Indépendants et solidaires
Problème A329 de Diophante
Deux entiers naturels sont considérés comme indépendants s’ils sont
relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble de E est elle-même un nombre entier.
Démontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires.
Solution
Notons n$ le plus petit entier divisible par tous les entiers de 2 à n.
Ainsi : 2$ = 2 : 3$ = 6 ; 4$ = 12 ; 5$ = 6$ = 60 ; 7$ = 420 ; etc.
Alors les n nombres pk = k * n$ + 1, pour 1 ≤ k ≤ n forment un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires. Il s’agit là de l’ensemble dont la somme de ses éléments est la plus petite possible.
Par exemple, pour n =6, prendre : 61, 121, 181, 241, 301 et 361.
