La rotation dans le plan Exercice 1

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 La rotation dans le plan

Exercice 1:

ABCD est un carré de centre O tel que :



AB AD;



Positif.

Soit R la rotation de centre A et d’angle _A 2

 etR une rotation de centre O et d’angle _O . 1) Déterminer  

RA A ;  

RA B ;   RA D . 2) Comment choisir pour avoir  

RO A B Comment choisir  pour avoir  

RO A C? Solution :

;2 RA_A  _

 

  etR_O



O;



1) ∎  

RA A  A Car le centre est le seul point invariant.

∎  

RA B DCar

 

^{ }

; 2

2

AB AD

AB AD  

 

 

 (ABCD est un carré)

∎  

RA D Bavec B le symétrique de B par rapport à A.

2) ∎  

O 2

R A   B   ∎  

RO A   C   Exercice 2 :

ABCD est un carré tel que : tel que :



AB AD;



Positif.

Et soit R la rotation de centre A et d’angle 2

 .

Décomposer la rotation R en composée de deux symétries orthogonales.

Solution :

AD AC

RS S car _AC _ _AD  _ _A et



;



^{ }2 AC AD  4 . OU RS__AC_ S__AB_ car ABAC   A et



;



^{ }2

AB AC  4 . Exercice 3 :

ABC est un triangle.

On construit à l’extérieur deux triangles ABD et ACE isocèles et rectangles en A 1)Montrer que : BECD

2)Montrer que : BECD

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Solution :

Soit R la rotation de centre A et d’angle 2

 .

On a :

 

^{ }

; 2

2

AD AB

AD AB  

 



 

donc : R D B 1 

On a :

 

^{ }

; 2

2

AC AE

AC AE  

 



 

donc : R C E 2 

Et puisque la rotation conserve les distances Alors de 1 et  ₂ en déduit que : BE CD = 2) on a : _{R D} __B et _{R C} __E

Donc :



;



^{ }2 CD EB  2 par suite : BECD Exercice 4 :

ABC est un triangle tel que :



AB AC;



positif. On construit à l’extérieur les carrés ABDE et ACFG Soit R la rotation de centre A et d’angle

2

 . déterminer : _{R E} et_{R C} .

Et Montrer que :



CA CE;

 

 GA GB;



^{ }2 Solution :

on a :

 

^{ }

; 2

2

AE AB

AE AB  

 

 



Donc : R E B 1 

Et on a :

 

^{ }

; 2

2

AC AG

AC AG  

 



 

Donc : R C G 2 

Et on a : R A A 3  car A le centre de la rotation

De :  ₁ ;  ₂ et 3 on déduit que :



CA CE;

 

 GA GB;



^{ }2 (car la rotation conserve la mesure des angles)

Exercice5 :



OA OB;



positif.

I etJ deux points tels que : ¹

AI  4AB et ¹ BJ  4BC Montrer que _OI _ _OJ et OI OJ .

Solution :

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 On considére R la rotation de centre O et d’angle

2

 . il suffit de montrer que : _{R I} __J On pose : _{R I} __I_

On a :

 

^{ }

; 2

2

OA OB

OA OB  

 

 

 et

 

^{ }

; 2

2

OB OC

OB OC  

 

 



donc _{R A} __Bet _{R B} __C.

On a : ¹

AI 4 ABdonc : ¹ ₁ 

BI  4BC car la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs

Et on sait que : ¹ ₂ 

BJ  4BC De  ₁ et  ₂ on déduit que BI=BJ donc I=J Donc _{R I} __Jpar suite :

 

^{ }

; 2

2

OI OJ

OI OJ  

 

 

 . Donc _OI _ _OJ et OI OJ . Exercice 6 :



OA OB;



positif.

Soit la droite D parallèle à _BDet coupe _ADen M et coupe_ABen.

Soit R la rotation de centre O et d’angle 2

 . E et F les images de M et N respectivement Par la rotation R .

1) Faire une figure et Montrer que : _EF__MN

2) Déterminer l’image de la droite _BDpar la rotation R . 3)Montrer que DN FA et = _EF _{AC .}

Solution :

1) on a : _{R M} __E₁ et : _{R N} __F₂ de ₁ et ₂ on deduit que:



;



^{ }2 MN EF  2 donc :

_EF_MN.

2) on a:

 

^{ }

; 2

2

OB OC

OB OC  

 

 

 Donc : _{R B} __C₁ 

Et on a :

 

^{ }

; 2

2

OD OA

OD OA  

 



  Donc : _{R D} _ _A₂  de  ₁ et ₂ on deduit que: _R



_BD



__AC. 3) On a: _{R D} __A₁ et _{R N} __F₂ donc : DN FA. =

On a : MN BD et  _R



_BD



__ACet R



MN



^EF^Donc : MN EF car la rotation  conserve le parallélisme .

Exercice7 :

ABC est un triangle isocèles et rectangles en A tel que :



AB AC;



positif et le milieu du segment . D et E deux points tels que : ²

AD 3AB et ² CE 3CA. Montrer ODE que est un triangle isocèles et rectangles en O.

Solution :

(4)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 On considére R la rotation de centre O et d’angle

2

 . il suffit de montrer que : _{R E} __D.

On pose : _{R E} __E

On a :

 

^{ }

; 2

2

OA OC

OA OC  

 



  Donc : _{R C} __A₁ 

Et on a :

 

^{ }

; 2

2

OA OB

OA OB  

 

 

 donc : _{R A} __B₂  Et on a : ² ₃ 

CE 3CA De  ₁ ; ₂ et ₃ on déduit que : ² ₄ 

AE 3 AB car la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs .

Et on sait que : ² ₅ 

AD 3AB De ₄ et ₅ on déduit que : AE ADcàd E DDonc : _{R E} __D.

par suite :

 

^{ }

; 2

2

OE OD

OE OD  

 



  Donc ODE est un triangle isocèles et rectangles en O.