Contrôle 22 Novembre 2019
Exercice 1
1. Donner la définition d’un nombre premier.
Un nombre est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
2. Quand dit-on que deux entiers sont premiers entre eux ?On dit que deux entiers naturels sont premiers si leur PGCD vaut 1.
3. SiAest un ensemble de cardinaln, quel est le nombre dep-listes d’éléments deA? np
4. SiAest un ensemble de cardinaln, quel est le nombre dep-listes d’éléments distincts deA?
n!
(n−p)!
5. SiAest un ensemble de cardinaln, quel est le nombre de parties deA? 2n
6. SiAest un ensemble de cardinalnet sik∈J0,nK, quel est le nombre de parties deAàkéléments ? n
k
!
7. SiEest un ensemble à péléments etFune partie ànéléments, avecn<p. Quel est le nombre d’injections deE dansF?
0
8. SiEest un ensemble à péléments etFune partie ànéléments, avecn>p. Quel est le nombre d’injections deE dansF?
n!
(n−p)!
Exercice 2
1. Montrer que sia|bet sia|c, alorsa|(b+c).
a|bdonc∃k∈N,ak=b.
a|cdonc∃k0∈N,ak0=c.
Doncb+c=ak+ak0=a(k+k0)etk+k0∈Ndonca|(b+c).
2. En utilisant la décomposition en facteurs premiers, montrer que pgcd(a,b)×ppcm(a,b) =a×b.
Soienta=∏p∈Ppαp etb=∏p∈Ppβp leur décomposition en facteurs premiers. Alors pgcd(a,b)×ppcm(a,b) =
∏
p∈P
pmin(αp,βp)
∏
p∈P
pmax(αp,βp)=
∏
p∈P
pmin(αp,βp)+max(αp,βp)=
∏
p∈P
pαp+βp=ab.
3. Parmi les matrices suivantes, dire lesquelles sont échelonnées par lignes ou échelonnées réduites par lignes.
A=
2 0 4 2
0 1 4 1
1 5 −1 2
,B= 0 0 0
0 0 0
!
,C=
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 0 1
,D=
0 1 −1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
.
An’est pas échelonnée,Best échelonnée réduite,Cest échelonnée,Dest échelonnée réduite.
PCSI - Lycée de l’Essouriau 1 2019-2020
Contrôle 22 Novembre 2019
4. Résoudre les système suivant (soit en faisant des opérations élémentaires directement sur le système, soit en passant par la matrice augmentée) :
(S)
−2x1 +3x2 +x3=−5 3x1 +x2 +x3=−4 x1 −2x2 −3x3=−1.
Soit(A|B)la matrice augmentée du système.
(A|B) =
−2 3 1
3 1 1
1 −2 −3
−5
−4
−1
L1↔L3
∼L
1 −2 −3
3 1 1
−2 3 1
−1
−4
−5
L2←L2−3L1 L3←L3+2L1
∼L
1 −2 −3
0 7 10
0 −1 −5
−1
−1
−7
L2↔L3
∼L
1 −2 −3
0 −1 −5
0 7 10
−1
−7
−1
L2←−L2
∼L
1 −2 −3
0 1 5
0 7 10
−1 7
−1
L1←L1+2L2 L3←L3−7L2
∼L
1 0 7
0 1 5
0 0 −25
13 7
−50
L3←−125L3
∼
L
1 0 7
0 1 5
0 0 1
13 7 2
L1←L1−7L3 L2←L2−5L3
∼
L
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1
−3 2
.
Donc(S)⇐⇒
x1=−1 x2=−3 x3=1
. Donc l’ensemble des solution est{(−1,−3,2)}.
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