Exercice 4.4.1 Un calcul de probabilit´e. On suppose connue Φ(a, T) =P(Bt≤at ,∀t≤T) SoitB1 etB2deux MB ind´ependants et
dXt = Xt(rdt+σ1dB1(t)), X0= 1 dYt = Yt(rdt+σ2dB2(t)), Y0= 1 Calculer, en fonction de Φ la quantit´eP(Xt≤Yt,∀t≤T).
Exercice 4.4.2 Un calcul de loi Let dXt =µ(t)dt+σ(t)dBt, X0 = 0 whereµ and σ are piece wise constant over known time.
Let us restrict our attention to the case
µ(t) =µ∀t∈[0,1[, µ(t) =µ1∀t∈[1,∞[, σ(t) =σ∀t∈[0,1[, σ(t) =σ1∀t∈[1,2[/, . Describe the distribution ofYt= max0≤s≤tXs.
Exercice 4.4.3 Montrer que la solution de dCt=Ct
rtdt+m(dSt
St
−rtdt)
avecdSt=St(µtdt+σtdBt) s’´ecrit sous la forme Ct=C0
St
S0
exp[a Z t
0
rsds+b Z t
0
σs2ds]
m
o`u on expliciteraaet b.
Exercice 4.4.4 Changement de tempsSoitdXt=−λXtdt+σdBtet τ = inf{t : |Xt|> g(t)}
o`u g est une fonction d´eterministe. Exprimer P(τ > t) en fonction de Ψ(u) = P(τ∗ > u) avec τ∗= inf{t : |Bt|> h(t)}.
Chapter 5
Equations diff´ erentielles stochastiques
Une ´equation diff´erentielle stochastique est une ´equation de la forme dXt=b(t, Xt)dt+σ(t, Xt)dBt, X0=x
o`u l’inconnue est le processusX, les donn´es sont le mouvement Brownien B(´eventuellement multi-dimensionel) et les fonctionsbetσ.
L’´equation pr´ec´edente a une unique solution si a- les fonctionsbet σsont continues, b- il existeKtel que pour toutt∈[0, T], x∈R, y∈R
i)|b(t, x)−b(t, y)|+|σ(t, x)−σ(t, y)| ≤K|x−y|
ii)|b(t, x)|2+|σ(t, x)|2≤K2(1 +|x|2). De plus cette solution v´erifie E( sup
0≤t≤T
|Xt|2)<∞.
5.1 Equation lin´ eaire
Exercice 5.1.1 Soit l’EDS
dXt=bXtdt+dBt, X0=x.
1. On pose Yt = e−btXt. Quelle est l’EDS v´erifi´ee par Yt ? Exprimer Yt sous la forme Yt = y+
Z t
0
f(s)dBs o`u l’on explicitera la fonction f. 2. CalculerE(Yt) etE(Yt2).
3. Justifier que Z t
0
Ysdsest un processus gaussien. CalculerE(exp[
Z t
0
Ysds]).
4. ExprimerYtpour t > ssous la forme Yt=Ys+ Z t
s
g(u)dBu o`u l’on explicitera la fonctiong.
CalculerE(Yt|Fs) et Var (Yt|Fs) 5. CalculerE(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).
Exercice 5.1.2 Soit
dΨt= (1−rΨt)dt+σΨtdBt
51
et Lle g´en´erateur associ´e
LV(x) = (1−rx)V0(x) +σ2
2 x2V00(x) Soituune solution de
Lu(x)−λu(x) = 0 On d´efinitx∗comme solution dex∗u0(x∗) =u(x∗) etv(x) = x∗
u(x∗)u(x). On admettra quev00(x)≥0.
Soit enfinV d´efinie par
V(x) = v(x), 0≤x≤x∗
= x, x > x∗ Montrer que 1−(r+λ)x∗≤0.
Ecrire la formule d’Itˆo pour e−λtV(Ψt) (il apparait un terme LV(x)−λΨ(x)). Montrer que sur x > x∗ on aLV(x)−λV(x)≤0 et que surx≤x∗, on a LV(x)−V(x) = 0
En d´eduire que
V(Ψ0)≥E(e˜ −λTV(ΨT)) (en admettant que l’int´egrale stochastique est une martingale).
Exercice 5.1.3 Cas particulier 1.
1. Montrer que la solutionY de
dYt=αXtdt+βXtdBt, Y0= 1, est
Yt= exp{(α−1
2β2)t+βBt}.
2. Montrer que siα≥0,Y est une sous-martingale par rapport `a la filtration (Ft).
A quelle condition surα,Y est elle une martingale?
3. Soit (Zt)t≥0 le processus d´efini par Zt=x+ (a−bβ)
Z t
0
Ys−1ds+b Z t
0
Ys−1dBs. Montrer que (Zt)t≥0est un processus d’Itˆo. Calculer< Y, Z >t. En d´eduire que la solutionX de (5.3) peut s’´ecrireXt=YtZt.
Exercice 5.1.4 Cas particulier 2. On consid`ere l’´equation
dXt = αXtdt+b dBt (5.1)
X0 = x . 1. Montrer que l’unique solution de (5.1) s’´ecrit
Xt=eαt(X0+b Z t
0
e−αsdBs).
2. Montrer queX est un processus gaussien, calculer son esp´erance et sa variance.
3. Justifier que Z t
0
Xsdsest un processus gaussien. CalculerE exp[Rt
0Xsds]
.
4. CalculerE(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).
5. Soit X solution de (5.1), et φ une fonction de classe C2. Ecrire la formule d’Itˆo pour Zt = φ(Xt).
En d´eduire que siφ(x) = Z x
0
exp(−αy2
b2)dy, alors Zt=b
Z t
0
exp(−αB2s b2)dBs
Z est-elle une martingale de carr´e int´egrable?
6. Soitλfix´e. Calculer
Φ(t, y) =E(eλXt2). Soittfix´e. Etudier la martingaleE(eλXt2|Fs), s≤t.
Montrer que Φ est solution d’une ´equation aux d´eriv´ees partielles. Soit Ψ(t, x) = ln Φ(t, x).
Montrer que
Ψ(t, x) =x2a(t) +b(t), aveca0(t) =−2a(t)(α+b2a(t)), b0(t) =−b2a(t). Exercice 5.1.5 Cas particulier 3. On consid`ere l’´equation
dXt = (b+βXt)dBt (5.2)
X0 = x o`ux6=−βb. Soithla fonction d´efinie par
h(y) = 1
β ln|b+βy b+βx| poury6=−βb
1. On poseYt=h(Xt). Quelle est l’´equation v´erifi´ee par Y?
2. En d´eduire que la solution de (5.2) s’´ecrit Xt= (x+ b
β) exp(−β2
2 t+βBt)− b β
Exercice 5.1.6 Cas particulier 4. On se place dans le casa= 1, b= 0. On pose Yt=e−αtXt. Quelle est l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee parY?
CalculerE(Xt) et Var (Xt).
Exercice 5.1.7 Cas g´en´eral. Soita, α, b, β quatre constantes r´eelles. Soitx∈R.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle stochastique
dXt = (a+αXt)dt+ (b+βXt)dBt (5.3) X0 = x
1. Montrer que (5.3) admet une unique solution.
2. On notem(t) =E(Xt) etM(t) =E(Xt2).
(a) Montrer quem(t) est l’unique solution de l’´equation diff´erentielle ordinaire
y0−αy = a (5.4)
y(0) = x (b) Ecrire la formule d’Itˆo pour X2 o`u X est solution de (5.3).
(c) En d´eduire que M(t) est l’unique solution de l’´equation diff´erentielle ordinaire
y0−(2α+β2)y = 2(a+bβ)m+b2 (5.5) y(0) = x2
o`umest la solution de (5.4). (On admettra que l’int´egrale stochastique qui intervient est une martingale)
(d) R´esoudre (5.4) puis (5.5).
Exercice 5.1.8 Soitf, F, g, Gdes fonctions continues born´ees. On noteX la solution de dXt= [f(t) +F(t)Xt]dt+ [g(t) +G(t)Xt]dBt, X0=x
et Y la solution de
dYt=F(t)Ytdt+G(t)YtdBt, Y0= 1 1. ExpliciterY.
2. SoitZ d´efini par
Zt=x+ Z t
0
Ys−1[f(s)−G(s)g(s)]ds+ Z t
0
Ys−1g(s)dBs. Montrer queX=Y Z.
3. Soitm(t) =E(Xt) etMt=E(Xt2). Montrer que mest l’unique solution dey0(t)−F(t)y(t) = f(t), y(0) =x. En d´eduire
m(t) = exp(Fe(t))
x+ Z t
0
exp−Fe(s)f(s)ds
o`uFe(t) = Z t
0
F(s)ds. Montrer queM est l’unique solution de
Y0(t)−[2F(t) +G2(t)]y(t) = 2[f(t) +g(t)G(t)]m(t) +g2(t), y(0) =x2 Exercice 5.1.9 Calculer l’esp´erance et la variance de la v.a. Xt avec
dXt=a(b−Xt)dt+σp
XtdBt, X0=x Exercice 5.1.10 Soit 0< s < T et m∈R. V´erifier que la solution de
dXt=(s−T)Xt+mT
(s−T)t+T2 dt+dBt
est
Xt= m
Tt+ [(s−T)t+T2] Z t
0
dBu
(s−T)u+T2
Exercice 5.1.11 Soitπun processus adapt´e (de carr´e int´egrable),σ,θ etrdes processus adapt´es (born´es),c un processus positif, adapt´e, born´e etX la solution de
dXtx,π,c = rtXtx,π,cdt−ctdt+πTtσt[dBt+θtdt] (5.6) X0x,π,c = x
On noteH le deflateur, soitHt= expRt
0rsds+Rt
0θsdBs−12Rt
0θ2ds
=Lt
Rt
0rsds. Montrer que les processusHtXt+
Z t
0
Hscsds, t≥ 0 etLt(XtRt+Rt
0cRsds) sont des martingales. V´erifier que leur difference est une martingale.
5.2 Processus affines
Exercice 5.2.1 CalculerE(exp(λXT)) pour
dXt = (µ−αXt−γVt)dt+p VtdB1,t
dVt = k(θ−Vt)dt+σp VtdB2,t
Exercice 5.2.2 Soit
dXt=µ(Xt)dt+σ(Xt)dBt
o`uµetσ2(le carr´e deσ) sont des fonctions affines : µ(x) =µ0+µ1x;σ2(x) =σ0+σ1x.On souhaite montrer que pour toute fonction affineψ(x) =ψ0+ψ1x, pour toutθ, il existe deux fonctionsαet β telles que,
E eθXT exp − Z T
t
ψ(Xs)ds
!
|Ft
!
=eα(t)+β(t)St.
1. Montrer qu’il suffit d’´etablir l’existence de deux fonctionsαet β telles que le processus eα(t)+β(t)Stexp
− Z t
0
ψ(Ss)ds
est une martingale avecα(T) = 0, β(T) =θ.
2. Montrer que la d´etermination deαetβ conduit `a la r´esolution d’une ´equation de Ricatti (type d’´equation diff´erentielle non lin´eaire) et d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire. On ne demande pas la r´esolution de ces ´equations.
3. G´en´eraliser le r´esultat au cas o`udSt=µ(St)dt+σ(St)dBt+dXto`u (Xt, t≥0) est un processus de Poisson.
5.3 Autres ´ equations
Exercice 5.3.1 On consid`ere l’´equation
dXt= 11Xt≥0dBt, X0=x . (5.7)
Onsuppose qu’il existe une solution.
1. V´erifier que, pourx= 0, la solution de (5.7) n’est pas identiquement nulle.
2. V´erifier que, pour x≥0, la solution est `a valeurs positives. On pourra montrer, en utilisant la formule d’Itˆo, que sif est une fonction r´eguli`ere, nulle surR+, alorsf(Xt) est nulle.
3. Montrer que la solution issue de 0 est d’esp´erance nulle `a tout instantt.
4. Que peut on en conclure?
5.4 Finance
Exercice 5.4.1 Options Asiatiques. SoitSt solution de dSt=St(r dt+σ dBt) les param`etresret σ´etant constants.
1. SoitK une constante. Montrer que le processus Mt =E (1
4. Ecrire la formule d’Itˆo pourM. En d´eduire une ´equation aux d´eriv´ees partielles v´erifi´ee par Φ.
Exercice 5.4.2 Black et Scholes, volatilit´e d´eterministe. Soit σ une fonction d´eterministe continue etr une constante et (St, t≥0) la solution de
σ2(s)dsest une variable gaussienne dont on calculera l’esp´erance et la variance.
3. On rappelle que dans le casσconstant, le prix d’un call est donn´e par C(0, x) =xN(d1)−Ke−rTN(d2)
En d´eduire (sans faire de calculs) que, dans le cas de volatilit´e d´eterministe, la formule de Black et Scholes s’´ecrit
E((ST−K)+) =xN(D1)−Ke−rTN(D2) ExprimerD1 etD2.
Exercice 5.4.3 La formule de Dupire. Soit
dSt=St(rdt+σ(t, St)dBt)
o`uσest une fonction deR+×R+ dansRet f(t, x) la densit´e deSt, soit f(t, x) =P(St∈dx). ON admettra que
∂tf−1 2∂xx
x2σ2(t, x)f(t, x)
+∂x[rxf] = 0
On note C(K, T) le prix en z´ero d’un call Europ´een de strike K et de maturit´e T. On note
∂1C, ∂2C, ∂11C les d´eriv´ees partielles de C par rapport `a la premi`ere variable, seconde variable, d´eriv´ee seconde par rapport `a la premiere variable.
1. Montrer que∂11C(K, T) =e−rTf(T, K).
2. Montrer que 1 2
∂2
∂x2
x2σ2(t, x)f(t, x)
=ert ∂2
∂x2(rx ∂
∂xC) +ert ∂2
∂x2
∂C
∂t 3. En d´eduire
1
2x2σ2(t, x)∂2C
∂x2(t, x) =rx∂C
∂x(x, t) +∂C
∂t(t, x)
5.5 Equations diff´ erentielles
Exercice 5.5.1 Soitαune constante et
dXt=−α2Xt2(1−Xt)dt+αXt(1−Xt)dBt (5.8) la condition initiale ´etantX0=xavecx∈]0,1[. On admet queX prend ses valeurs dans l’intervalle ]0,1[. On poseYt= Xt
1−Xt.
1. Quelle est l’´equation diff´erentielle stochastique v´erifi´ee parY ?
2. En d´eduire queXt= xexp(αBt−α2t/2) xexp(αBt−α2t/2) + 1−x.
Exercice 5.5.2 Produit d’exponentielle. SoitB un MB et hun processus adapt´e born´e. On note E(hB)t def= Lt l’unique solution de dLt = LthtdBt, L0 = 1. Etablir une formule du type E(h1B1+h2B2)t=XtE(h1B1)tE(h2B2)to`uX est `a d´eterminer.
Exercice 5.5.3 Soit B un mouvement Brownien issu de a > 0 et T0 = inf{t : Bt = 0}. Pour t < T0, on d´efinit Xt=µ(Bt)α. Montrer que, pourt < T0,
dXt=b(Xt)dt+σ(Xt)dBt
o`u on expliciterabetσ. En d´eduire la forme de la solution dedYt=YtndBt+1
2nYt2n−1dt, Y0=y≥0 avant le premier temps d’atteinte de 0. (On admettra l’unicit´e de la solution).
Exercice 5.5.4 Ponts
1. SoitN une gaussienne r´eduite centr´ee ind´ependante deB. V´erifier que la solution dedXt= dBt+N−Xt
1−t dt est Xt = tN + (1−t) Z t
0
1
1−sdBs. En d´eduire que X est un processus gaussien, dont on calculera l’esp´erance et la covariance.
2. SoitW un MB ind´ependant deB. V´erifier que la solution de dXt = dBt+ Wt−Xt
1−t dt est Xt= (1−t)
Z t
0
Ws
(1−s)2ds+ (1−t) Z t
0
1
1−sdBs. En d´eduire queX est un processus gaussien, dont on calculera l’esp´erance et la covariance.
Chapter 6
Girsanov
Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Une probabilit´e Q sur (Ω,F) est dite ´equivalente `a P si P(A) = 0 ´equivaut `a Q(A) = 0. Dans ce cas, il existe une variable al´eatoire Z, F-mesurable, strictement positive telle queQ(A) = EP(Z11A) ce que l’on note dQ|F =ZdP|F. La v.a. Z v´erifie EP(Z) = 1, on l’appelle densit´e de Radon-Nykodym.
Si (Ω,F,P) est un espace de probabilit´e filtr´e, et siQest ´equivalente `aPsurFT (avecT ≤ ∞), alors dQ|Ft =ZtdP|Ft et le processus (Zt, t ≤ T) est une Ft, t ≤ T) martingale. On rappelle la formule de Bayes (voir Exercice 1.3.14): pourX FT-mesurable born´ee
EQ(X|Ft) = 1
ZtEP(XZT|Ft)
Dans tous ces exercices,Bd´esigne unP-mouvement Brownien issu de 0,F= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.
6.1 R´ esultats ´ el´ ementaires.
Dans la plupart des exercices, on consid`ere des int´egrales R
θsdBs avec θ born´e. La plupart des r´esultat se g´en´eralisent au cas de processus de carr´e int´egrable.
Exercice 6.1.1 Changement de probabilit´e. Soit (θt, t≥0) un processus adapt´e continu born´e etLla martingale d´finie par Lt= exp[
Z t
0
θsdBs−1 2
Z t
0
θ2sds]. SoitQla probabilit´e d´efinie surFT
pardQ=LTdP. Soit (φt, t≥0) un processus adapt´e continu born´e etMt= Z t
0
φsdBs− Z t
0
θsφsds.
Montrer queM est uneQ-martingale.
On poseZt=MtLt. Montrer queZ est uneP-martingale locale. Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat.
Exercice 6.1.2 Calcul d’esp´erance 1. Soit θ un processus adapt´e born´e et H le processus d´efini par dHt= −HtθtdBt, H0 = 1. On notedQ|Ft =HtdP|Ft. Montrer que EP(HTlnHT) = EQ(1
2 Z T
0
θ2sds). On pourra faire une d´emonstration `a la main (quandθest d´eterministe) ou utiliser le th´eor`eme de Girsanov.
Exercice 6.1.3 Calcul d’esp´erance 2. Soit p une fonction d´eterministe donn´ee. Pour quelles fonctionshetkle processus exp(h(t) +k(t)B2t+
Z t
0
p(s)Bs2ds) est-il une martingale? Applications : 59
1. CalculerE[exp(λBT2 + Z T
0
p(s)Bs2ds]
2. CalculerE[exp(λBT2 + Z T
0
p(s)Bs2ds)Ψ(A+BBT)]
Exercice 6.1.4 Itˆo+ Girsanov. Soit Γ le processus solution de dΓt= Γt(βtdt+γtdBt), Γ0= 1 o`uβ et γsont des processusFadapt´es born´es.
1. Montrer que Γtexp
− Z t
0
βsds
est une martingale locale.
2. Trouver une probabilit´eQtelle que Γ soit uneQ-martingale locale.
3. Trouver une probabilit´eRtelle que Γ−1t soit uneR-martingale locale.
Exercice 6.1.5 Longstaff ’s Model. Soitrt=Yt2 avecdYt=dBt−(λYt+α2)dt.
1. Donner la dynamique der.
2. Soitf et gdeux fonctions d´eterministes (que l’on supposera continues born´ees). Exprimer E(exp
Z t
0
[f(s)Bs+g(s)]dBs−1 2
Z t
0
[f2(s)Bs2+ 2Bsf(s)g(s)]ds)
en fonction de exp1 2
Z t
0
g2(s)ds.
3. Montrer que le calcul deE(exp− Z t
0
rsds) se d´eduit du calcul de l’expression pr´ec´edente avec des fonctionsf etg v´erifiant des conditions que l’on pr´ecisera.
Exercice 6.1.6 Loi conditionnelle. Soitt > s. Montrer que la densit´e P(Bt+νt∈dy|Bs+νs=x)
ne d´epend pas de ν.
Exercice 6.1.7 Loi du sup. On suppose que l’on connait la loi du couple de v.a. (Bt∗, Bt) o`u pour un processusX on note
Xt∗= sup
s≤tXs.
Montrer comment calculer la loi de (L∗t, Lt) pourLt= exp(αBt−α2 2 t).
Exercice 6.1.8 Loi de quantiles.
1. SoitF etGdeux fonctionnelles d´efinies surC([0,1],R). Montrer que l’on a ´equivalence entre (i)∀t,∀µ∈R, F(Xs, s≤t)loi=G(Xs, s≤t) le processusX ´etant un Brownien de driftµ (ii)∀t, F(Xs, s≤t)loi=G(Xs, s≤t) le processusX ´etant un Brownien.
2. SoitAt= Z t
0
ds11Xs≥0 et θt= sup{s≤t : supu≤sXu=Xs}. Montrer que Atloi
=θt,lorsque le processusXest un mouvement Brownien de drift µ
´equivaut `a
A1loi
=θ1, lorsque le processusXest un mouvement Brownien
3. Soit X un mouvement Brownien. Montrer que si E(f(X1, A1)11X1>0) =E(f(X1, θ1)11X1>0), alors (X1, A1)loi= (X1, θ1).
6.2 Crochet.
Exercice 6.2.1 GirsanovSoitMuneP-martingale de carr´e int´egrable etdQ= exp(Mt−1
2hMit)dP.
Montrer que siN est unePmartingale,N−< N, M >est uneQmartingale.
Exercice 6.2.2 h-processus. Soit X tel que dXt = µdt+σdBt, X0 = x et h une fonction de classeC1telle queh(Xt) est une martingale positive. On noteQla probabilit´e d´efinie pardQ|Ft = h(Xt)
h(x) dP|Ft. SoitM uneP-martingale. Montrer queMt− Z t
0
h0(Xs)
h(Xs)dhM, Xisest uneQ-martingale.
6.3 Processus.
Exercice 6.3.1 Processus de Bessel. Soientθ etµ deux processus adapt´es born´es. On notePθ la probabilit´e telle que le processusBθd´efini parBtθdef= Bt−
Z t
0
θsdssoit un mouvement Brownien etPµ la probabilit´e telle que Bµ avecBtµdef= Bt−
Z t
0
µsdssoit un mouvement Brownien.
1. Quelles sont les densit´esLθ=dPθ
dP etLµ =dPµ dP ? 2. SoitL = Lθ
Lµ. Expliciter L en fonction deB puis en fonction deBµ. A quel changement de probabilit´e type Girsanov correspondL?
3. Soitδ >1 etRle processus solution de dRt= δ−1
Rt
dt+dBt, R0= 1 (on admet qu’il existe une solution)
(a) Montrer que Z t
0
dRs
Rs = lnRt+1 2
Z t
0
1 Rs2ds (b) Soitθ un processus adapt´e born´e et Lt= exp(
Z t
0
θsdB(s)− 1 2
Z t
0
θs2ds). On note Qla probabiit´e d´efinie pardQ=LtdP.
Comment choisirθ pour que, sousQ dRt= 1
Rtdt+dB˜t
o`u ˜B est unQ-Brownien. ExprimerLen n’utilisant que le processusR
(c) En d´eduire que
o`uαest une constante d´ependant denet dρt= 1
(a) Montrer en utilisant le th´eor`eme de Girsanov que le calcul deE(A(t, ν)) se ram`ene au cas ν = 0.
(b) Peut-on faire un calcul direct?
Exercice 6.3.3 SoitX le processus solution de
dXt=−λXtdt+dBt, X0=x.
V´erifier queLest une martingale locale. On admet pour la suite que c’est une martingale.
2. On notePλ la mesure de probabilit´e d´efinie surFtpardPλ=LtdP. Quelle est la dynamique
(b) En d´eduire que sous Pb, le processus (Bt, t≥0) est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck, et que Bt est une variable gaussienne dont on pr´ecisera, en s’appuyant sur le cours, l’esp´erance et la variance.
(c) Montrer que, sousP, on a Z t
0
BsdBs= 1
2(Bt2−t).
La mˆeme ´egalit´e est-elle vraie sousPb?
(d) Montrer que, pour toutt≤T, (e) En d´eduire (il y a des calculs) que, pour toutt,
EP(exp{−αBt2−b2
Exercice 6.3.5 SoitS solution de
dSt=St(µ dt+σ dBt), S0=s , les coefficientsµetσ´etant constants.
1. Montrer queSt=S0exp(µt+σBt−σ2
St est une ˜P-martingale.
5. SoitFt=e−λt
. Ecrire l’´equation diff´erentielle stochastique v´erifi´ee par Ψt en utilisant le Brownien ˜B.
Exercice 6.3.6 Soitα, β et σdes fonctions (d´eterministes) born´ees et b(t) = Z t
0
β(s)ds. On note rle processus solution de
drt= (α(t)−β(t)rt)dt+σ(t)dBt
On suppose queσne s’annule pas.
1. V´erifier que Montrer querest uneQ2-martingale locale.
Exercice 6.3.7 Drift non observableSoitBtY =Y t+Bt o`u Y est une variable al´eatoire de loi ν, ind´ependante deB. SoitF une fonctionnelle surC([0, t],R). Montrer que
E[F(BsY, s≤t)] =E[F(Bs;s≤t)h(Bt, y)]
avech(x, t) = Z
ν(dy) exp(yx−y2
2 t) En d´eduire que, sur l’espace canonique Xt− Exercice 6.3.8 On notehune fonction.
1. Donner des conditions sur h pour que dQ = h(BT)dP d´efinisse, sur FT une probabililit´e
´equivalente `aP.
8. Montrer que le processusW d´efini par
est unQmouvement Brownien.
9. (cette question ne d´epend pas des pr´ec´edentes) SoitGt=Ft∨σ(BT). Montrer que le processus Mt=Bt−
Z t
0
BT−Bs
T−s dsest unP-Gtmouvement Brownien. Montrer queMtest ind´ependante deBT.
10. Montrer queM est unQ-Gt mouvement Brownien.
Exercice 6.3.9 Soit, pourt <1,Xt=Bt+
Exercice 6.3.10 SoitdQ|Ft =h(t, Xt)dP|Ft. Sous quelles conditions sur hQest-elle une proba-bilit´e surFT? Montrer que
Bt− Z t
0
∂xh(s, Bs)ds est uneQ-martingale?
Exercice 6.3.11 SoitLt= exp
1. Question pr´eliminaire: Calculer l’int´egraleRt
0e−2BsdBs. 2. Montrer queLest une martingale. Quelle est son esp´erance?
3. On posedQ=LtdP. Quelle est la dynamique deB sousQ?
6.4 Cas multidimensionel
Exercice 6.4.1 Cas multidimensionel. Soient (B1(t), t≥0) et (B2(t), t≥0) deux mouvements Browniens ind´ependants. Soit (Li(t), i= 1,2, t≥0) les processus d´efinis par
dLi(t) =θi(t)Li(t)dBi(t), Li(0) = 1
(b) On pose Z1(t) = MtL1(t). Calculer dZ1(t). Montrer que Z1 est une P-martingale.
Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?
3. SoitZt=L1(t)L2(t). EcriredZt. Montrer queZ est uneP-martingale.
4. SoitQla probabilit´e d´efinie surFT pardQ=ZTdP. Comment se transforment les browniens Bi ?
5. Soit (Si, i= 1,2) deux processus solutions de
dSi(t) =Si(t)[bi(t)dt+σi(t)dB1(t) +φi(t)dB2(t)]
Montrer qu’il existe une probabilit´eQ´equivalente `aPtelle que, sousQ dSi(t) =Si(t)[rdt+σi(t)dB1(t) +φi(t)dB2(t)]
o`u (Bi, i= 1,2) sont desQ-Browniens ind´ependants.
6.5 Temps d’arrˆ et.
Exercice 6.5.1 Temps d’arrˆet. Soitτ un (Ft)-temps d’arrˆet. SoitQtelle quedQ|FT =LTdP|FT
et X∈ FT. ComparerEP(LT11τ >TX) etEQ(X11τ >T).
Exercice 6.5.2 LetB be a Brownian motion and T = inf{t : eBt−t/2 > a}, wherea >1. Prove that,∀λ≥1/2,
E(11T <∞exp(λBT−λ2
2 T)) = 1 Exercice 6.5.3 Temps d’atteinte. SoitX un processus tel que
dXt=µdt+νdBt, X0= 0 o`uµetν sont des constantes telles queν >0. Soitrune constante.
1. Montrer qu’il existeθ tel que
Mtdef
= exp(−rt+θXt) soit une martingale.
2. Soitb un nombre positif etτ le temps d’arrˆet d´efini par τ = inf{t≥0|Xt=b}
CalculerE(exp(−rτ+θXτ)). On admettra que la martingaleMtest uniform´ement int´egrable et que le temps d’arrˆetτ est fini. En d´eduireE(exp(−rτ)).
3. On suppose que les conditions de la premi`ere question sont satisfaites. SoitQtelle que dQ= MtdP, surFt. Comment se transformeB?
4. SoitS le processus d´efini par
dSt=St[rdt+σdBt], S0=s etYt= lnSt
s . EcriredYt.
5. SoitB une constante telle ques < B. SoitTB le temps d’arrˆet TB= inf{t≥0|St=B}
Calculer
E(exp(−rTB)).
Exercice 6.5.4 Soit f et g deux fonctions d´eterministes, f de classe C1, g continue. On note Ft=
1. Montrer que, pour toute fonctionhcontinue, le processusLd´efini par Lt= exp
4. R´esoudre le mˆeme probl`eme par changement de temps.
5. Soit Ψ une fonction bor´elienne bon´ee deRdansR. Comment calculer K=E exp −λ
Exercice 6.5.5 Decomposition canonique Soit B un mouvement Brownien et h une fonction positive, v´erifianth(0,0) = 1 et harmonique en espace (c’est-`a-dire telle queh(t, Bt) est une martin-gale). On d´efinitQpardQ|Ft =h(t, Bt)dPFt. Montrer queBt−
6.6 Finance
Dans toute cette section,Pest la probabilit´e historique,Qla probabilit´e risque neutre.Le processus Se est le prix de l’actif sous-jacent aprs actualisation (soitSet=Ste−R0trsds. Dans un mod`ele Black et Scholes, le prix de l’actif suit
dSt=St(btdt+σdBt) sous la probabilit´eP, o`uσest une constante.
Exercice 6.6.1 Moyenne. SoitdSt=St(rdt+σdBt), S0= 1, ret σ´etant des constantes. On souhaite calculerC=EQ[(ZT−ST)+] quandZT = exp
1 T
Z T
0
lnStdt
.
1. SoitQ∗ la probabilit´e d´efinie surFT pardQ∗= exp(σBT −σ2T /2)dQ. Montrer que e−rTEQ[(ZT −ST)+] =EQ∗[(ZT
ST
−1)+].
2. Soit ˜Bt =Bt−σt. Ecrire ZT/ST sous la forme exp(αT − Z T
0
β(t)dB˜t) pour une fonctionβ que l’on pr´ecisera.
3. Montrer que le calcul deCse r´eduit au calcul deEQ(( ˜ST−K)+) pour un Brownien g´eom´etrique S˜ dont on pr´ecisera la loi.
Exercice 6.6.2 Volatilit´e stochastique On rappelle le th´eor`eme de repr´esentation pr´evisible `a deux dimensions: soit B = (B1, B2) un Brownien `a valeurs dans R2 etFB sa filtration canonique.
Toute FB-martingale de carr´e int´egrable s’´ecrit Mt =m+ Z t
0
φ1sdB1s+ Z t
0
φ2sdB2s o`u (φi, i= 1,2) sont des processus adapt´es.
Soient µetη deux fonctions d´eterministes deR+ dansRet σ, γ deux fonctions d´eterministes deR dansR. On consid`ere alors un march´e financier o`u l’actif risqu´e v´erifie
dSt=St(µ(t)dt+σ(Yt)dB1t), S0=s o`uY est un processus solution de
dYt=η(t)dt+γ(Yt)dBt2, Y0= 1
1. D´eterminer l’ensemble des probabilit´es ´equivalentes `aPtelles que, sousQ,S soit une martin-gale.
2. SoitB un actif contingentB∈ FT. Comment lui donner un prix (le taux sans risque est nul)
?
Exercice 6.6.3 Options boost. SoitM uneF-martingale `a valeurs strictement positives.
1. Justifier qu’il existeψtel quedMt=ψtdBtet qu’il existe Ψ tel quedMt= ΨtMtdBt. 2. SoitS un Brownien g´eom´etrique tel queS0=xet
dSt=St(r dt+σdBt) (6.1)
o`u r et σ sont des constantes. Montrer qu’il existe γ tel que St = x(Mt)γ o`u M est une martingale. A quel choix deret σcorrespond la valeurγ= 1?
3. SoitSun processus v´erifiant (6.1),St∗= sups≤tSsetBt∗= sups≤tBs. La loi deBt∗est connue (c’est celle de|Bt|, ce r´esultat sera admis), on notera Φ(a) =P(Bt∗≤a). Calculer, en utilisant les r´esultats de la question 3, E(11ST∗≤a) qui correspond `a la valeur d’une option boost (au coefficient exp(−rT) pr`es).
Exercice 6.6.4 Volatilit´e stochastique. Soit B1 et B2 deux Browniens ind´ependants, et Ft= σ(Bs1, Bs2, s≤t) la filtration engendr´ee par les deux Browniens. Soitµetηdeux fonctions d´eterministes born´ees deR+ dansRet σ, γ deux fonctions d´eterministes born´ees d´efinies deRdansR. On note S la solution de
dSt=St(µ(t)dt+σ(Yt)dBt1), S0=s o`uY est un processus solution de
dYt=η(t)dt+γ(Yt)dBt2, Y0= 1 1. Soitθun processus born´e etZ la solution de
dZt=ZtθtdBt1, Z0= 1 Ecrire explicitementZtsous la forme d’une exponentielle.
2. Soitλet ν deux processus adapt´es born´es etLle processus d´efini par Lt= exp
Z t
0
λsdBs1−1 2
Z t
0
(λs)2ds+ Z t
0
νsdB2s−1 2
Z t
0
(νs)2ds
(6.2) Ecrire l’EDS v´erifi´ee parL.
3. On pose ˜Bt=Bt1− Z t
0
λsds et on note ˜Z la solution dedZ˜t= ˜ZtθdB˜t1,Z˜0 = 1 o`u θ est une constante. Montrer queLZ˜ est une martingale.
4. SoitQ∗ d´efinie sur Ft par dQ∗ =LtdP. Montrer que ˜Z est une Q∗ martingale. En d´eduire que ˜B1 est unQ∗ brownien.
5. Montrer que ˜Bt2=Bt2− Z t
0
νsdsest unQ∗brownien.
6. On admet que siQest une mesure ´equivalente `a P il existeλ, ν tels que la densit´e de Qpar rapport `aP soit de la forme (6.2). D´ecrire l’ensemble des couples λ, ν correspondants `a des probabilit´esQtelles que (Ste−rt, t≥0) soit uneQ-martingale.
7. Le march´e financier est-il complet ?
8. Soit X un actif contingent duplicable, c’est-`a-dire tel qu’il existe V processus adapt´e de la forme
dVt=rVtdt+φt(dSt−rStdt)
v´erifiant VT = X, avec φ processus adapt´e born´e. (On ne demande pas de justifier cette d´efinition)
(a) Montrer que (Vte−rt, t≥0) est uneQmartingale pour tout Q∈ Q.
(b) On suppose que Vt=v(t, St, Yt). Montrer quev v´erifie une ´equation aux d´eriv´ees par-tielles que l’on explicitera.
Exercice 6.6.5 Sym´etrie put-call. SoitM une (Ft)-martingale telle quedMt=MtσdBt o`u σ est une constante etM0= 1.
1. V´erifier queM est `a valeurs strictement positives.
2. CalculerdYtquandYt= (Mt)−1.
3. SoitQ∗ telle quedQ∗=MtdPsurFt. D´eterminer la loi deY sousQ∗. 4. Montrer queEP((MT −K)+) =KEP((K−1−MT)+).
Exercice 6.6.6 Sym´etries
On suppose que le prix d’un actif, sous la probabilit´e risque neutreQest donn´e par dSt=St([r−q]dt+σdBt), S0=x
o`uqest le taux de dividendes. On noteC(x, K, r, q) (ou C(x, K, r, q, σ) si besoin est) le prix d’une option d’achat europ´eenne de prix d’exerciceK, soit
C(x, K, r, q) =EQ(e−rT(ST −K)+)
2. Montrer, au vu des formules pr´ec´edentes que DeltaC(x, K, r, q) =e−qTN
o`u DeltaC est le Delta du call.
3. Montrer, au vu des formules (6.3) et de la question (a) que
C(x, K, r, q) =C∗(Ke−µT, x) =P∗(xe−µT, K) =P(K, x, q, r) (6.4) o`uµ=r−qetP le prix d’un put. Commenter.
Exercice 6.6.7 Options power. Soit
dSt=St((r−δ)dt+σdBt), S0=x .
Cette dynamique mod´elise, sous la probabilit´e risque-neutre Q, le prix d’un actif versant des divi-dendes au tauxδ le taux spot ´etantr.
1. Calculer
3. On repasse au cas g´en´eral. Montrer queSa est une martingale pour une valeur dea que l’on pr´ecisera. Montrer que, pour toute fonctionf bor´elienne born´ee
EQ(f(ST)) = 1
xaEQ(STaf(x2 ST)) 4. On se place dans le cas
h(x) =xβ(x−K)+
Montrer que h(ST) s’´ecrit comme diff´erence de deux payoffs correspondants `a des options d’achat Europ´eennes portant surSβ+1et sur Sβ avec des strikes que l’on d´eterminera.
Exercice 6.6.8 Option d’´echangeSoitdSt(i)=St(i)(bidt+σidB(i)t , i= 1,2 o`u les coefficients sont constants, les browniensB(i)´etant correlles. Calculer la valeur d’une option d’´echange dont le payoff
Exercice 6.6.8 Option d’´echangeSoitdSt(i)=St(i)(bidt+σidB(i)t , i= 1,2 o`u les coefficients sont constants, les browniensB(i)´etant correlles. Calculer la valeur d’une option d’´echange dont le payoff