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Prouver que la fonctionfmest définie sur un intervalle de la forme

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Academic year: 2022

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TS Devoir Maison 2 2011-2012

EXERCICE 1 :

Soitf la fonction définie surRpar :

f(x) =

( 0 six= 0 1−cosx

x six6= 0 1. f est-elle continue en 0 ?

2. f est-elle dérivable en 0 ?

Indication : Pour toutxréel, cosx= 1−2 sin2x 2

EXERCICE 2 :

Soitmun nombre réel etfm la fonction définie par : fm(x) =√

x2+ 2mx−1 On noteCm la courbe représentative defmdans un repère du plan.

1. Prouver que la fonctionfmest définie sur un intervalle de la forme ]− ∞;am]∪[bm; +∞[ oùamet bmsont des réels à déterminer vérifiantam<0 etbm>0.

2. Déterminer la limite defmen +∞et en−∞.

3. Établir le tableau de variations defmsur son ensemble de définition.

4. Démontrer que la droiteDm d’équationy=x+mest une asymptote deCmen +∞. 5. Démontrer que la droiteDm d’équationy=−xmest une asymptote de Cm en−∞. 6. Étudier la position de la courbeCmpar rapport àDmet àDm.

7. Faire une figure dans le cas oùm= 1.

Indications :

1. La fonction fm est une fonction avec un paramètre : il existe autant de fonction que de valeur du paramètre m. Néanmoins, il est possible d’étudier certaines propriétés defmsans remplacermpar une valeur numérique : c’est l’objet de l’exercice.

2. Je rappelle que pour toutx∈R, √

x2=|x|=

xsix >0

xsix <0 et lorsquex→ −∞,x <0.

3. L’étude de limite en ±∞ d’expression de la forme √

N−⋆ donne parfois une forme indéterminée du type

∞ − ∞.

Pour lever cette indétermination, une astuce consiste à multiplier cette quantité par l’expression conjuguée

√N+⋆, cela donne :

(√

N−⋆)×

√N+⋆

√N+⋆

| {z }

=1

= N−⋆2

√N+⋆

4. Lien vers animation GeoGebra :http://www.michelimbert.fr/spip.php?article423

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