T STMG DS 3 2017-2018
EXERCICE 1 : (4 points)
f est la fonction définie sur l’intervalle [−10, 40] par
f (x) = −x
3+ 30x
2− 500 Son tableau de variations est donné incomplet ci-dessous
x f
′(x)
Variations de f
−10 . . . . . . 40
. . . 0 . . . 0 . . . . . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Compléter le tableau en expliquant de manière sommaire votre démarche et en précisant les « outils » utilisés.
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EXERCICE 2 : (12 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée. Pour des raisons liées à la fabrication, le nombre de pièces fabriquées par jour est supérieur à 40.
Le coût de production, en euros, de x dizaines de pièces est noté f (x). La partie de la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10] est donnée dans le repère ci-contre.
Partie A : Lectures graphiques
On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
1. À l’aide du graphique, déterminer le coût de production de 50 pièces.
2. Quel nombre de pièces correspond à un coût de 14 e ?
3. Chaque pièce est vendue 0, 3 e . On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit x dizaines de pièces.
Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
4. Représenter graphiquement la fonction R dans le repère.
5. À l’aide du graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir x pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif.
Partie B : Étude du bénéfice
On suppose que la fonction f est définie par : f (x) = x
2− 8x + 18 sur l’intervalle [4 ; 10].
1. On rappelle que lorsque l’entreprise produit x dizaines de pièces, sa recette est R(x) = 3x.
Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = −x
2+ 11x − 18.
2. (a) B
′est la dérivée de la fonction B. Calculer B
′(x).
(b) En déduire le tableau de variations de B sur l’intervalle [4 ; 10].
3. Quel est le nombre de pièces que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum ? Quel est-alors la valeur de ce bénéfice ?
4. Courbe du bénéfice.
(a) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
B(x)
(b) Construire dans le repère la courbe de la fonction bénéfice B.
(c) Par la méthode de votre choix, donner le plus grand intervalle du nombre de pièces produites pour lesquelles le bénéfice est supérieur à 11 e .
Lycée Bertran de Born 1 sur 2
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O
Nombre de dizaines de pièces Coût de production dexdizaines de pièces (en euros).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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EXERCICE 3 : (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en euro pour x centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction B définie sur [0 ; 9] par :
B(x) = 40x
3− 561x
2+ 1 917x − 200.
La courbe représentative du bénéfice hebdomadaire est donnée ci-dessous.
Affirmation 1 : Fabriquer et vendre 600 brosses à dents connectées par semaine est rentable pour l’entreprise.
Affirmation 2 : La fonction B
′, dérivée de la fonction B, est définie pour tout x ∈ [0 ; 9] par B
′(x) = 120x
2− 1 122x + 1 917.
Affirmation 3 : La fonction B
′, dérivée de la fonction B, s’annule trois fois dans l’intervalle [0 ; 9].
Affirmation 4 : Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour 225 brosses à dents fabriquées et vendues.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
−200
−400
−600
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Bénéfice hebdomadaire (en euro)
Quantité (en centaine)
