A329 : Indépendants et solidaires
Deux entiers naturels distincts sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble de E est elle-même un nombre entier. Démontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires.
C’est évident pour n=2 (par exemple 3 et 5), n=3 (3, 5, 7)
Considérons les nombres ai=i*n!+1 pour 1≤i≤n : ils sont premiers entre eux deux à deux, puisque pour i<j, j*ai-i*aj=j-i<n, et tout diviseur commun devrait diviser j-i, ce qui est impossible, car les ai sont premiers avec tout nombre inférieur à n.
Par ailleurs, pour k≤n, la somme de k éléments distincts est divisible par k, donc leur moyenne est un entier: les ai sont donc à la fois indépendants et solidaires!
