Exercice 251 SoientE, F des espaces norm´es etAn, A∈ L(E, F). Montrer l’´equivalence entre : 1. An→AdansL(E, F).
2. Pour toute partie born´ee M ⊂E, la suiteAnxconverge uniform´ement versAx,x∈M.
Exercice 252 (Cours) SoitE un espace norm´e etF un espace de Banach. AlorsL(E, F) est aussi un espace de Banach.
Exercice 253 On consid`ere surC1([0,1],R) les normes suivantes : 1. kfk= sup[0,1]|f(x)|
2. kfk= sup[0,1]|f0(x)|+|f(0)|
3. kfk= sup[0,1]|f0(x) +f(x)|+|f(0)|
Lesquelles sont compl`etes surC1([0,1],R) ?
Exercice 254 Soit (B,k.k) un espace de Banach et M,N deux sous-espaces deB tels queB =M⊕N. On met surB une nouvelle normekzk0=kxk+kyksiz=x+y.
1. V´erifier que k.k0 est bien une norme sur B et que (B,k.k0) est complet si et seulement si M et N sont ferm´es.
2. Montrer que si les projectionsPM etPN surM et N sont continues, (B,k.k0) est encore un Banach.
Exercice 255 On consid`ere E = c, l’espace des suites r´eelles convergentes ; montrer que, muni de la norme uniforme,E est complet et d´ecrire son dual topologique.
Exercice 256 On consid`ereE l’espace des s´eries convergentes, et on pose kξk= sup
n
|
n
X
k=1
ξk|
1. V´erifier que ceci d´efinit une norme surE pour laquelle il est complet.
2. L’espace l1 des s´eries absolument convergentes est un sous-espace de E; montrer que les normesk.k et k.k1 ne sont pas ´equivalentes surl1 (en consid´erant une s´erie de terme g´en´eralξk= (−1)kαk.)
3. Montrer quel1 est dense dans (E,k.k).
Exercice 257 Pour toutk > 0 on note Hk le sous-espace de C([0,1]) constitu´e des fonctions lipschitziennes de constante kie des fonctionsf v´erifiant|f(x)−f(y)|6k|x−y| pour tousxet y dans [0,1]. On pose aussi H =S
k>0Hk.
8 Th´eor`eme du point fixe 32
1. Montrer queH contient les fonctions de classeC1 sur [0,1], mais que la fonction√
xn’est pas dansH. 2. Montrer que pour toutk,Hk est un espace de Banach pour la norme uniforme.
3. Montrer qu’il existe une suite de fonction deH qui converge uniform´ement sur [0,1] vers√
x. En d´eduire queH n’est pas complet pour la norme uniforme.
4. Montrer que si on pose
kfk= sup
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y| +|f(0)|, on d´efinit ainsi une norme sur l’espaceE, pour laquelle l’espace est complet.
Exercice 258 SoitE un espace de Banach,A∈ L(E), ets, t∈R. 1. On rappelle queetA=P∞
0 tnAn
n! ∈ L(E). Montrer queketAk6e|t|kAk et quee(t+s)A=etAesA.
2. Soit u0 ∈ E et u la fonction vectorielle de variable r´eelle d´efinie par u(t) = etAu0. Montrer que uest d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.
Exercice 259 SoitE un espace de Banach etF un sous-espace ferm´e deE.
1. Montrer queN(¯x) = infy∈Fkx+yk=d(x, F) d´efinit une norme sur l’espace vectoriel quotientE/F. 2. Montrer `a l’aide du crit`ere sur les s´eries queE/F muni deN est un espace de Banach.
8 Th´ eor` eme du point fixe
Exercice 260 1. Soit X un espace m´etrique et (fn) une suite d’applications continues `a valeurs dans un espace m´etriqueY, convergeant versf uniform´ement surX. Montrer que si (xn) est une suite de points deX convergeant versx∈X, alorsfn(xn) tend versf(x).
2. Application : SoitXun espace m´etrique compact, et soit (fn) une suite d’applications continues deXdans X, ayant chacune un point fixe ; on suppose que la suite (fn) converge vers une fonctionf uniform´ement surX. Montrer quef a aussi un point fixe.
3. SoitK un convexe compact deRn etf une application continue deK dansK v´erifiant kf(x)−f(y)k6kx−yk;
En consid´erant les fonctionsfnd´efinies surKparfn(x) =n1f(x0) + (1−1n)f(x), o`ux0∈K, montrer que f a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il siK n’est plus convexe ?
Exercice 261 Soit E un espace m´etrique compact, f une application continue de E dans E et on note Ω l’ensemble de ses points fixes.
1. Montrer que Ω est un compact, qui est non vide dans le cas o`uE= [a, b].
2. Si Ω =∅, montrer qu’il exister >0 tel qued(x, f(x))>rpour toutx∈E.
3. On suppose qued(f(x), f(y))< d(x, y) pour tous x6=y deE. Montrer que Ω est r´eduit `a un pointaet que pour tout choix initial dex0∈E, la suite r´ecurrentexn+1=f(xn) converge versa.
Exercice 262 Pour x, y∈X =]0,+∞[ on poseδ(x, y) =|logx−logy|
1. Montrer queX muni deδest complet alors qu’il ne l’est pas pour la m´etrique usuelle deR. 2. Soitf une application de classeC1deX dansX v´erifiant pour toutx∈X
x|f0(x)|6kf(x)
o`ukest un r´eel de ]0,1[ fix´e. Montrer quef a un seul point fixe dansX.
Exercice 263 1. On consid`ere une matriceA= (aij) `a coefficients r´eels telle quePn
i,j=1a2ij<1. En utilisant le th´eor`eme du point fixe, montrer que quels que soient les r´eelsb1, b2,· · ·bn, le syst`eme d’´equations lin´eaires
xi−
n
X
j=1
aijxj =bi, 16i6n admet toujours une solution unique. En d´eduire det(I−A)6= 0.
8 Th´eor`eme du point fixe 33
2. Montrer sous les mˆemes hypoth`eses que le syst`eme non lin´eaire xi−
n
X
j=1
sin(aijxj) =bi, 16i6n admet une unique solution.
Exercice 264 On va montrer qu’il existe une et une seule h continue sur [0,1] v´erifiant h(0) = 0 et h0(t) = cos(th(t)) pour toutt∈[0,1]. On noteEl’espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la m´etrique uniforme.
1. hest solution si et seulement sihest continue eth(s) =Rs
0 cos(th(t))dt.
2. L’op´erateurT :E→Ed´efini parT f(s) =Rs
0 cos(tf(t))dtest 1/2-contractant. Conclure.
Exercice 265 Soit a, b∈ E evn,B1 ={x∈E/kx−ak =kx−bk = 12ka−bk}, et pour n > 1,Bn ={x∈ Bn−1/kx−yk6 12δ(Bn−1), ∀y∈Bn−1}, o`uδ(B) d´esigne le diam`etre de l’ensembleB.
1. Montrer queδ(Bn)612δ(Bn−1), et queT
nBn={a+b2 }.
2. Soitf une isom´etrie deEsurF evn, telle quef(0) = 0. Montrer en consid´erant la suite (f(Bn)) que pour tous a, b∈E,
fa+b 2
= f(a) +f(b)
2 .
En d´eduire que f est une isom´etrie lin´eaire. Que peut-on dire plus g´en´eralement d’une isom´etrief deE surF?
Exercice 266 Soit αn > 0 tel que la s´erie P∞
n=1αn converge. Soit (X, d) un espace m´etrique complet et f :X →X une application pour laquelle
d(fn(x), fn(y))6αnd(x, y) pour toutx, y∈X et n∈N.
Montrer que, sous ces conditions,f poss`ede un unique point fixep∈X, que pour tout point initialx0∈X, la suite des it´er´ees (xn=fn(x0))n>0converge verspet que la vitesse de convergence d’une telle suite est contrˆol´ee par
d(p, xn)6
∞
X
ν=n
αν
!
d(x1, x0).
Exercice 267 Soit (X, d) un espace m´etrique complet et soitf :X→X une application telle que l’une de ces it´er´ees fn est strictement contractante, i.e. il existeρ <1 tel que
d(fn(x), fn(y))6ρd(x, y) pour tout x, y∈X .
Montrer quef poss`ede un unique point fixe. Faire le rapprochement avec l’exercice 266.
Exercice 268 Montrer qu’il existe une fonctionf ∈ C1([0,1]) qui est point fixe de l’op´erateurT donn´e par T f(x) = 1 +
Z x 0
f(t−t2)dt .
On pourra commencer par ´etablir que T ◦T est une contraction. Utiliser ceci pour ´etablir l’existence d’une fonction uniquef ∈ C1([0,1]) qui v´erifief(0) = 1 etf0(x) =f(x−x2).
Exercice 269 Soient y ∈ C([a, b]) et k ∈ C([a, b]×[a, b]) des fonctions continues. On se propose de r´esoudre l’´equation (int´egrale de Fredholm) suivante :
x(s)− Z b
a
k(s, t)x(t)dt=y(s) pours∈[a, b] (1) d’inconnuex∈ C([a, b]). Pour ce faire on suppose que le ”noyau”ksatisfait l’hypoth`ese suivante :
λ:= max
a6s6b
Z b a
|k(s, t)|dt <1
ou mˆeme max
a6s,t6b|k(s, t)|< 1 b−a
.
1. Rappeler que (C([a, b]),k.k∞) est un espace complet.
9 Applications uniform´ement continues 34
2. Soitx∈ C([a, b])7→Ax∈ C([a, b]) l’application donn´ee par (Ax)(s) :=
Z b a
k(s, t)x(t)dt+y(s).
Noter que (1) ´equivaut `aAx=xet qu’on cherche donc un point fixe dex7→Ax. D´eduire des hypoth`eses faites sur k qu’un tel point fixe x ∈ C([a, b]) existe et que toute suite Anx0, x0 ∈ C([a, b]), converge uniform´ement vers ce point fixe x.
3. D´ependance continue de la solutionx=x(y).
Soient y1, y2∈ C([a, b]) deux fonctions etx1, x2∈ C([a, b]) les deux solutions associ´ees de (1) ou, de fa¸con
´
equivalente, les points fixes des applications associ´eesx7→Aix. Montrer que kx1−x2k∞=kA1x1−A2x2k∞6ky1−y2k∞+λkx1−x2k∞. En d´eduire que
kx1−x2k∞6 1
1−λky1−y2k∞ et donc que la solutionxde (1) d´epend continuement de la fonction y.
Exercice 270 On va montrer qu’il existe une et une seule h continue sur [0,1] v´erifiant h(0) = 0 et h0(t) = cos(th(t)) pour toutt∈[0,1]. On noteEl’espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la m´etrique uniforme.
1. hest solution si et seulement sihest continue eth(s) =Rs
0 cos(th(t))dt.
2. L’op´erateurT :E→Ed´efini parT f(s) =Rs
0 cos(tf(t))dtest 1/2-contractant. Conclure.
Exercice 271 On d´esigne parE l’espaceC([0,1]) muni de la norme uniforme et l’op´erateurAd´efini par Af(x) =
Z x 0
tf(t)dt+x Z 1
x
f(t)dt pourf ∈Eet x∈[0,1].
1. V´erifier queAest continu et calculer sa norme op´erateur.
2. L’´equationAf=f a-t-elle dansEdes solutions f non nulles ?
Exercice 272 On consid`ereT :C([0,1])→C([0,1]) qui `a f associeF d´efinie par
F(t) =
3/4f(3t) si 06t61/3 1/4 + 1/2 f(2−3t) si 1/36t62/3 1/4 + 3/4 f(3t−2) si 2/36t61 1. V´erifier queF est bien continue et queT est 3/4-contractante.
2. On notehle point fixe deT. Montrer par r´ecurrence|h(k−13n )−h(3kn)|>2−n.
Soita∈[0,1] ; montrer qu’il existe une suite (tn) telle que limtn =aet lim|h(tnt)−h(a)
n−a |= +∞.
3. En d´eduire l’existence d’une fonction continue nulle part d´erivable.
9 Applications uniform´ ement continues
9.1 Applications uniform´ ement continues
Exercice 273 1. Soit f une fonction r´eelle continue sur [0,1] ; montrer que f est “presque lipschitzienne”
au sens :
∀ε >0∃Cε; ∀x, y∈[0,1] |f(x)−f(y)|6Cε|x−y|+ε.
2. Montrer qu’une fonctionf uniform´ement continue deRdansRv´erifie pour toutx∈R,|f(x)|6a|x|+b o`uaetb sont des constantes.
Exercice 274 1. Montrer qu’une fonction de (X, d) dans (Y, δ) n’est pas uniform´ement continue, si et seule-ment si on peut trouver ε >0 et deux suites de points deX, (xn) et (yn) v´erifiant
(i)d(xn, yn) tend vers 0.
(ii)δ(f(xn), f(yn))>ε.
9 Applications uniform´ement continues 35
2. Parmi les fonctions de variable r´eelle suivantes, lesquelles sont uniform´ement continues : sin(x2),xsinx, sin1x, x6= 0 ?
Exercice 275 Soitf une fonction continue de ]0,1[ dansR. Montrer que, sif est uniform´ement continue, elle est born´ee. R´eciproque ?
Exercice 276 Soitf une fonction uniform´ement continue surRtelle que R∞
0 f(t)dtconverge. Montrer que f tend vers 0 quandx→+∞. Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x2) n’est pas uniform´ement continue.
Exercice 277 SoitE =Cb(R) muni de la norme uniforme ; pourf ∈E, on note fa la translat´ee def para, ie la fonctionx→f(x−a), etOf l’ensemble des translat´ees def. Soit f une fonction continue p´eriodique de RdansR;
1. Montrer quef est uniform´ement continue surR.
2. Montrer queOf est compact et connexe (consid´erer l’application a→fa).
Exercice 278 Soit (fn) une suite d’applications croissantes de [0,1] dans R, qui converge simplement vers une fonction f continue. Montrer que la convergence est uniforme sur [0,1]. Indication : ε > 0 ´etant fix´e, montrer qu’il existe 0 = x0 < x1 < · · · < xk = 1 tels que f(xj+1)−f(xj) 6 ε, 1 6 j 6 k−1 et ´etablir
|f(x)−fn(x)|6supj|fn(xj)−f(xj)|+ε.
Exercice 279 Parmi les m´etriques suivantes d´efinies sur R, lesquelles sont uniform´ement ´equivalentes `a la m´etrique usuelle ?
1. |x3−y3|
2. |arctanx−arctany|
3. 1+|x−y||x−y|
Exercice 280 Soitd1et d2deux distances sur un espace X. On consid`ere les quatre assertions suivantes : (i) Les m´etriques sont topologiquement ´equivalentes.
(ii) Les m´etriques sont uniform´ement ´equivalentes.
(iii) Les m´etriques sont Lipschitz-´equivalentes (il existeAet B constantes telles queA d16d26B d1).
(iv) (X, d1) et (X, d2) sont simultan´ement complets.
Etablir les implications entre ces propri´et´es et donner des contre-exemples lorsque les implications n’ont pas lieu.
Exercice 281 Soitd1et d2deux distances sur un espaceX. Montrer qu’elles sont uniform´ement ´equivalentes si et seulement si (X, d1) et (X, d2) ont les mˆemes applications r´eelles uniform´ement continues.
Indication : Raisonner par contraposition et consid´erer pour (xn) et (yn) v´erifiant limd1(xn, yn) = 0 et d2(xn, yn)>ε,A={x1, x2, ...},B ={y1, y2, ...}dans (X, d2), et
f(x) = d2(x, A) d2(x, A) +d2(x, B)
Exercice 282 Soit δ la m´etrique sur R d´efinie par δ(x, y) = |1+|x|x − 1+|y|y |. Montrer, `a l’aide du th´eor`eme de prolongement de fonction uniform´ement continue, que l’identit´ei: (R, δ)→(R,|.|) n’est pas uniform´ement continue.
Exercice 283 Soit (fn) une suite de fonctions r´eelles convergeant uniform´ement vers f sur R et soit g une fonction uniform´ement continue surR. Montrer que la suite (g◦fn) converge uniform´ement vers g◦f surR. Exercice 284 SoitX un espace m´etrique.
1. Montrer que si X n’est pas complet, il existe une suite de Cauchy (an), non convergente, et telle que ap6=aq pourp6=q.
2. Soit (bn) une suite de Cauchy non convergente ; montrer que l’ensembleB ={bn, n∈N}est ferm´e dans X.
3. D´eduire des questions pr´ec´edentes que si X n’est pas complet, on peut trouver une fonction continue f :X→[0,1] qui n’est pas uniform´ement continue.
Indication : Si (an) est d´efinie par 1., construiref :X →[0,1] telle quef(a2n) = 0 etf(a2n+1) = 1.
9 Applications uniform´ement continues 36
Exercice 285 Soit f une application bijective d’espaces m´etriques f : X → Y uniform´ement continue et d’inverse continue. Montrer que siY est complet,X l’est aussi.
Exercice 286 Soit (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´etriques ; soitf une application surjective deX surY telle que δ(f(x), f(x0)) = d(x, x0) pour tous x, x0 dans X. V´erifier que f est un hom´eomorphisme uniform´ement continu ainsi quef−1. Donner des exemples surRn et d´ecrire les isom´etries deR.
Exercice 287 On consid`erel1etl2les espaces de suites r´eelles absolument et de carr´e sommables, et l’applica-tionF (non lin´eaire) del1 dansl2d´efinie parF(a) =bsia= (an),b= (bn) avecbn= sign (an)p
|an|. V´erifier queF est un hom´eomorphisme del1 surl2, uniform´ement continu mais d’inverse non uniform´ement continu.