Solutions aux exercices 10
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (3 points) Expliquez le termes.
(a) Unterme singulierest une expression qui est utilisée pour designer au plus une chose.
Normalement, une phrase contenant un terme singulier fait une assertion à propos de l’objet dénoté par ce terme singulier.1On distingue entre des noms propres comme « Mad- dox », des descriptions définies comme « l’actuelle reine d’Angleterre », des expressions démonstratives comme « ceci » ou « cette femme » et des indexicaux comme « moi »,
« ici » et « maintenant ».
(b) Unephrase ouverteest une formule bien-formée contenant au moins une occurrence libre d’une variable. Elle est le résultat de l’omission d’une ou de plusieurs occurrences d’un ou de plusieurs termes singuliers dans une phrase. Une phrase ouverte n’est ni vraie ni fausse, mais vraie de ou satisfaite par certains objets et pas d’autres.
(c) Ladistinction entre usage et mentionest la distinction entre deux usages de mots : d’une part, on utilisedes mots pour parler des choses qu’ils désignent, d’autre part on mentionneles mots pour parler de ces mots mêmes.
(d) Unsystème formel axiomatiqueest un ensemble de phrases d’un langage formel qui consiste en certains axiomes et en des théorèmes qui s’ensuivent de ces axiomes à l’aide des règles d’inférence.
(e) L’analyse Russellienne d’une description définie consiste à donner la forme lo- gique suivante à une description définie comme elle se trouve dans la phrase « la reine d’Angleterre estF » :
∃x(Ax∧F x∧ ∀y(Ay→y≖x))
Une description définie est donc analysée en termes d’une condition d’existence et d’une condition d’unicité.
(f) L’analyse Fregéenne des énoncés d’identitédistingue entre les sens et les référents des termes singuliers utilisés. Dans le cas où les référents sont les mêmes, l’énoncé d’iden- tité est vrai. Dans le cas où leurs sens sont différents, l’énoncé d’identité est informatif.
2. (2 points) Formalisez les phrases données :
(a) « Il n’y a que trois manières de cuisiner des pâtes. » est formalisé comme suit : «∃x∃y∃z(x est une manière de cuisiner des pâtes∧y est une manière de cuisiner des pâtes∧z est une manière de cuisiner des pâtes∧x̸≖y∧x̸≖z∧y̸≖z∧/,∀w(west une manière de cuisiner des pâtes→(w≖x∨w≖y∨w≖z))».
(b) « Le Père Noël n’existe pas. » est formalisé comme suit : «¬∃x(x≖a)».
(c) « Sam est le singe le plus intelligent du zoo. » est formalisé comme suit : «∀x((xest un singe du zoo∧xest au moins aussi intelligent quea)→x≖a)».
1. Je dis « normalement » pour exclure le cas de « Socrate est soit mortel soit il ne l’est pas », ou il peut sembler douteux s’il s’agit d’une affirmation à propos de Socrate. Il y a d’autres cas problématiques comme « Socrate est une chose ».
1
(d) « À part moi, il n’y avait que Sam qui était là. » est formalisé comme suit : «aétait là ∧ bétait là ∧ ∀x(xétait là→(x≖a∨x≖b))».
3. (3 points) À l’aide de la définition de validité, justifiez la vérité des propositions données.
Solution:
(a) Démontrons que{∀x(F x→Gx),∀x(Gx→ ¬Hx)} |=∀x(F x→ ¬Hx):
SoitAune structure et supposons que «∀x(F x→Gx)» et «∀x(Gx→ ¬Hx)» soient vrais dans cette structure. Nous devons montrer que la phrase ouverte «F x→ ¬Hx » est vraie quelle que soit la valeur assignée à « x». Soithune assignation arbitraire et supposons que « F x » soit vrai (dans A) sous cette assignation. Alors « Gx » doit également être vrai sous cette assignation, en raison de la vérité de «∀x(F x →Gx) » dansA. Mais si «Gx » est vrai sous cette assignation, alors «¬Hx » l’est également, puisque nous avons supposé que «∀x(Gx→ ¬Hx)» était vrai dans A. Quelle que soit l’assignation h, si « F x » est vrai sous cette assignation, « ¬Hx » l’est aussi. Donc
« ∀x(F x → ¬Hx) » est vrai dans A. Comme tout ce que nous avions présupposé sur Aétait que « ∀x(F x→Gx)» et «∀x(Gx→ ¬Hx)» soient vrais dansA, nous avons démontré que «∀x(F x→ ¬Hx)» est une conséquence sémantique de ces deux phrases.
(b) Démontrons que∀x(F x→Gx)|=¬∃x(F x∧ ¬Gx):
Soit A une structure dans laquelle «∀x(F x → Gx) » est vrai. Par conséquent, toute assignation de valeurs dans l’univers de discours de cette structure à la variable « x » satisfait la phrase ouverte «F x→Gx». D’après notre condition de satisfactionS6, soit toute assignation satisfait «Gx », soit aucune assignation ne satisfait « F x». D’après la condition S4, aucune assignation ne peut alors satisfaire « F x∧ ¬Gx ». D’après la conditionS9et d’aprèsS3, aucune assignation ne peut donc satisfaire «∃x(F x∧¬Gx)».
Autrement dit, toute assignation doit satisfaire «¬∃x(F x∧ ¬Gx)». Donc «¬∃x(F x∧
¬Gx) » est vrai dans toute structure dans laquelle « ∀x(F x → Gx) » est vrai et la première phrase est une conséquence logique de la deuxième.
(c) Démontrons que{∀x(F x→Gx),∃x(¬Gx)} |=∃x(¬F x):
Soit A une structure dans laquelle « ∀x(F x → Gx) » et « ∃x(¬Gx) » sont vrais.
Nous devons montrer qu’il y a une assignation de valeurs qui satisfait « ¬F x ». Nous savons qu’il y a une assignation qui satisfait « ¬Gx ». Or, cette assignation ne peut pas satisfaire «F x», puisque dans ce cas, nous savons par la première prémisse qu’elle devrait également satisfaire «Gx», ce qui est impossible. Par la clause pour la négation S3, cette assignation doit donc satisfaire «¬F x».
4. (1 point) Formalisez les phrases données.
Solution:
Tous les Suisses peuvent entrer. ⇝ ∀x(Sx→Ex) Que des Suisses peuvent entrer. ⇝ ∀x(Ex→Sx)
Beaucoup pensent que la deuxième phrase fait une présupposition existentielle et affirme qu’il existe des Suisses. Mais ceci n’est pas le cas : « il n’y a que des fous qui boivent de la bière avec le fondue » est parfaitement compatible avec « tout le monde boit du vin ou du thé avec le fondue ». Une manière de faire de sorte qu’il n’y a que les coupables qui sont enfermé est de vider les prisons.
5. (7 points) Formalisez (supposez que le domaine de quantification est la totalité des êtres humains).
2 de 4
Solution:
(a) Suzie estF. F(Suzie) F a
ou∃x(F x∧x≖Suzie)
(b) Sam estF. F(Sam) F b
(c) QuelquesDsontF. ∃x(Dx∧F x)
(d) ToutDestF. ∀x(Dx→F x)
(e) Seuls lesDsontF. ∀x(F x→Dx) ¬∃x(F x∧ ¬Dx)
(f) LesDne sont pas les seuls à êtreF ¬∀x(F x→Dx) ∃x(F x∧ ¬Dx)
(g) AucunH n’estF. ¬∃x(Hx∧F x)
(h) Tous lesF sontGsauf lesH. ∀x((F x∧ ¬Hx)→Gx)
peut-être il faut rajouter : · · · ∧ ∀x((F x∧Hx)→ ¬Gx) (i) QuelquesHne sont pasF. ∃x(Hx∧ ¬F x)
(j) Sam n’est pasF. ¬F(Sam) ¬F a
(k) Suzie a tué Sam. A-tué(Suzie, Sam) Rba
(l) Quelqu’un a tué Sam. ∃x(A-tué(x,Sam)) ∃x(Rxa)
(m) Sam a tué quelqu’un. ∃x(A-tué(Sam, x)) ∃x(Rax)
(n) Quelqu’un a tué quelqu’un. ∃x∃y(A-tué(x, y)) ∃x, y(Rxy)
(o) Quelqu’un s’est tué. ∃x(A-tué(x, x)) ∃x(Rxx)
(p) Personne ne s’est tué. ¬∃x(A-tué(x, x)) ¬∃x(Rxx)
(q) Quelqu’un a tué tout le monde. ∃x∀y(A-tué(x, y)) ∃x∀y(Rxy) (r) Quelqu’un a été tué par ∃x∀y(A-tué(y, x)) ∃y∀y(Rxy)
tout le monde.
(s) Il y a unSentre Sam et Suzie. ∃x(entre(x,Sam,Suzie)∧Sx) ∃x(Exab∧Sx)
(t) Chaque douanier hait un ∀x∃y(xest douanier→ ∀x∃y(Dx→(Cy∧Hxy))
coureur. yest coureur∧hait(x, y))
(u) Quelques coureurs aiment ∃x(xest coureur∧ ∃x(Cx∧ ∀y(Dy→Axy)) chaque douanier. ∀y(yest douanier→xaimey))
(v) Il y a un coureur haï par tous les ∃x∀y((yest douanier∧yest fou) ∃x∀y((Dy∧F y) douaniers fous. →(xest coureur∧yhaitx)) →(Cx∧Hyx)) (w) QuelquesCn’ont de relationP ∃x¬∃y(Cx∧F y∧Dy∧P xy)
avec aucunF D.
(x) QuelquesCont une relationP ∃x∀y((Cx∧P xy∧Dy)→ ¬F y) uniquement avec desDqui ne
sont pasF.
6. (4 points) Soit L+ une langue de la logique des prédicats avecI={0},J={0,1,2}, K= {0,1},λ(0) = 2,µ(0) = 1, µ(1) =µ(2)≖2. Nous remplaçons les signes non-logiques par les suivants :
. . . R0· · · ⇝ . . .≤ · · · f0(. . .) ⇝ −. . . f1(. . . ,· · ·) ⇝ . . .+· · · f2(. . . ,· · ·) ⇝ . . .× · · ·
c0 ⇝ 0
c1 ⇝ 1
Solution:
(a) Les expressions suivantes sont-elles des termes deL+? (i) « 0» («c0 ») est un terme deL+.
(ii) « x1+ 1 » («f1(x1, c1)») est un terme deL+. (iii) « +x1» n’est pas un terme de L+.
(iv) « x1×» n’est pas un terme de L+.
(v) « x1×(0 + 1)» ( «f2(x1, f1(c0, c1))») est un terme deL+.
3 de 4
(vi) « 2» n’est pas un terme deL+.
(b) Les expressions suivantes sont-elles des formules atomiques deL+? (i′) «x1+ 1 » n’est pas une formule atomique deL+.
(ii′) «0 + 0≖1» («f1(c0, c0)≖c1 ») est une formule atomique deL+. (iii′) «(x1≤1)̸≖1» n ’est pas une formule atomique deL+.
(iv′) «∀x1(x1≤(0 + 1))» n’est pas une formule atomique deL+(même si c’est une formule).
(v′) «0 + 1 ̸≖0×1 » («f1(c0, c1)̸≖f2(c0, c1)») n’est pas une formule atomique deL+.
(vi′) «x1≤1» («R0(x1, c1)») est une formule atomique deL+. (c) Les expressions suivantes sont-elles des formules deL+?
(i′′) «0 » n’est pas une formule deL+.
(ii′′) «x1+1≤x1» («R0(f1(x1, c1), x1)») est une formule deL+(même atomique).
(iii′′) «∀x1(x1×(0 + 1))» n’est pas une formule deL+. (iv′′) «1 + (x1×(0 + 1))» n’est pas une formule deL+.
(v′′) «(1 + 1)∧(0≤1)» n’est pas une formule de L+.
(vi′′) «∀x1(x1≤(0 + 1))» («∀x1(R0(x1, f0(c0, c1))) ») est une formule deL+. (d) Dans lesquelles des formules donnéesL+la variable «x1» a-t-elle une occurrence libre ?
(i′′′) « x1 » a une occurrence libre dans «x1+ 1≤1».
(ii′′′) « x1 » n’a pas d’occurrence libre dans «∀x1¬(x1̸≖(0 + 1))».
(iii′′′) « x1 » a une occurrence libre dans «∃x2(1 + (x2×(0 + 1))≤x1)».
(iv′′′) « x1 » a une occurrence libre dans «∀x1(0≤x1)∧((0≤1)∨1 ̸≖x1)» (la deuxième).
(v′′′) « x1 » n’a pas d’occurrence libre dans «∀x1((0≤x1)→(1̸≖x1))».
(vi′′′) « x1 » n’a pas d’occurrence libre dans «∀x2∃x1¬(x2≤x1)».
4 de 4
