Examen Calcul Stochastique. Mars 2009 Sans documents

M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2008-2009 M. Jeanblanc

Examen Calcul Stochastique. Mars 2009 Sans documents

Rappels:

• Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, sur lequel est contruit un mouvement BrownienW. Dans un march´e financier, comportant un actif sans risque, de tauxr constant et un actif risqu´e de dynamique

dSt=St(µdt+σdWt),

l’unique probabilit´eQtelle que (Set=Ste^−rt, t≥0) soit uneQ-martingale est donn´ee par dQ|F_t =ζtdP|F_t,

avec

dζt=−ζtθdWt, ζ0= 1 (1)

et θ = (µ−r)σ⁻¹. Cette probabilit´e est la mesure martingale ´equivalente. On notera F = (Ft, t≥0) la filtration naturelle deW (qui est aussi celle deS). Dans ce mod`ele, que l’on appelle mod`ele Black et Scholes, le prix `a la datet d’une option europ´eenne de strike K et maturit´e T estBS(t, St;σ) avec

BS(t, x;σ) =xN(d1)−Ke^−r(T−t)N(d2) avec

d1= 1 σ√

T−t

ln x

Ke^−r(T−t)

+1 2σ√

T−t, d2=d1−σ√ T−t

• Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, sur lequel sont contruits deux mouvements Browniens ind´ependantsB etW de filtration naturelleF. Alors, touteFmartingaleM strictement positive s’´ecrit

dMt=Mt(ϕtdBt+γtdWt) (2) o`uϕet γsont deux processus F-adapt´es.

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1. On consid`ere un mod`ele Black et Scholes. On utilise les notations des rappels.

(a) Expliciterζtdonn´e en (1).

(b) Quelle est la dynamique deSesousPet sousQ?

(c) Calculer, pour tout couple (s, t)EP(St|Fs) etEQ(St|Fs).

(d) On noteYt=R_t

0Sudu.

• Quel est le prix, `a la date tdu payoffY_T (vers´e enT)?

• Expliciter la strat´egie de couverture deYT

• On consid`ere le payoffh(YT, ST), vers´e enT, o`uhest une fonction bor´elienne (born´ee) – Montrer que le prix `a la datetdeh(YT, ST) s’´ecritϕ(t, Yt, St) et montrer comment

obtenirϕ(t, y, x) par un calcul d’esp´erance (non conditionnelle) – Quelle est l’EDP satisfaite parϕ?

– D´eterminer la strat´egie de couverture associ´ee.

(e) On consid`erec etπdeux processus adapt´es etX^π,c la solution de dXt=rXtdt+πt(dSt−rStdt)−ctdt, X0=x

• Montrer que (e^−rtX_t+R_t

0e^−rsc_sds, t≥0) est uneQ-martingale.

1

• Montrer que, pourt < T,

Xte^−rt = EQ(XTe^−rT + Z _T

t

e^−rscsds|Ft)

Xte^−rtζt = EP(XTe^−rTζT + Z _T

t

ζse^−rscsds|Ft)

• Soitψetϑdeux processus adapt´es. On souhaite que les relationsπt=ψtXtetct=ϑtXt

soient satisfaites. Quelle sera dans ce cas la solution X_t^π,c (l’expliciter en terme des processus ψ, ϑ, W)?.

• On admet que le processusX repr´esente la richesse d’un agent financier investissantπ sur l’actif risqu´e et consommant ctdtdurant l’intervalle de tempst, t+dt. Montrer, en utilisant cette interpr´etation que pour obtenir une richesse terminale (en T) positive et avoir une consommation positive, l’agent doit avoir une richesse initiale positive et que sa richesse sera positive `a chaque instantt.

2. On consid`ere un march´e financier o`u sont n´egoci´es un actif sans risque de prix S_t⁰, de taux d´eterministe (r(t), t≥0), soit

dS_t⁰=S⁰_tr(t)dt, S₀⁰= 1 et un actif de prix de dynamique

dSt=St(µdt+ Σ(t)dBt) (3)

o`u Σ est une fonction d´eterministe.

(a) Quelle est la solution de (3)?

(b) Quelle est, dans ce mod`ele o`u le taux n’est pas constant, la d´efinition d’une m.m.e.? D´eterminer la m.m.e. Q. Quelle est la dynamique deS sousQ?

(c) Soit Φ(t, St,Σ) le prix d’une option europ´eenne de strikeK sur le sous jacent S. Montrer que Φ s’exprime facilement en fonction deBS(t, S_t;σ) et de Σ.

3. On consid`ere un march´e financier o`u sont n´egoci´es un actif sans risque de prix S_t⁰, de taux d´eterministe (r(t), t≥0) et un actif risqu´e de prix de dynamique

dSt=St(µdt+σtdWt) o`u

dσt=σt(αdt+βdBt)

avecµ, αet β constants,B ´etant un mouvement Brownien ind´ependant deW.

(a) Quelle est la solution de (2) dans le casM0= 1, ϕ= 0? Quelle est la solution de (2) dans le casM0= 1?

(b) D´eterminer l’ensembleQdes mesures martingales ´equivalentes (seulsS⁰etS sont des prix).

Montrer en particulier que Qest d´ecrit en fonction d’un processusγarbitraire.

(c) SoitQ∈ Q. Pr´eciser quelle est la dynamique deS et celle deσsousQ.

(d) Le march´e est-il sans arbitrage? complet? Peut on couvrirR_T

0 Sudu?

(e) SoitQ∈ Q. CalculerEQ(ST). Montrer que le calcul deEQ((ST−K)⁺) peut se faire `a partir de la fonction BS.

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