TS Devoir Maison 2 2011-2012
EXERCICE 1 :
Soitf la fonction définie surRpar :
f(x) =
( 0 six= 0 1−cosx
x six6= 0 1. f est-elle continue en 0 ?
2. f est-elle dérivable en 0 ?
Indication : Pour toutxréel, cosx= 1−2 sin2x 2
EXERCICE 2 :
Soitmun nombre réel etfm la fonction définie par : fm(x) =√
x2+ 2mx−1 On noteCm la courbe représentative defmdans un repère du plan.
1. Prouver que la fonctionfmest définie sur un intervalle de la forme ]− ∞;am]∪[bm; +∞[ oùamet bmsont des réels à déterminer vérifiantam<0 etbm>0.
2. Déterminer la limite defmen +∞et en−∞.
3. Établir le tableau de variations defmsur son ensemble de définition.
4. Démontrer que la droiteDm d’équationy=x+mest une asymptote deCmen +∞. 5. Démontrer que la droiteDm′ d’équationy=−x−mest une asymptote de Cm en−∞. 6. Étudier la position de la courbeCmpar rapport àDmet àD′m.
7. Faire une figure dans le cas oùm= 1.
Indications :
1. La fonction fm est une fonction avec un paramètre : il existe autant de fonction que de valeur du paramètre m. Néanmoins, il est possible d’étudier certaines propriétés defmsans remplacermpar une valeur numérique : c’est l’objet de l’exercice.
2. Je rappelle que pour toutx∈R, √
x2=|x|=
xsix >0
−xsix <0 et lorsquex→ −∞,x <0.
3. L’étude de limite en ±∞ d’expression de la forme √
N−⋆ donne parfois une forme indéterminée du type
∞ − ∞.
Pour lever cette indétermination, une astuce consiste à multiplier cette quantité par l’expression conjuguée
√N+⋆, cela donne :
(√
N−⋆)×
√N+⋆
√N+⋆
| {z }
=1
= N−⋆2
√N+⋆
4. Lien vers animation GeoGebra :http://www.michelimbert.fr/spip.php?article423
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