SoitM une martingale continue de carr´e int´egrable. On admet qu’il existe un processus croissant Atel queMt2−Atest une martingale. On noteAt=hM, Mit=hMitce processus que l’on appelle le crochet deM.
Exercice 3.6.1 Calcul de crochets.
1. CalculerhMipourM =B.
2. CalculerhMipourMt= Z t
0
σsdBs
Exercice 3.6.2 Crochet de martingales. SoitM etN deux martingales. On pose, par analogie avec 2ab= (a+b)2−a2−b2
2hM, Ni=hM +N, M+Ni − hM, Mi − hN, Ni Montrer queM N− hM, Niest une martingale.
Exercice 3.6.3 Utilisation de crochets. Ecrire la formule d’Itˆo en utilisant le crochet.
3.7 Finance
Nous consid´erons un march´e financier comportant un actif sans risque de dynamique dSt0=S0trtdt
o`u r est un processus F-adapt´e (tr`es souvent, une fonction d´eterministe ou une constante) et des actifs risqu´es dont les prix sont donn´es par des processus d’Itˆo, sous une probabilit´ePdite historique.
SiSest un prix, la quantit´eS(S0)−1est le prix actualis´e. Une mesure martingale ´equivalente est une mesure de probabilit´eQ, ´equivalente `a la probabilit´e historique Ptelle que les prix actualis´es sont des martingales (locales). Un march´e est sans arbitrage s’il existe au moins une mesure martingale
´equivalente, complet si cette mme est unique. Dans le cas d’un march´e complet sans arbitrage le prix d’un actif contigentH (une variable al´eatoire) est
Vt=EQ(HSt0/ST0|Ft)
Un portefeuille est un couple (α, β) de processus adapt´es et la valeur du portefeuille est le processus (Vt, t≥0)
Vt=αtSt0+βtSt. Le portefeuille est dit autofinan¸cant si
dVt=αtdSt0+βtdSt. Voir Poncet et Portait pour de plus amples explications.
Exercice 3.7.1
On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es: un actif sans risque, de taux constant r, un actif risqu´e dont le prix S suit la dynamique
dSt=St(µ(t)dt+σ(t)dBt) les coefficientsµet σ´etant des fonctions d´eterministes.
1. Ecrire la valeur deSten fonction deS0, des fonctionsµ, σ, et du MBB.
2. D´eterminer le(s) mesure(s) martingale(s) ´equivalente(s).
3. Justifier que ce march´e est complet, sans arbitrage. On noteraQla mme.
4. Quelle est la dynamique deSesousPet sousQ?
5. Calculer, pour tout couple (s, t)EP(St|Fs) etEQ(St|Fs).
6. On consid`ere l’actif contingent versanth(ST) `a la dateT, o`uhest une fonction (d´eterministe).
(a) Quel est le prix de cet actif `a la datet? Montrer que ce prix peut ˆetre obtenu sous forme d’une int´egrale d´terministe.
(b) Ecrire l’EDP d’´evaluation.
(c) Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer en particulier comment d´eterminer le nombre de parts d’actifs S et le montant de cash (on ne demande pas de calcul explicite)
(d) Quels seraient les modifications `a apporter sirest une fonction d´eterministe? un proces-sus?
7. On se place dans le cash(x) =x2. Expliciter le prix `a la datetet le portefeuille de couverture.
Mˆeme question pourh(x) =ax+b o`uaet bsont des constantes.
Exercice 3.7.2 Portefeuille auto-financant
1. Quelle serait la richesse d’un agent qui d´etiendrait `a chaque instant t, un nombre de parts d’actif risqu´e ´egal `at, en utilisant une strat´egie autofinan¸cante
2. Quelle serait la richesse terminale (`a l’instantT) d’un agent de richesse initialexqui souhaite avoir un montant de cash ´egal `a (T−t)x`a chaque instantt en utilisant une strat´egie autofi-nan¸cante (on donnera le r´esultat sous forme d’un int´egrale stochastique dont tous les coefficients sont explicites)
Exercice 3.7.3 AutofinancementCet exercice important montre que la d´efinition de l’autofinancement est invariante par changement de nbum´eraire. Question pr´eliminaire: SoitX et Y deux processus d’Itˆo continus (on ne pr´ecisera pas leur dynamique, c’est inutile pour ce qui suit). Rappeler la formule d’int´egration par parties pourd(XY). En d´eduire que
Xtd( 1 Xt) + 1
XtdXt+dhX, 1 Xit= 0.
On consid`ere un march´e comportant deux actifs dont les prix sont des processus d’ItˆoS1et S2tels queS1 est strictement positif. Un portefeuille de valeur Vt=π1tSt1+π2tSt2 est autofinancant si
dVt=πt1dSt1+π2tdSt2.
On choisit comme num´eraire le premier actif et on noteVet=Vt/S1t,Set2=St2/St1, d’o`u Vet=Vt/S1t =π1t+π2tSet2.
Le but de cet exercice est de montrer que la notion d’autofinancement ne d´epend pas du choix de num´eraire, c’est-`a-dire que
dVt=π1tdSt1+πt2dSt2 (3.4) implique
dVet=π2tdSet2. (3.5)
1. CalculerdhV, 1
S(1)iten fonction dedhS(1), 1
S(1)itetdhS(2), 1 S(1)it
2. Montrer quedVt1=π2t St(2)d 1 St(1) + 1
St(1)dSt(2)+dhS(2), 1 S(1)it
!
3. Montrer quedVt1=π2td St(2) St(1)
! .
Exercice 3.7.4 Dans un march´e incomplet, il existe des actifs contingents duplicables. En partic-ulier, montrer que
Z T
0
(aSs+b)dsest duplicable lorsqueS est un processus d’Itˆo.
Exercice 3.7.5 Equation d’´evaluation. SoitdSt=rStdt+Stσ(t, St)dBt, o`urest une constante.
1. Montrer queE(Φ(ST)|Ft) est une martingale pour toute fonction Φ bor´elienne born´ee.
2. Justifier queE(Φ(ST)|Ft) =E(Φ(ST)|St)
3. Soitϕ(t, x) la fonction d´efinie parϕ(t, St) =E(Φ(ST)|St). EcriredZtavecZt=ϕ(t, St).
4. En utilisant queϕ(t, St) est une martingale, et en admettant queϕestC1,2, montrer que pour toutt >0 et tout x >0:
∂ϕ
∂t(t, x) +rx∂ϕ
∂x(t, x) +1
2σ2(t, x)x2∂2ϕ
∂x2(t, x) = 0. Quelle est la valeur deϕ(T, x)?
Exercice 3.7.6 Options Europ´eennes et Am´ericaines. On rappelle l’in´egalit´e de Jensen : si Φ est une fonction convexe etG une tribu,E(Φ(X)|G)≥Φ(E(X|G)).
On admettra que siτ est un temps d’arrˆet born´e par T etZ une sous-martingale,E(ZT)≥E(Zτ).
On note dSt = St(rdt+σtdBt) le prix d’un actif o`u σ est un processus adapt´e born´e. Soit C = E(e−rT(ST −K)+) le prix d’un call Europ´een et CAm = supτE(e−rτ(Sτ −K)+) le prix d’un call Am´ericain, le sup ´etant pris sur tous les temps d’arrˆet `a valeurs dans [0, T]. On note P = E(e−rT(KerT −ST)+) etPAm= supτE(e−rτ(Kerτ−Sτ)+) les prix de puts `a strike actualis´es.
1. Montrer que (e−rtSt−K)+ est une sous-martingale.
2. Soitg une fonction convexe de classeC2 telle queg(0) = 0. Montrer que
∀x,∀α≥1, g(x)≤ 1 αg(αx) En d´eduire que
E(e−rug(Su)|Ft)≤E(e−rTg(ST)|Ft) pour toutt < u≤T. Montrer queC=CAm.
3. Montrer queP=PAm.
Exercice 3.7.7 Volatilit´e stochastiqueSoitr un r´eel et (σt, t≥0) un processus al´eatoire (Ft) adapt´e tel que σ1≤σt≤σ2 o`uσ1 etσ2sont des constantes.
1. On noteV1la fonctionV1(t, x) d´efinie parV1(t, x) =e−r(T−t)E(h(XT)|Xt=x) lorsquedX(t) = X(t)(rdt+σ1dBt). Montrer quee−rtV1(t, Xt) est une martingale.
2. Ecrire l’ EDS v´erifi´ee par le processusV1(t, Xt). En d´eduire que la fonction V1 satisfait une EDP. Dans la suite, on supposeV1 convexe enx.
3. Soit dS1(t) = S1(t)(rdt+σtdBt). Ecrire la formule d’Itˆo pour e−rtV1(t, St). En d´eduire e−rTV1(t, ST) en fonction de e−rtV1(t, St), d’une int´egrale en dt dont on donnera le signe et d’une int´egrale stochastique.
4. Montrer quee−rtV1(t, St)≤E(e−rTh(ST)|Ft)≤e−rtV2(t, St).
Exercice 3.7.8 Heath-Jarrow-Morton. Soit T fix´e et (rt,0 ≤ t ≤ T) une famille de proces-sus (d´ependant du param`etre T) que l’on notera, comme dans toute la litt´erature sur les taux (r(t, T),0≤t≤T) telle que, pour toutT fix´e
dr(t, T) =σ(t, T)Σ(t, T)dt+σ(t, T)dBt
o`u ∂
∂TΣ(t, T) =σ(t, T). 1. On poseXt=
Z T+a
T
r(t, u)du. Montrer que l’on peut ´ecrire
Xt=X0+ Z t
0
µsds+ Z t
0
φsdBs
o`u on expliciteraµetφ.
2. En d´eduire la dynamique deYt= expXt.
Exercice 3.7.9 Portefeuille de march´e. On consid`ere un march´e comportant un actif sans risque de tauxret un actif risqu´e de dynamique
dSt=St(µtdt+σtdBt).
1. Montrer qu’un portefeuille autofinan¸cant est caract´eris´e par le couple (v, β) tel que dVt=rtVtdt+βt(dSt−rtStdt), V0=v .
On utilise tr`es souvent le processusH d´efini par
dHt=−Ht(rtdt+θtdBt) avecθ= µt−rt
σt .
2. Montrer que Mt = (Ht)−1 est la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant dont on pr´ecisera la valeur deαet deβ. Ce portefeuille est appell´e portefeuille de march´e .
Exercice 3.7.10 Dividendes. Soit
dSt=St([r−δ]dt+σdBt), S0=x (3.6) 1. Montrer queSt=S0exp(at+cBt) o`u on expliciteraa, c. Montrer que
Ste−rt =E(STe−rT + Z T
t
δSse−rsds|Ft),.
2. Montrer qu’il existeβ tel queSβ soit uneQ-martingale.
3. On suppose que dYt=Yt(rdt+νdBt), Y0=y. Soit γ une constante. Montrer queYγ v´erifie une ´equation du type (3.6) o`u l’on pr´ecisera la valeur deδ et deσ.
4. CalculerE((ST−K)+).
Exercice 3.7.11 Assurance de portefeuille.
1. SoitM une martingale telle queMT ≥0. Montrer que Mt≥0 pourt < T. Cette propri´et´e s’´etend-elle au cast > T? Si oui, donner une d´emonstration, sinon, donner un contre exemple.
Soitτ un temps d’arrˆet born´e parT. On suppose queMτ = 0. Montrer qu’alorsMs= 0 pour s∈[τ, T].
2. Soit V la valeur d’un portefeuille autofinan¸cant dans un mod`ele Black-Scholes. On rappelle que d(RtVt) = πtRtσVtdBt avec Rt = e−rt. Montrer que si VT ≥ K alors Vt ≥e−r(T−t)K.
Montrer que s’il existeτ < T tel que Vτ =e−r(T−τ)K, alorsVt=e−r(T−t)K pourt∈[τ, T].
3. Un agent de richesse initialexsouhaite former un portefeuille tel queVT > K. Quelle condition surxcela implique t’il? Comment peut-il r´ealiser cet objectif? (on donnera plusieurs solutions)
Exercice 3.7.12 SoitdXt= r Yt
T−tXtdBtetdYt=gtdBt+µdt. On noteC(T−t, x, σ) la fonction de Black-Scholes. Donner une relation entreg, µpour queC(T−t, Xt,
r Yt
T−t) soit une martingale.
Exercice 3.7.13 Calcul deE(exp− Z T
0
rsds|Ft) avecrt=f(t) +σ2
2 t+σBt
Exercice 3.7.14 On consid`ere un march´e dans lequel sont n´egoci´es trois actifs Un actif sans risque dont la dynamique estdSt0=S0trdtet DEUX actifs risqu´es
dSti=Sti(µidt+σdBt)
avec µ1 6= µ2 et le mˆeme mouvement Brownien uni-dimensionnel B. Les actifs contingents sont choisis dansFT =σ(Ss1, Ss2, s≤T) =σ(Bs, s≤T).
1. Montrer que le march´e est complet.
2. Montrer que la march´e admet des opportunit´es d’arbitrage.
3. Construire EXPLICITEMENT une telle opportunit´e d’arbitrage, c’est-`a-dire expliciter un triplet (π0, π1, π2) de processus adapt´es tels que le portefeuille associ´e soit autofinancant et V0= 0, VT >0. On pourra se restreindre `a une OA statique, c’est-`a-dire telle que (π0, π1, π2) soient des constantes.
Exercice 3.7.15 On consid`ere un mod`ele Black et Scholes et on noteQl’unique mme.
1. On noteYt=Rt
0Sudu. Quel est le prix, `a la datetdu payoffYT (vers´e enT)?
2. Expliciter la strat´egie de couverture deYT
3. On consid`ere le payoffh(YT, ST), vers´e enT, o`uhest une fonction bor´elienne (born´ee)
• Montrer que le prix `a la datetdeh(YT, ST) s’´ecritϕ(t, Yt, St) et montrer comment obtenir ϕ(t, y, x) par un calcul d’esp´erance (non conditionnelle)
• Quelle est l’EDP satisfaite par ϕ?
• D´eterminer la strat´egie de couverture associ´ee.
On consid`erecet πdeux processus adapt´es etXπ,c la solution de
dXt=rXtdt+πt(dSt−rStdt)−ctdt, X0=x
• Montrer que (e−rtXt+Rt
0e−rscsds, t≥0) est uneQ-martingale.
• Montrer que, pourt < T,
Xte−rt = EQ(XTe−rT+ Z T
t
e−rscsds|Ft) Xte−rtζt = EP(XTe−rTζT+
Z T
t
ζse−rscsds|Ft)
• Soitψ et ϑ deux processus adapt´es. On souhaite que les relations πt =ψtXt et ct =ϑtXt
soient satisfaites. Quelle sera dans ce cas la solutionXtπ,c (l’expliciter en terme des processus ψ, ϑ, B)?.
• On admet que le processus X repr´esente la richesse d’un agent financier investissant π sur l’actif risqu´e et consommantctdtdurant l’intervalle de temps t, t+dt. Montrer, en utilisant cette interpr´etation que pour obtenir une richesse terminale (enT) positive et avoir une con-sommation positive, l’agent doit avoir une richesse initiale positive et que sa richesse sera positive `a chaque instantt.
Chapter 4
Exemples
Dans tout ce chapitre,B est un mouvement Brownien dont la filtration est not´ee F.