9 Applications uniform´ement continues 36
Exercice 285 Soit f une application bijective d’espaces m´etriques f : X → Y uniform´ement continue et d’inverse continue. Montrer que siY est complet,X l’est aussi.
Exercice 286 Soit (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´etriques ; soitf une application surjective deX surY telle que δ(f(x), f(x0)) = d(x, x0) pour tous x, x0 dans X. V´erifier que f est un hom´eomorphisme uniform´ement continu ainsi quef−1. Donner des exemples surRn et d´ecrire les isom´etries deR.
Exercice 287 On consid`erel1etl2les espaces de suites r´eelles absolument et de carr´e sommables, et l’applica-tionF (non lin´eaire) del1 dansl2d´efinie parF(a) =bsia= (an),b= (bn) avecbn= sign (an)p
|an|. V´erifier queF est un hom´eomorphisme del1 surl2, uniform´ement continu mais d’inverse non uniform´ement continu.
10 Applications diff´erentiables 37
10 Applications diff´ erentiables
10.1 Applications diff´ erentiables
Exercice 297 Soitf une applicationf deE dansF espaces vectoriels norm´es de dimension finie.
On rappelle les implications suivantes : si x0 ∈ E, “f de classe C1 en x0” ⇒ “f diff´erentiable en x0” ⇒“f continue en x0”. On sait de mˆeme que “f diff´erentiable en x0” ⇒ “f admet des d´eriv´ees partielles en x0” montrer que les r´eciproques sont fausses en g´en´eral en s’inspirant de :
f(x) =
x2sin1x+y2sin1y si xy6= 0 x2sin1x si y= 0 y2siny1 si x= 0
0 en (0,0)
ou de
f(x) =
( xy2
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
Exercice 298 1. Soit f une application de E dans F espaces vectoriels norm´es et supposons f diff´ eren-tiable en a; montrer que pour tout vecteuru∈E∗, la d´eriv´ee de f en adans la directionu existe , i.e.
limh→0h1 f(a+hu)−f(a)
et l’exprimer `a l’aide def0(a).
2. On consid`ere f :R2→Rd´efinie parf(0,0) = 0 et, si (x, y)6= (0,0),f(x, y) = x4x+y3y2. Montrer quef est d´erivable en (0,0) dans toutes les directions, mais quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).
Exercice 299 Soitg:R→Rune application de classeC2et F :R2→Rd´efinie par F(x, y) = g(x)−g(y)
x−y six6=y, F(x, x) =g0(x).
Montrer queF est de classeC1 en tout point deR2 et calculer sa diff´erentielle.
Exercice 300 SoitEn l’espace des polynˆomes de degr´e6n. Etudier la diff´erentiabilit´e des applicationsP 7→
R1
0(P3(t)−P2(t))dtet P 7→P0−P2.
Exercice 301 Soit H un espace pr´ehilbertien sur R, et f(x) = ||x|| de H dans R; montrer que f est diff´erentiable en tout point de H\{0}, et calculer sa diff´erentielle. (indic. ´etudier directement ||x+h|| ou consid´erer la fonction compos´eex→ ||x||2→p
||x||2.) D´ecrire le noyau Kerf0(x) en toutx6= 0.
Exercice 302 Soita∈Rn etf :Rn\{a} →Rn d´efinie parf(x) = ||x−a||a−x2. 1. Calculerf0(x) pour toutx∈Rn\{a}.
2. Montrer que f0(x).h = ||x−a||Sh 2 o`u S est la sym´etrie orthogonale d’axe x−a. Que peut-on dire de la transformationf0(x) deRn?
Exercice 303 Soitfune application diff´erentiable deR2dans lui-mˆeme, propre (i.e.||f(x)||tend vers∞quand
||x|| → ∞), telle que pour tout x∈R2 f0(x) soit injective. On va montrer quef est surjective. Soita∈R2 et g(x) =||f(x)−a||2;
1. Calculerg0(x).
2. Montrer queg atteint sa borne inf´erieure en un point x0 deR2, et queg0(x0) = 0 ; en d´eduire le r´esultat.
Exercice 304 Soit, dans Rn, F un sous-espace ferm´e, et soit f : Rn → R d´efinie par f(x) = d(x, F). On rappelle quef est 1-lipschitzienne, et que pour chaquexil existey∈F tel que f(x) =d(x, y).
1. On suppose quef est diff´erentiable enx /∈F. Montrer que||f0(x)||L(Rn,R)61.
2. On consid`ere la fonction ϕ:t∈[0,1]→f((1−t)x+ty) ; en calculantϕ0(0) de deux fa¸cons, montrer que f0(x).||x−y||x−y = 1 et||f0(x)||L(Rn,R)= 1.
3. En d´eduire quey est unique.
Exercice 305 SoitB une application bilin´eaire deE×F dansG, o`uE, F, Gsont des evn de dimension finie.
1. CalculerB0(a) sa diff´erentielle en un pointa= (a1, a2) deE×F.
10 Applications diff´erentiables 38
2. En d´eduire, pourf et gdeux applications diff´erentiables deI intervalle deRdansR3, la diff´erentielle de t→f(t)∧g(t) et de t→ hf(t), g(t)ien toutt∈I.
3. Application : Soit A un op´erateur de Rn tel que Ax⊥xpour tout x; montrer que etA est une isom´etrie pour tout r´eelt. (D´erivert→ ||etAx||2.)
Exercice 306 SoitE un espace de Banach etL(E) l’espace des endomorphismes lin´eaires continus deE.
1. SoitA∈ L(E) ; montrer que l’applicationϕ:t∈R→etAest d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
2. On suppose que la norme deEest associ´ee au produit scalaireh·,·i. Soitx∈E. Montrer que l’application Φ :t→ hetAx, etAxiest d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
3. On suppose queAest antisym´etrique. Montrer que pour toutt,etAest unitaire.
Exercice 307 Soit E et F deux evn sur C. Une application de E dans F C-lin´eaire est R-lin´eaire, mais la r´eciproque est fausse.
1. Soitϕ:E→F une applicationR-lin´eaire. Montrer queϕestC-lin´eaire si et seulement siϕ(ix) =iϕ(x) pour toutx∈E. En d´eduire les applications deR2 dansR2 qui sont C-lin´eaires.
Soit U un ouvert de E et f : U → F. On suppose f R-diff´erentiable en a ∈ U. Il est clair que f est C-diff´erentiable en asi et seulement sif0(a) estC-lin´eaire.
2. Si f : C → C s’´ecrit f(z) = u(z) +iv(z) = f(x+iy) avec u et v r´eelles, qu’on identifie `a f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), traduire `a l’aide de a) “f est C-diff´erentiable en a = α+iβ”. En quels points les applications deCdansCsont-ellesC-diff´erentiables :f1(z) =ex;f2(z) =|z|2; f3(z) =ex−iy?
3. (extrait de septembre 99) Soit U un ouvert de Cet soit f :U →C C-diff´erentiable ena=α+iβ ∈U, telle que f(a)6= 0. Montrer que si g=|f|est C-diff´erentiable ena=α+iβ∈U, alorsf0(a) = 0.
[Exercice corrig´e]
Exercice 308 Soitα >0. ´Etudier la diff´erientiabilit´e `a l’origine de l’applicationf :R2→Rqui est d´efinie par f(0,0) = 0 et par
f(x, y) = |xy|α
px2+ 3y2 si (x, y)6= (0,0). Exercice 309 Soitf :R2→Rd´efinie par
f(x, y) = xy2
x2+y2 si (x, y)6= (0,0)
etf(0,0) = 0. Montrer quef est continue sur R2, que pour toutu∈R2\ {0} ∂f∂u(0,0) existe, mais quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).
Exercice 310 Soit X =C([0,1]) muni de la norme uniforme et soit f une application de C1(R,R). On note F l’applicationϕ7→f ◦ϕ deX dans X. Montrer que pour chaqueϕ∈X,DF(ϕ) est l’op´erateur lin´eaire de multiplication parf0◦ϕdansX :
DF(ϕ)·(h) =h f0◦ϕ , et queDF est continue.
Exercice 311 SoitF l’alg`ebre des matrices carr´esp×pmunie d’une norme.
1. Soitf :F →Rl’application qui associe `a une matriceAson d´eterminantf(A) = det (A). Montrer qu’elle est diff´erentiable et d´eterminerDf.
2. Pour n >1, on consid`ere l’application ϕn(A) = An de F dans F. Montrer qu’elle est diff´erentiable en toute matriceA∈ F.
3. On d´esigne parU l’ensemble des matrices inversibles deF. Montrer queU est un ouvert deF et calculer la diff´erentielle de l’applicationA7→A−1 deU dansU.
Exercice 312 1. Que peut-on dire de la diff´erentiabilit´e de l’applicationf :R2→Rd´efinie parf(x1, x2) = kxk∞= max (|x1|,|x2|) ?
2. G´en´eraliser ceci `a f :F → R, f(x) =kxk∞, avecF =Rn ouF l’ensemble des suites convergentes vers zero.
Exercice 313 Soitf :R2→Rl’applicationx= (x1, x2)7→ kxk1=|x1|+|x2|. Est-ce qu’elle est diff´erentiable ? Consid´erons maintenantl1l’espace des suites r´eelles muni de la normekxk1=P∞
j=1|xj|.
10 Applications diff´erentiables 39
1. Montrer que pour toute forme lin´eaire continue Lsur l1 il existe une suite born´ee α= (α1, α2, ....) telle que
L(x) =
∞
X
j=1
αjxj .
2. Montrer que la normek.k1:l1→Rn’est pas diff´erentiable en aucun point del1(raisonner par l’absurde en utilisant (1.)).
Exercice 314 Dans un espace norm´e (F, N), on consid´ere l’applicationx7→N(x). Rappeler que, lorsque cette applicationN est diff´erentiable en x∈ F, alors
DN(x)·(h) = lim
t→0
1
t (N(x+th)−N(x)) .
En d´eduire que N n’est pas diff´erentiable en 0 ∈ F. SupposonsN diff´erentiable en x∈ F, alors justifier que N l’est aussi en λx, o`uλ > 0, et que DN(x) =DN(λx). En consid´erant la d´eriv´ee enλ= 1 de l’application λ7→N(λx), montrer queDN(x)·(x) =N(x) et en d´eduirek|DN(x)k|= 1.
Exercice 315 SoitE un espace vectoriel r´eel muni d’un produit scalaire (x, y)7→ hx, yiet de la norme associ´ee kxk=hx, xi12. Soituun endomorphisme continu deE que l’on suppose sym´etrique, i.e.
hu(x), yi=hx, u(y)i pour tout x, y∈ E.
1. Montrer que l’applicationx∈ E 7→ hu(x), xiest diff´erentiable surE et calculer sa diff´erentielle. L’applica-tionx7→ kxk2 est donc diff´erentiable.
2. On d´efinit une applicationϕ:E \ {0} →Ren posantϕ(x) =hu(x),xihx,xi . ´Etablir qu’il s’agit d’une application diff´erentiable. Calculer ensuiteDϕ. Montrer que, pour un ´el´ement non nul a∈ E, on a Dϕ(a) = 0 si et seulement si aest vecteur propre deu.