par S, on appelle les ´el´ements deS g´en´erateurs libres deF. Soit maintenantGun groupe quelconque engendr´e par un syst`emeX o`uX ={xi}i∈I et F est le groupe libre engendr´e parS. Supposons qu’il existe une bijectionf :S7→X telle quef(s_i) =x_i (i∈I).

4. (a) Montrer quef se prolonge en un homomorphismef :F 7→G.

(b) En particulier, en d´eduire que si Card (S) = Card (S⁰), alors le groupe libre engendr´e par S est isomorphe au le groupe libre engendr´e par S⁰.

Si de plus Card (S) =nce groupe est not´eF_n.

Notons H = Ker f, et appelons un sous-ensemble H⁰ ⊂H ensemble des relations de G si le plus petit sous-groupe normal de GcontenantH⁰ co¨ıncide avec H. La donn´ee du coupleS,H⁰ d´efinit le groupeG

`

a un isomorphisme pr`es (Gest isomorphe au groupe quotientX/H). La donn´ee d’un tel couple est not´ee

< S |H⁰>et s’appelle pr´esentation deG.

5. Montrer que le groupe libre ne contient pas d’´el´ement non-trivial d’ordre fini.

Exercice 456 Montrer que le groupeGdonn´e par sa pr´esentation :

< x1, ..., xn | [xi, xj], ∀i, j∈ {1, ..., n} > (3) est isomorphe `aZⁿ.

15 Groupes et actions

Exercice 457 SoitGun groupe,H un sous-groupe d’indice ndansG.

1. A l’aide des classes `a gauche moduloH dansG, construire un homomorphismeφ:G7→ Sn. 2. Montrer que siN ⊂H etN est normal dansG, on a N <Kerφ < H.

3. En d´eduire que tout groupe finiGest isomorphe `a un sous-groupe deSn.

Exercice 458 SoitK un corps fini `a q´el´ements, GL(n, K) l’ensemble des matrices (n, n) inversibles `a coeffi-cients dans K. Montrer par r´ecurrence sur n que|GL(n, K)| = (qⁿ−1)(qⁿ−q)...(qⁿ−qⁿ⁻¹) en consid´erant l’action de Aut(Kⁿ) sur l’espace vectoriel Kⁿ (de base {v1, ..., vn}), l’orbite et le stabilisateur d’un vecteur de base (v1 par exemple).

Exercice 459 Soitϕune action d’un groupeGop`erant dansX (not´ee Gy^ϕ X).

16 Isom´etries euclidiennes 60

1. Montrer queGg(x)=gGxg⁻¹, o`u g∈Get Gx d´esigne le stabilisateur du point x.

2. Si l’actionϕest transitive et fid`ele etGest ab´elien alors montrer que ϕest simplement transitive.

Exercice 460 SoitG=< γ1, γ2>op`ere sur le plan complexe Co`uγ1:z7→z+ 1 etγ2:z7→z+i.

1. Montrer queG∼=Z² etGagit isom´etriquement surC.

2. Trouver un ensemble fondamentalF pour cette action et l’ensemble d’orbites C/∼=C/G=F /∼ en identifiant les points ´equivalents sur le bord deF.

Exercice 461 1. Montrer que la quantit´e suivante (appel´ee forme de Killing) est un produit scalaire sur le groupe matricielM_n(R).

< X, Y >= tr (X^TY). X, Y ∈M_n(R)

2. Montrer que la forme de Killing reste invariante par rapport `a l’action deO(n) par conjugaison :

< gXg⁻¹, gY g⁻¹>=< X, Y >, X, Y ∈M_n(R), g∈O(n).

Exercice 462 SoientGun groupe etS un syst`eme de g´en´erateurs de Gcontenant avec chaque ´el´ementsson inverses⁻¹. Rappelons la construction du graphe de CayleyC(G, S). L’ensembleV des sommets deC(G, S) est en bijection avec l’ensemble des ´el´ements deG. Deux sommetsg1etg2sont joints par une arˆete sig₁⁻¹·g2=s∈S.

La longueur de cette arˆete est d´eclar´ee par d´efinition ´egale `a 1. Un cheminl ⊂C(G, S) entre deux sommetsg et hest une succession finie d’arˆetes {e1, ..., en}joignant g et h. La longueur |l| del vaut par d´efinitionn: le nombre des arˆetes qui le constituent.

1. Montrer que la fonction d:G×G7→Ndonn´ee par

d(g, h) = inf{longueurs des chemins joignantg eth}

est une distance et qu’il existe un chemin l⊂C(G, S) qui la r´ealise c.-`a.-d.|l|=d(g, h).

2. Pour chaque g∈Gposons|g|=d(0, g). Montrer que|g|= inf{k|g=s_i1·...·s_ik, s_ij ∈S}.

3. Montrer queGagit isom´etriquement sur les sommets deC(G, S), c.-`a.-d. ∀g∈G d(gγ<sub>1</sub>, gγ<sub>2</sub>) =d(γ<sub>1</sub>, γ<sub>2</sub>) o`uγ_i∈ V (i= 1,2).En d´eduire qued(f, h) =|f⁻¹·h| (f, h∈V).

4. Soit F₂ =< a, b > un groupe libre sur les g´en´erateurs a et b (voir l’exercice 455). Donner un fragment (initial) de son graphe de CayleyC(F₂,{a, b}).

5. D´emontrer que le graphe de Cayley d’un groupe libre est toujours un arbre (un graphe sans lacet s’appelle arbre).

16 Isom´ etries euclidiennes

Exercice 463 SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn.

1. Montrer queA∈GL(E) appartient `aO(n) si et seulement si^TAA=I.

2. Montrer que siA∈ O(n) alors detA=±1.

3. Montrer queA∈U(n) si et seulement si^TAA¯=I.

Exercice 464 SoitLun espace hermitien. Est-il vrai queA∈IsoL impliqueAx=U x+bavecU ∈U(n).

Exercice 465 SoitE est un espace euclidien de dimensionn. Montrer queIso(E)6' O(n)×T(E).

Exercice 466 D´eterminer la nature des applications suivantes :R²→R², x7→Ax et R² →R²,x7→Bxo`u A=

cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

etB =

cosϕ sinϕ sinϕ −cosϕ

.

Exercice 467 1. Notonsl⊂R²une droite affine etτ_lla r´eflexion par rapport `al. Montrer que sif ∈Iso(R²) v´erifief_|l≡idalors soitf =idsoitf =τ_l.

2. Soient let mdeux droites affines dansR².

(a) Montrer qu’il existeα∈Iso(R²) telles queατ_lα⁻¹=τ_m.

(b) Montrer queτl.τmest une translation si et seulement si let msont parall`eles.

16 Isom´etries euclidiennes 61

Exercice 468 NotonsR(a, α) la rotation d’angleαautour du pointa∈R²et tb la translation tb:x7→x+b.

Montrer que

1. ∃ β∈Iso(R²) : βR(a, α)β⁻¹∈SO(2).

2. R(a, α) =τl·τmo`umest une droite quelconque passant paraet l est une droite passant parafix´ee.

3. tb ettc sont conjugu´ee ssi||b||=||c||.

Exercice 469 Une application du typeG(l, a) =τ_l.t_a s’appelle r´eflexion gliss´eesi le vecteura est parall`ele `a la droitel ⊂R².

1. SiG=τl.ta est une r´eflexion gliss´ee alors montrer queτl.ta =ta.τlet G²=t2a.

2. Montrer que G=τ_lt_a est une r´eflexion sil et asont perpendiculaires et est une r´eflexion gliss´ee sil et a ne sont pas perpendiculaires.

3. En regardant l’ensemble des points fixes f ix(f) := {x ∈ R²|f(x) = x} d’une isom´etrie f ∈ Iso(R²) montrer que :

(a) sif ix(f)6=∅ alorsf =R(a, α) ouf =τl

(b) sif ix(f) =∅alorsf =taouf =G(l, a) (indication : utiliser la question 2. et l’exercice 468, question 2).

Exercice 470 Notonsl⊂R² une droite affine deR².

1. Montrer que l’ensembleI_ldesg∈Iso(R²) telles queg(l) =l est un sous-groupe deIso(R).

2. D´eterminer les translations qui appartiennent `aIl.

3. Montrer que sig∈I_lposs`ede un point fixe alorsg a un point fixe surl.

4. Soitg∈Il, montrer qu’il existe une translationtdeIltelle queg.t poss`ede un point fixe.

5. D´ecrireIl.

Exercice 471 SoitE un espace euclidien de dimensionnetX ={x1, x2, ..., xk}un sous-ensemble deE.

1. Montrer que Af f(X) :={

k

X

i=1

λixi|xi∈X,

k

X

i=1

λi= 1}est le plus petit sous-espace affine deE contenant X.

2. SoitS={x0, ..., xn}un sous-ensemble deE, montrer queS est un rep`ere affine deE si et seulement siS n’est contenu dans aucun hyperplan.

Dans toute la suite, on se place dans le plan affine euclidienR².

Exercice 472 Etudier la compos´ee de deux rotations, puis la compos´ee de deux r´eflexions gliss´ees et finalement la compos´ee d’une rotation et d’une r´eflexion gliss´ee.

Exercice 473 Soitf une application qui pr´eserve les rapports de longueur :∀x, y, z, t∈R²,on a : ^d(f(x),fd(f(z),f(t))^(y)) =

d(x,y)

d(z,t). (Par d´efinition une telle application est unesimilitude) 1. Monter ∃k∈R^+∗ tel que d(f(x), f(y)) =kd(x, y).

2. Montrer qu’un similitude s’´ecrit comme compos´ee d’une homoth´etie et d’une isom´etrie.

Exercice 474 SoitABCun triangle isoc`ele enAnon equilat´eral, le but de cet exercice est d’´etudier l’ensemble des isom´etries deP qui pr´eservent globalementABC.

1. Montrer que cet ensemble est groupe.

2. Montrer que sif pr´eserve ABC alorsf fixe le barycentreGdeABC.

3. En ´etudiant les distancesGA,GB,GC montrer quef(A) =A

4. En d´eduire (en utilisant la classification des isom´etries deR²) le groupe de sym´etries deABC.

Exercice 475 ( ´Etude des sous-groupes commutatifs d’isom´etries) Soientf,gdeux isom´etries du plan affine euclidienR².

1. Montrer que sig et f commutent alorsg=f◦g◦f⁻¹ etf conserve (globalement) l’ensemble des points fixes deg.

2. D´ecrire les cas dans lesquelsf etg commutent (f◦g=g◦f).

3. En d´eduire une description des sous-groupes commutatifs d’isom´etries.

18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique 62

17 G´ eom´ etrie diff´ erentielle ´ el´ ementaire de R

ⁿ

Exercice 476 1. Soient ξ(t) etη(t) deux courbes param´etr´ees deR³ de classe C¹, montrer que _dt^d[ξ, η] = [^dξ_dt, η] + [ξ,^dη_dt], o`u [,] d´esigne le produit vectoriel.

2. Montrer que κ=−^<r0,[r_k⁰⁰2^,r000]>, o`us7→r(s) une courbe de classeC² param´etr´ee par sa longueur,κet k sont respectivement sa torsion et sa courbure.

Exercice 477 Pour la courber= (acost, asint, bt),a >0,b >0 trouver courbure, torsion et rep`ere de Frenet.

Exercice 478 1. Montrer qu’une courbe s7→r(s) est plane ssi< r⁰,[r⁰⁰, r⁰⁰⁰]>= 0.

2. Soit s 7→ r(s) une courbe de classe C² param´etr´ee par sa longueur. On consid`ere la nouvelle courbe s 7→n(s) o`u n est le vecteur normal unitaire. Notonss^∗ le param`etre naturel de cette courbe. Montrer que ^ds_ds^∗ =√

k²+κ².

Exercice 479 1. Montrer que si une courbe s 7→ r(s) est trac´ee sur une sph`ere de rayon R et si κ(s) 6=

0, k(s)6= 0 (∀s) alorsR²=< r, r >= _k¹2(1 +_(κk)^(k0)22)).

2. Soit s 7→r(s) une courbe `a courbure constante qui est trac´ee sur la sph`ere S². Montrer que son image r est un arc de cercle. La propri´et´e d’ˆetre `a courbure constante d´epend-t-elle de la param´etrisation de la courbe ?

Exercice 480 1. Montrer que 3 pointsx, yetzsont colin´eraires dansRⁿ avecyentrexetz(rappelons que

¸

ca signifie quey=x+t(z−x)t∈[0,1]) ssi

||x−y||+||y−z||=||x−z||.

2. Montrer que siγ: [a, b]7→Rⁿ est une courbe alors|γ([a, b])|>||γ(a)−γ(b)|| et que l’´egalit´e a lieu ssiγ est une g´eod´esique (o`u| · |d´esigne la longueur d’une courbe).

18 G´ eom´ etrie et trigonom´ etrie sph´ erique

Exercice 481 Soitα: [a, b]→Sⁿ une courbe avecb−a < π.Montrer l’´equivalence des conditions suivantes : 1. αest une courbe g´eod´esique.

2. Il existe deux vecteurs orthogonauxA, B∈Sⁿ tels que α(t) =Acos(t−a) +Bsin(t−a).

3. La courbeαv´erifie l’´equationα⁰⁰+α= 0.

Exercice 482 SoitSⁿ est la sph`ere unit´e dans l’espace lin´eaireE de dimensionn+ 1.

1. Montrer que la distance sph´erique induit sur Sⁿ une topologie ´equivalente `a celle induite de l’espace ambiantE.

2. Montrer que l’intersection d’un sous-espace lin´eaire L de E de dimension k avec Sⁿ est une sph`ere de dimensionk−1 (sik= 2 cette intersection est un cercle appel´ee grand cercle deSⁿ).

Exercice 483 Nous noterons [X, Y] le produit vectoriel de deux vecteursX et Y dansR³. Montrer que trois vecteursX, Y, etZ dansR³ sont libres ssi les vecteurs [X, Y], [Y, Z] et [Z, X] sont libres.

Indication :D´emontrer d’abord l’identit´e suivante :

[[X, Y], Z] =< X, Z > Y−< Y, Z > X

Exercice 484 SoitT =4ABC⊂S² un triangle sph´erique d’angles int´erieurs α=∠A, β=∠B, γ=∠C 1. Montrer qu’il existe un triangle T⁰ =4A⁰B⁰C⁰ dit polaire tel que

a⁰=π−α, b⁰=π−β, c⁰=π−γ,

o`u comme d’habitude on notea⁰, b⁰, c⁰les longueurs des cˆot´es oppos´es aux sommetsA⁰, B⁰, C⁰.Indication.

Poser :C⁰= _||[A,B]||^[A,B] , A⁰ =_||[B,C]||^[B,C] , B⁰ =_||[C,A]||^[C,A]

2. Montrer que (T⁰)⁰= sign(< A,[B, C]>)·T.En d´eduire que

∠A⁰=π−a, ∠B⁰=π−b, ∠C⁰=π−c,

19 Le groupe orthogonal et les quaternions 63

Exercice 485 En utilisant le r´esultat et les notations de l’exercice 484 montrer que : 1. cosγ= cosc·sinα·sinβ−cosα·cosβ

2. cosβ= cosb·sinα·sinγ−cosα·cosγ 3. cosα= cosa·sinβ·sinγ−cosβ·cosγ

Exercice 486 Le but de cet exercice est d´emontrer que pour chaque tripletα, β, γ ∈]0,^π₂[ tel queα+β+γ > π il existe un triangle sph´erique d’angles int´erieurs ´egaux `aα, β, γ.

1. Montrer que ∀α∈]0,^π₂[∀ d∈]0, α] il existe un triangle sph´erique4ABC tel que∠C= ^π₂, ∠A=αet a=|BC|=d(dans les notations pr´ec´edentes).

2. En utilisant 1. et les formules de l’exercice 485 d´emontrer le r´esultat.

19 Le groupe orthogonal et les quaternions

Exercice 487 Le but de cet exercice est d’introduire une topologie sur le groupe lin´eaire GL(E). Soit A ∈ GL(E), alors on introduit la norme :

||A||= sup

||x||=1

||Ax|| (1).

Montrer que les topologies suivantes surGL(E) sont ´equivalentes : 1. An→Asi la suite aⁿ_ij des coefficients deAn converge versaij. 2. An→Asi||An−A|| →0.

3. An → A si l’application An : x → An(x) converge vers l’application A(x) uniform´ement sur chaque compactK⊂E.

Exercice 488 1. En utilisant la norme (1) d´emontrer que O(n) est compact dansGL(E).

2. En utilisant le r´esultat du cours qu’une matrice orthogonale est une matrice en blocs d´emontrer queO(n) contient deux composantes connexes :SO(n) ={A∈O(n)|detA= +1}etO⁻(n) ={A∈O(n)|detA=

−1}. O⁻(n) est-il un sous-groupe deO(n) ?

Exercice 489 Rappelons qu’une applicationg ∈SO(3) est dite retournement si g est une rotation d’angleπ autour d’une droite fix´ee L⊂R³ (g|L≡id). Soitg∈SO(3) un retournement d’axe la droiteL∈R³ (0∈L).

Montrer queg1∈SO(3) est un retournement ssi il existef ∈SO(3) tel queg1=f gf⁻¹et l’axe deg1estf(L).

Exercice 490 1. SoitS ={z+tj |z∈C, t∈R}un sous-ensembleHdes quaternions. Montrer queS est invariant par l’application :

ρ_j : →jqj⁻¹, q∈H. 2. En identifiantS avecR³d´ecrireρj :S→S.

3. Montrer que l’applicationρk:q→kqk⁻¹ laisseS invariant (i.e.ρk(S) =S). D´ecrireρk.

Exercice 491 1. Montrer que S³ est un sous-groupe de H^∗ consid´er´e comme groupe multiplicatif. Est-il normal ?

2. Montrer que si∃ q∈S³ : ∀ q1∈R³={y·i+u·j+v·k |y, v, u∈R} : qq1q⁻¹=q1alorsq=±id_H. Exercice 492 Soit q, r∈(H∼=R⁴) alors montrer que < q, r >= ¹₂(qr+rq) o`u < , > est le produit scalaire euclidien deR⁴,et on noteq=z−wj siq=z+wj.

Exercice 493 1. On consid`ere l’application ξ_s(q) = −sqs⁻¹ (s ∈ (R³)^∗, q ∈ R³). Montrer que ξ_s est la reflection dansR³ par rapport au plans^⊥.

2. D´emontrer la surjectivit´e de l’applicationϕ:S³→SO(3) o`uϕ(s) =ρs,etρs(q) =sqs⁻¹(s∈S³, q∈R³).

Exercice 494 Siq∈S³tel queq= cosθ+Isinθ, I∈S²,alors montrer queρ_q ∈SO(3) est la rotation d’angle 2θ autour de l’axeOI.

21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP¹ 64

20 G´ eom´ etrie projective I

Exercice 495 Trouver la formule explicite suivante pour la projection st´er´eographiqueπ:Rⁿ∪ {∞} →Sⁿ : π(x) = 2x1

1 +||x||², ..., 2xn

1 +||x||², ||x||²−1

||x||²+ 1

, o`u x= (x1, ..., xn,0)∈Rⁿ⊂Rⁿ⁺¹.

Indication :Ecrire´ π(x)−en+1=t(x−en+1), t∈R.

Exercice 496 SoitLun espace vectoriel de dimensionn+ 1.

1. Montrer que siM_i (i∈I) sont des sous-espaces vectoriels deLalorsP(\

i∈I

M_i) =\

i∈I

P(M_i).

2. Soient Mi (i∈ {1, ..., k} des sous-espaces lin´eaires deL,montrer que

< P(M1), ..., P(Mk)>=P(M1+...+Mk).

3. Soient p:L^∗ → P(L) =L^∗/˜ l’application de la projectivisation (qui associe `a chaque x∈ L<sup>∗</sup> sa classe [x] ∈ P(L)) et S un sous-ensemble de l’espace P(L). Alors montrer que < S >= P(D), o`u D est le sous-espace deL engendr´e parp⁻¹(S).

Exercice 497 1. Montrer que le plan projectif P₁ et la droiteP₂ dansP³ soit se coupent en un point soit P2⊂P1.

2. Soient P_i = P(M_i) deux sous-espaces projectifs (i = 1,2). Montrer que siP₁∩P₂ =∅ alors la somme M₁+M₂ est directe.

Exercice 498 Montrer que la fibration de HopfF H:S³→S²(F H⁻¹(x) est un grand cercles deS³(∀x∈S²)) s’´ecrit comme ceci :

F H(z, z⁰) = (2z⁰z,|z⁰|²− |z|²).

Exercice 499 1. Montrer que tout sous-espace projectif de dimension k−1 dans Pⁿ peut ˆetre recouvert par au moinskcartes affines.

2. Trouver le nombre d’´el´ements d’un espace projectif de dimensionnsur un corps avecq´el´ements.

Exercice 500 1. Montrer que le groupe projectifP GL(L) agit transitivement sur l’ensemble de sous-espaces projectifs de la dimensionkfix´ee.

2. Montrer queP GL(L) agit transitivement sur l’ensemble de couples ordonn´es {(P1, P2)|dimP1=k1, dimP2=k2, dim(P1∩P2) =k3},o`u k1, k2, k3sont fix´es.

3. Montrer queP GL(L) agit transitivement sur l’ensemble des drapeaux projectifs

D={(P1, ..., Pk)|P1⊂...⊂Pk,} o`u la longueurkest fix´ee etPi est un sous-espace projectif deP(L) de dimensionifix´ee (i= 1, ..., k).

Exercice 501 1. Montrer que toute homographieγ∈P GL_nCposs`ede au moins un point fixe 2. Montrer que toute homographieγ:RP²ⁿ→RP²ⁿ a toujours au moins un point fixe.

3. Soit γ ∈P GL(L) tel que card(fix(γ))<∞ et dimP(L) =n alors montrer que card(fix(γ))6 n+ 1 o`u fix(γ) ={x|γ(x) =x}.

21 G´ eom´ etrie projective II : homographies de C P

¹

21.1 Applications conformes

Donnons d’abord deux d´efinitions :

Une applicationf :D7→Rⁿ d’un ouvertD⊂Rⁿ de classeC¹ est dite conforme au pointx0∈Dsi sa matrice d´eriv´eef⁰(x0) v´erifie :

f⁰(x₀) =µ·U o`uµ >0, et U ∈O(n) (2) Une matrice du type (2) s’appelle conforme. L’applicationf est dite conforme dans D si elle est conforme en tout point deD.

En analyse complexe on a vu qu’une fonction complexef(z) est conforme enz0∈Csif⁰(z0)6= 0.

21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP¹ 65

1. SoitE un espace vectoriel de dimension finie. On dit qu’une application lin´eaireA:E 7→E conserve les angles si∀x, y∈E^∗=E\ {0}:<(x, y) =<(Ax, Ay) o`u<(x, y) est l’angle entre deux vecteurs non-nuls (on a comme d’habitude cos(<(x, y)) = <x,y>

||x||·||y||).

2. Soient γ_i : [a, b]7→Rⁿ deux courbes de classeC¹, telles queγ₁(t₀) =γ₂(t₀) etγ_i⁰(t₀)6= 0 (i= 1,2) pour unt₀∈[a, b].On appelleangleentre deux courbesγ₁etγ₂au pointt₀l’angle entre les vecteursγ₁⁰(t₀) et γ₂⁰(t0).

3. On dit qu’une application f : D 7→ Rⁿ de classe C¹ d’un ouvert D ⊂ Rⁿ conserve les angles dans D si sa matrice d´eriv´ee conserve les angles entre toutes deux courbes de classe C¹ dans D, c.-`a.-d. :

<((f◦γ₁)⁰,(f◦γ₂)⁰)|t=t0 =<(γ₁⁰(t₀), γ₂⁰(t₀)).

Exercice 502 Cet exercice ne concerne pas directement la g´eom´etrie projective mais sera utilis´e par la suite.

1. Montrer que chaque r´eflexion par rapport `a un hyperplan dansRⁿ est une application conforme dansRⁿ. En d´eduire que chaque isom´etrie euclidienne et chaque isom´etrie sph´erique sont conformes dansRⁿ et sur Sⁿ respectivement.

2. Montrer qu’une application lin´eaireA:E7→Econserve les angles non-orient´es entre les vecteurs non-nuls ssiAest une matrice conforme.

3. Montrer qu’une application f : D 7→Rⁿ d’un ouvert D ⊂Rⁿ est conforme dans D ssi elle conserve les angles dansD.

En utilisant la projection st´er´eographique on identifie la droite projectiveCP¹avec la sph`ereC=C∪{∞}=S<sup>2</sup>. On dit qu’une application f :D→Cd’un ouvertD deCest conforme au pointf<sup>−1</sup>(∞) si l’applicationϕ◦f est conforme enf<sup>−1</sup>(∞) o`uϕ(z) = 1/z. On dit quef est conforme `a l’infini sif◦ϕest conforme en 0.

Exercice 503 D´emontrer que toute application de M¨obiusγ∈M(2) est conforme surC.

21.2 Propri´ et´ es des homographies de C P

¹

Exercice 504 Rappelons qu’un cercle g´en´eralis´e est soit un cercle euclidien Σ(zo, r) ={z∈C| |z−z0|=r}

soit une droite `a laquelle on ajoute le point {∞} (`a l’aide la projection st´er´eographique). On note M = {^az+b_cz+d |a, b, c, d∈C, ad−bc6= 0}.

1. Montrer que le groupe P GL2Cagit trois fois transitivement surC. 2. V´erifier que chaque cercle g´en´eralis´e dansCs’´ecrit sous la forme :

A(x²+y²) +Bx+Cy+D= 0, B²+C²>4AD

3. Soit C1 ∈Cun cercle g´en´eralis´e, alors montrer que un sous-espace C2⊂Cest un cercle g´en´eralis´e ssi il existeγ∈M telle queγ(C1) =C2.

4. SoitK⊂Cun cercle g´en´eralis´e etf ∈M(2) tel quef|_K ≡id_Kalors montrer que soitf ≡id soitf est la r´eflexion par rapport `aK.

Exercice 505 Montrer que

M(2) =na2z+b2

c2z+d2

; a1z+b1

c1z+d1

ai, bi, ci, di∈C; aidi−bici6= 0o

et en d´eduire que|M(2) :M|= 2 o`u M =M+(2) est le groupe des transformations de M¨obius paires.

Exercice 506 SoitτΣ la r´eflexion par rapport au cercle euclidien Σ ={z∈C||z−z0|=r}alors montrer que

|τΣ(z)−τΣ(w)|=r² |z−w|

|z−z0||w−z0|

Exercice 507 1. Montrer que chaque application g∈M poss`ede soit un point fixe dansCsoit deux points fixes. Cette affirmation reste-t-elle vraie pour les ´el´em´ents de M(2) ?

2. Notons fix(g) l’ensemble {x ∈ C | g(x) = x} des points fixes de g. Montrer que si γ = f gf⁻¹ alors fix(γ) =f(fix(g).

3. Soient Ci (i = 1,2) deux cercles g´en´eralis´es. Montrer que ∃ γ ∈ M : τC₁ = γτC₂γ⁻¹, o`u τC<sub>i</sub> d´esigne l’inversion par rapport `aCi.

Exercice 508 SoientCi (i= 1,2) deux cercles g´en´eralis´es. Montrer queτC₁ etτC₂ commutent si et seulement si le cercleC1est orthogonal `aC2(e.g. siCisont deux cercles euclidiens alors ils sont orthogonaux ssi les angles entre deux rayons aux points de l’intersectionC<sub>1</sub>et C<sub>2</sub> sont ´egaux `a ^π₂).

Dans le document Exercices de licence (Page 55-129)