1. Question pr´eliminaire: Calculer l’int´egraleRt
0e−2BsdBs. 2. Montrer queLest une martingale. Quelle est son esp´erance?
3. On posedQ=LtdP. Quelle est la dynamique deB sousQ?
6.4 Cas multidimensionel
Exercice 6.4.1 Cas multidimensionel. Soient (B1(t), t≥0) et (B2(t), t≥0) deux mouvements Browniens ind´ependants. Soit (Li(t), i= 1,2, t≥0) les processus d´efinis par
dLi(t) =θi(t)Li(t)dBi(t), Li(0) = 1
(b) On pose Z1(t) = MtL1(t). Calculer dZ1(t). Montrer que Z1 est une P-martingale.
Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ?
3. SoitZt=L1(t)L2(t). EcriredZt. Montrer queZ est uneP-martingale.
4. SoitQla probabilit´e d´efinie surFT pardQ=ZTdP. Comment se transforment les browniens Bi ?
5. Soit (Si, i= 1,2) deux processus solutions de
dSi(t) =Si(t)[bi(t)dt+σi(t)dB1(t) +φi(t)dB2(t)]
Montrer qu’il existe une probabilit´eQ´equivalente `aPtelle que, sousQ dSi(t) =Si(t)[rdt+σi(t)dB1(t) +φi(t)dB2(t)]
o`u (Bi, i= 1,2) sont desQ-Browniens ind´ependants.
6.5 Temps d’arrˆ et.
Exercice 6.5.1 Temps d’arrˆet. Soitτ un (Ft)-temps d’arrˆet. SoitQtelle quedQ|FT =LTdP|FT
et X∈ FT. ComparerEP(LT11τ >TX) etEQ(X11τ >T).
Exercice 6.5.2 LetB be a Brownian motion and T = inf{t : eBt−t/2 > a}, wherea >1. Prove that,∀λ≥1/2,
E(11T <∞exp(λBT−λ2
2 T)) = 1 Exercice 6.5.3 Temps d’atteinte. SoitX un processus tel que
dXt=µdt+νdBt, X0= 0 o`uµetν sont des constantes telles queν >0. Soitrune constante.
1. Montrer qu’il existeθ tel que
Mtdef
= exp(−rt+θXt) soit une martingale.
2. Soitb un nombre positif etτ le temps d’arrˆet d´efini par τ = inf{t≥0|Xt=b}
CalculerE(exp(−rτ+θXτ)). On admettra que la martingaleMtest uniform´ement int´egrable et que le temps d’arrˆetτ est fini. En d´eduireE(exp(−rτ)).
3. On suppose que les conditions de la premi`ere question sont satisfaites. SoitQtelle que dQ= MtdP, surFt. Comment se transformeB?
4. SoitS le processus d´efini par
dSt=St[rdt+σdBt], S0=s etYt= lnSt
s . EcriredYt.
5. SoitB une constante telle ques < B. SoitTB le temps d’arrˆet TB= inf{t≥0|St=B}
Calculer
E(exp(−rTB)).
Exercice 6.5.4 Soit f et g deux fonctions d´eterministes, f de classe C1, g continue. On note Ft=
1. Montrer que, pour toute fonctionhcontinue, le processusLd´efini par Lt= exp
4. R´esoudre le mˆeme probl`eme par changement de temps.
5. Soit Ψ une fonction bor´elienne bon´ee deRdansR. Comment calculer K=E exp −λ
Exercice 6.5.5 Decomposition canonique Soit B un mouvement Brownien et h une fonction positive, v´erifianth(0,0) = 1 et harmonique en espace (c’est-`a-dire telle queh(t, Bt) est une martin-gale). On d´efinitQpardQ|Ft =h(t, Bt)dPFt. Montrer queBt−
6.6 Finance
Dans toute cette section,Pest la probabilit´e historique,Qla probabilit´e risque neutre.Le processus Se est le prix de l’actif sous-jacent aprs actualisation (soitSet=Ste−R0trsds. Dans un mod`ele Black et Scholes, le prix de l’actif suit
dSt=St(btdt+σdBt) sous la probabilit´eP, o`uσest une constante.
Exercice 6.6.1 Moyenne. SoitdSt=St(rdt+σdBt), S0= 1, ret σ´etant des constantes. On souhaite calculerC=EQ[(ZT−ST)+] quandZT = exp
1 T
Z T
0
lnStdt
.
1. SoitQ∗ la probabilit´e d´efinie surFT pardQ∗= exp(σBT −σ2T /2)dQ. Montrer que e−rTEQ[(ZT −ST)+] =EQ∗[(ZT
ST
−1)+].
2. Soit ˜Bt =Bt−σt. Ecrire ZT/ST sous la forme exp(αT − Z T
0
β(t)dB˜t) pour une fonctionβ que l’on pr´ecisera.
3. Montrer que le calcul deCse r´eduit au calcul deEQ(( ˜ST−K)+) pour un Brownien g´eom´etrique S˜ dont on pr´ecisera la loi.
Exercice 6.6.2 Volatilit´e stochastique On rappelle le th´eor`eme de repr´esentation pr´evisible `a deux dimensions: soit B = (B1, B2) un Brownien `a valeurs dans R2 etFB sa filtration canonique.
Toute FB-martingale de carr´e int´egrable s’´ecrit Mt =m+ Z t
0
φ1sdB1s+ Z t
0
φ2sdB2s o`u (φi, i= 1,2) sont des processus adapt´es.
Soient µetη deux fonctions d´eterministes deR+ dansRet σ, γ deux fonctions d´eterministes deR dansR. On consid`ere alors un march´e financier o`u l’actif risqu´e v´erifie
dSt=St(µ(t)dt+σ(Yt)dB1t), S0=s o`uY est un processus solution de
dYt=η(t)dt+γ(Yt)dBt2, Y0= 1
1. D´eterminer l’ensemble des probabilit´es ´equivalentes `aPtelles que, sousQ,S soit une martin-gale.
2. SoitB un actif contingentB∈ FT. Comment lui donner un prix (le taux sans risque est nul)
?
Exercice 6.6.3 Options boost. SoitM uneF-martingale `a valeurs strictement positives.
1. Justifier qu’il existeψtel quedMt=ψtdBtet qu’il existe Ψ tel quedMt= ΨtMtdBt. 2. SoitS un Brownien g´eom´etrique tel queS0=xet
dSt=St(r dt+σdBt) (6.1)
o`u r et σ sont des constantes. Montrer qu’il existe γ tel que St = x(Mt)γ o`u M est une martingale. A quel choix deret σcorrespond la valeurγ= 1?
3. SoitSun processus v´erifiant (6.1),St∗= sups≤tSsetBt∗= sups≤tBs. La loi deBt∗est connue (c’est celle de|Bt|, ce r´esultat sera admis), on notera Φ(a) =P(Bt∗≤a). Calculer, en utilisant les r´esultats de la question 3, E(11ST∗≤a) qui correspond `a la valeur d’une option boost (au coefficient exp(−rT) pr`es).
Exercice 6.6.4 Volatilit´e stochastique. Soit B1 et B2 deux Browniens ind´ependants, et Ft= σ(Bs1, Bs2, s≤t) la filtration engendr´ee par les deux Browniens. Soitµetηdeux fonctions d´eterministes born´ees deR+ dansRet σ, γ deux fonctions d´eterministes born´ees d´efinies deRdansR. On note S la solution de
dSt=St(µ(t)dt+σ(Yt)dBt1), S0=s o`uY est un processus solution de
dYt=η(t)dt+γ(Yt)dBt2, Y0= 1 1. Soitθun processus born´e etZ la solution de
dZt=ZtθtdBt1, Z0= 1 Ecrire explicitementZtsous la forme d’une exponentielle.
2. Soitλet ν deux processus adapt´es born´es etLle processus d´efini par Lt= exp
Z t
0
λsdBs1−1 2
Z t
0
(λs)2ds+ Z t
0
νsdB2s−1 2
Z t
0
(νs)2ds
(6.2) Ecrire l’EDS v´erifi´ee parL.
3. On pose ˜Bt=Bt1− Z t
0
λsds et on note ˜Z la solution dedZ˜t= ˜ZtθdB˜t1,Z˜0 = 1 o`u θ est une constante. Montrer queLZ˜ est une martingale.
4. SoitQ∗ d´efinie sur Ft par dQ∗ =LtdP. Montrer que ˜Z est une Q∗ martingale. En d´eduire que ˜B1 est unQ∗ brownien.
5. Montrer que ˜Bt2=Bt2− Z t
0
νsdsest unQ∗brownien.
6. On admet que siQest une mesure ´equivalente `a P il existeλ, ν tels que la densit´e de Qpar rapport `aP soit de la forme (6.2). D´ecrire l’ensemble des couples λ, ν correspondants `a des probabilit´esQtelles que (Ste−rt, t≥0) soit uneQ-martingale.
7. Le march´e financier est-il complet ?
8. Soit X un actif contingent duplicable, c’est-`a-dire tel qu’il existe V processus adapt´e de la forme
dVt=rVtdt+φt(dSt−rStdt)
v´erifiant VT = X, avec φ processus adapt´e born´e. (On ne demande pas de justifier cette d´efinition)
(a) Montrer que (Vte−rt, t≥0) est uneQmartingale pour tout Q∈ Q.
(b) On suppose que Vt=v(t, St, Yt). Montrer quev v´erifie une ´equation aux d´eriv´ees par-tielles que l’on explicitera.
Exercice 6.6.5 Sym´etrie put-call. SoitM une (Ft)-martingale telle quedMt=MtσdBt o`u σ est une constante etM0= 1.
1. V´erifier queM est `a valeurs strictement positives.
2. CalculerdYtquandYt= (Mt)−1.
3. SoitQ∗ telle quedQ∗=MtdPsurFt. D´eterminer la loi deY sousQ∗. 4. Montrer queEP((MT −K)+) =KEP((K−1−MT)+).
Exercice 6.6.6 Sym´etries
On suppose que le prix d’un actif, sous la probabilit´e risque neutreQest donn´e par dSt=St([r−q]dt+σdBt), S0=x
o`uqest le taux de dividendes. On noteC(x, K, r, q) (ou C(x, K, r, q, σ) si besoin est) le prix d’une option d’achat europ´eenne de prix d’exerciceK, soit
C(x, K, r, q) =EQ(e−rT(ST −K)+)
2. Montrer, au vu des formules pr´ec´edentes que DeltaC(x, K, r, q) =e−qTN
o`u DeltaC est le Delta du call.
3. Montrer, au vu des formules (6.3) et de la question (a) que
C(x, K, r, q) =C∗(Ke−µT, x) =P∗(xe−µT, K) =P(K, x, q, r) (6.4) o`uµ=r−qetP le prix d’un put. Commenter.
Exercice 6.6.7 Options power. Soit
dSt=St((r−δ)dt+σdBt), S0=x .
Cette dynamique mod´elise, sous la probabilit´e risque-neutre Q, le prix d’un actif versant des divi-dendes au tauxδ le taux spot ´etantr.
1. Calculer
3. On repasse au cas g´en´eral. Montrer queSa est une martingale pour une valeur dea que l’on pr´ecisera. Montrer que, pour toute fonctionf bor´elienne born´ee
EQ(f(ST)) = 1
xaEQ(STaf(x2 ST)) 4. On se place dans le cas
h(x) =xβ(x−K)+
Montrer que h(ST) s’´ecrit comme diff´erence de deux payoffs correspondants `a des options d’achat Europ´eennes portant surSβ+1et sur Sβ avec des strikes que l’on d´eterminera.
Exercice 6.6.8 Option d’´echangeSoitdSt(i)=St(i)(bidt+σidB(i)t , i= 1,2 o`u les coefficients sont constants, les browniensB(i)´etant correlles. Calculer la valeur d’une option d’´echange dont le payoff est (ST(1)−ST(2))+.
Exercice 6.6.9 Taux de change On consid`ere deux pays. Les quantit´es relatives au pays do-mestique seront index´ees pard, les quantit´es relatives `a l’autre pays par f. Chaque pays poss`ede un taux sans risque not´e respectivementrd et rf. Les march´es des deux pays sont dirig´es par un mouvement BrownienB. Sous la probabilit´eP, un actifS suit la dynamique
dSt=St(µtdt+σtSdBt)
On suppose que chacun des deux march´es est sans arbitrage : il existe une probabilit´e risque neutre domestique not´ee Qd ´equivalente `a P telle que sous Qd le processus (e−rdtStd, t ≥ 0) est une Qd martingale.
1. Montrer que tout actif domestiqueSda une dynamique de la forme dStd=Std(rddt+σtdBdt)
o`u Bd est unQd mouvement Brownien. On notera λd la prime de risque d´efinie par dBtd = dBt+λdtdt. Le taux de change entre ces pays estX dirig´e par
dXt=Xt[(rd−rf)dt+σtXdBtd]
SiSf est un prix en unit´es mon´etaires du pays ´etranger,SfX est le prix du mˆeme produit en unit´es mon´etaires domestiques.
2. SoitSf un actif ´etranger de dynaique
dStf =Sft(rftdt+σtdBtf) Montrer que
λft −λdt =−σXt Btd−Btf =
Z t
0
σsXds 3. Quelle est la dynamique du taux de change inverseY = 1/X ?
4. On souhaite valoriser une option quanto, c’est `a dire une option sur produit ´etranger faisant intervenir le taux de change. Comment ´evaluer en monnaie domestique un flux ´etranger de (SfT−K)+? Comment ´evaluer une option d’achat sur action ´etrang`ere avec strike en monnaie domestique ?
Exercice 6.6.10 Richesse (Cox-Huang, Karatzas)Un agent financier souhaite investir sur un march´e sur lequel deux actifs sont n´egociables:
Un actif sans risque de dynamiquedS0(t) =S0(t)r(t)dto`urest d´eterministe,
Un actif risqu´e dont le prix a pour dynamiquedS1(t) =S1(t)(b(t)dt+σ(t)dBt). On suppose queσne s’annule pas.
La richesse X de cet agent a pour dynamique
dXt=Xtr(t)dt+πt[b(t)−r(t)]dt+σ(t)πtdBt
o`uπest un processusFadapt´e repr´esentant la proportion de la richesse investie dans l’actif risqu´e.
1. Montrer qu’il existe une probabilit´eQtelle quedS1(t) =S1(t)(r(t)dt+σ(t)dBet) o`uBe est un Q-mouvement Brownien.
2. Montrer que (R(t)Xt, t≥0) est uneQ-martingale locale, avecR(t) = exp− Z t
0
r(s)ds 3. Soit θ(t) = b(t)−r(t)
σ(t) et H solution de l’´equation dHt = −Ht(r(t)dt+θ(t)dBt), H0 = 1.
Montrer que le processus (HtXt, t≥0) est uneP-martingale locale.
4. On suppose que (HtXt, t ≥0) est uneP-martingale pour tout choix de π. L’agent souhaite obtenir une richesse terminale ´egale `a ζ, v.a. FT mesurable (i.e. XT = ζ). Montrer que sa richesse initiale X0 est alors d´etermin´ee, et que son portefeuille de couverture (i.e. π)
´egalement.
Exercice 6.6.11 Optimisation de richesseSur le march´e financier on trouve un actif risqu´e et un actif sans risque. Soit (St, t≥0) le prix de l’actif risqu´e. On suppose quedSt=St(µtdt+σdBt) . L’actif sans risque v´erifie
dS0(t) =S0(t)rtdt .
Les processusµt, rt sontFt-adapt´es born´es,σest une constante non nulle.
1. Montrer queStexp
− Z t
0
µsds
est uneP-martingale.
2. On poseθt=µt−rt
σ .
D´eterminerQtelle que, sousQle processus ˜Bt=Bt+ Z t
0
θsdssoit un mouvement Brownien.
Ecrire l’´equation v´erifi´ee parSten utilisant ˜Bt.
3. Un agent de richesse initialexinvestit sa richesseXtsuivant l’actif sans risque et l’actif risqu´e de prixStsuivantXt=n0(t)S0(t) +n1(t)St. On suppose quedXt=n0(t)dS0(t) +n1(t)dSt.
(a) Montrer quedXt=rtXtdt+n1(t)(dSt−Strtdt).
(b) On note πt=n1(t)Stet Rt= exp− Z t
0
rsds.
Ecrire dXten fonction deπt, rt,et Bt.
(c) Montrer que, sousQ, le processusXtRtest une martingale.
(d) Soitζ=XT. EcrireXt sous forme d’une esp´erance conditionnelle faisant intervenirζ et le processus r.
4. On se donne un processus (ct, t≥0) `a valeurs positives adapt´e et un processus (πt, t≥0) de carr´e int´egrableFt- adapt´e.
Soit (Xt, t≥0) un processus tel que
dXt=rtXtdt+πt(dBt+θtdt)−ctdt . (6.5)
(a) Montrer que, sousQ, le processusXtRt+ Z t
0
Rscsdsest une martingale. En d´eduire que XtRt=EQ(XTRT +
Z T
t
Rscsds|Ft).
(b) Ecrire cette relation sousP.
(c) Montrer que si l’on impose la conditionXT ≥0, il existe une solution de (6.5) positive, v´erifiant cette condition.
Exercice 6.6.12 Soit Xt = µt+σBt. On note Ta = inf{t|Xt = a}. Trouver une probabilit´e Q telle que sous Q, ( ˜Bt =Xt/σ , t≥0) soit un mouvement Brownien. Exprimer Ta en utilisant ˜Bt. CalculerEP(exp−λTa).
Exercice 6.6.13 Montrer que le prix d’une option Asiatique dont le strike est le sous jacent est le prix d’un call sur un sous jacent de dynamiquedZt = (1−rZt)dt−ZtσdBt. Comment faire le calcul?
Exercice 6.6.14 On consid`ere un mod`ele Black et Scholes. Calculer, pour tout couple (s, t) EP(St|Fs) etEQ(St|Fs).
On noteYt=Rt
0Sudu.
• Quel est le prix, `a la datet du payoffYT (vers´e en T)?
• Expliciter la strat´egie de couverture deYT
• On consid`ere le payoffh(YT, ST), vers´e en T, o`uhest une fonction bor´elienne (born´ee) – Montrer que le prix `a la datetdeh(YT, ST) s’´ecritϕ(t, Yt, St) et montrer comment obtenir
ϕ(t, y, x) par un calcul d’esp´erance (non conditionnelle) – Quelle est l’EDP satisfaite parϕ?
– D´eterminer la strat´egie de couverture associ´ee.
Exercice 6.6.15 Zero-couponsSoitdYt=h(t)dt+dBtetrt=σ(t)Yto`uhetσsont des fonctions de classeC1. On souhaite calculerE
1. SoitH une fonction de classeC2 et Zt= exp
Z t
0
H(s)p
XsdBs−1 2
Z t
0
H2(s)Xsds
On admet queZ est une martingale. Montrer que
Zt= exp 1
2
H(t)Xt−δ Z t
0
H(s)ds− Z t
0
H0(s)Xsds− Z t
0
H2(s)Xsds
e− 1
2H(0)X0
2. Montrer que
E exp
"
− Z T
0
rsds
#!
=
exp
"
1
2(−β(0)X0−δ Z T
0
β(s)ds)
#
E exp
"
1
2 β(T)XT− Z T
0
Xs(β2(s) +β0(s) + 2σ(s))ds#!
3. Comment calculer cette derni`ere expression?
Exercice 6.6.17 On se place dans le cas o`uSt=e2(Bt+νt) Montrer que S est une sousmartingale pourν+1≥0 et une surmartingale sinon. En d´eduire que le prix d’une option asiatique est plus petit que le prix d’une option plain vanilla. Montrer par une minoration simple queE(1
T Z T
0
exp(2(Bs+ νs))ds)≥E(e2(BT+νT))
Chapter 7
Compl´ ements
Dans tout ce chapitre,B est un mouvement Brownien dont la filtration est not´ee F.
7.1 Th´ eor` eme de L´ evy.
Exercice 7.1.1 L´evy’s theorem. Let D= sup
0≤s≤t≤1(Bs−Bt), D1=Bθ− inf
θ≤t≤1Bt, D2= sup
0≤t≤σBt−Bσ
whereθ (resp. σ) is the time of the absolute maximum (resp. minimum) of the Brownian motion over [0,1], (i.e., ).
1. Prove thatDloi= sup0≤t≤1|Bt|.
2. En d´eduire la loi deD.
3. Prove thatD1loi
= supg≤t≤1|Bt|whereg= sup{t≤1 : Bt= 0}.
Exercice 7.1.2 On noteB∗le processusBt∗= sups≤tBs.
1. Justifier rapidement (en se basant sur des r´esultats classiques) queP(B∗t > a) = 2P(Bt> a) poura >0. Cette ´egalit´e est-elle v´erifi´ee ´egalement poura≤0?
2. Soits < t. Montrer que P( sup
s≤u≤t
Bu>0, Bs<0) = 2P(Bt>0, Bs<0)
3. Calculer explicitement cette quantit´e.
4. On notegt= sup{s≤t : Bs= 0}. Calculer la loi degt.
Exercice 7.1.3 On note Bt∗ = sup0≤s≤tBset θ= sup{t≤1 : Bt=Bt∗}. On souhaite calculer la loi deθ.
1. Ecrire{θ≤t} en utilisant les variablesBt∗ et supt≤s≤1Bs
2. Ecrire{θ≤t} en utilisantBt∗et supt≤s≤1(Bs−Bs) 75
3. Quelle est la loi de supt≤s≤1(Bs−Bs) conditionnelle `aFt? 4. En d´eduire queP(θ≤t|Ft) = Φ(B∗t−Bt) o`u Φ(x) =P(B∗1−t< x) 5. Calculer Φ(x).
6. On admet queBt∗−Bt a mˆeme loi queBt. Comment obtenir la loi deθ?