PGCD
A/ Diviseur d’un entier : définition :
Exemples : donc 4 n’est pas un diviseur de 26 car le reste de la division de 26 par 4 n’est pas nul.
donc 2 est un diviseur de 18. 9 est un autre diviseur de 18.
B/ Diviseurs communs à deux entiers :
Exemples : donc 12 est un diviseur commun à 36 et 24 et donc 8 n’est pas un diviseur commun à 24 et 36.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à et .
Exemples : donc 7 est un diviseur commun à et . ( )
( )
} C/ Entiers premiers entre eux :
Exemples : 12 et 7 ont pour seul diviseur commun 1, ils sont premiers entre eux.
et donc 42 et 35 ne sont pas premiers entre eux.
II. Le Plus Grand Diviseur Commun : A/ Propriété :
Exemples : diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Diviseurs de36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
Donc 24 et 36 ont 6 diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
PGCD(24 ;36) = 12
B/ Algorithme d’Euclide :
I. Diviseur commun à deux nombres:
Parmi les diviseurs communs à et , l’un d’eux est plus grand que les autres. On l’appelle Plus Grand Diviseur Commun. On le note ( )
Si la division du nombre entier par est un quotient entier et un reste nul, alors on dit que est divisible par (ou est un diviseur de ).
Définition : Si deux entiers naturels et sont divisibles par un même entier naturel , on dit que et un diviseur commun de et
Propriétés : Un diviseur commun à et est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste dans la division de par
……….
Définition : Si deux entiers naturels ont pour seul diviseur commun 1, on dit qu’ils sont premiers entre eux.
Exemple : calcul du ( )
Donc ( ) d’après l’algorithme d’Euclide.
Trouver le reste de la division de par
Si , alors ( )
Si
