A329. Indépendants et solidaires
Deux entiers naturels sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1).
Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble de E est elle-même un nombre entier.
Démontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires.
Solution proposée par Paul Voyer:
Les nombres sont tous impairs.
En effet, il ne peut pas y avoir plus de 1 nombre pair (indépendance), ni 1 seul (les moyennes de 2 termes doivent être entières).
Le nombre 1 lui-même ne peut être considéré comme indépendant.
n=2 3 et 5 moyenne 4
n=3 7, 13, 19 moyennes (10, 13, 16), 13.
Notons que tout sous-ensemble de k termes de la séquence n convient pour toute séquence d'ordre k ≤ n.
Le deuxième terme ne peut pas être plus petit que (n!+1) (ici 7=3!+1) afin de permettre la construction des suivants, en assurant leur indépendance.
Les suivants, construits un par un, seront tous multiples de 3+1, puis également multiples de 4+1, etc... afin que la division par 3 de 3 termes quelconques, par 4 de 4 termes, etc… soit un entier.
Cela suggère pour chacun d'eux un (multiple de n!) +1.
Pour tout n, il suffit de choisir n multiples de n! distincts (par exemple les nombres de 1 à n) et d'ajouter 1 à chacun.
Cela donne par exemple, à titre de vérification : n=4 25, 49, 73, 97
n=5 121, 241, 361, 481, 601.
