Si le coefficient dominant vaut 1( an= 1), on dit queP est un polynˆome unitaire

Ecole Sup´´ erieure de Commerce et d’´Economie Num´erique ann´ee 2019/2020 1^ere` ann´ee

polynˆomes et Fractions Rationelles D´efinition :

Un polynˆome `a coefficients dans K(K=R,C et parfoisQ )est une expression de la forme P =a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₁X+a₀,

,

avec n∈N et a0, a1, ..., an∈K. L’ensemble des polynˆomes est not´e K[X].

– Les a_i sont appel´es les coefficients du polynˆome.

– Les a_kX^k sont appel´es monˆomes.

- Le coefficient an est appel´e le coefficient dominant de P.

– Si le coefficient dominant vaut 1( a_n= 1), on dit queP est un polynˆome unitaire.

- Si tous les coefficients a_i sont nuls, P est appel´e le polynˆome nul, il est not´e 0.

D´efinition

Pour tout ´el´ement P non nul de K[X], l’unique entier n >0 intervenant dans l’´ecriture de P en fonction de l’ind´etermin´ee X est appel´e le

degr´e de P. C’est le plus grand entiern tel que a_n6= 0; on le note degP.

Par convention, le degr´e du polynˆome nul est =−∞.

– Un polynˆome de la forme P = c avec c∈K est appel´e un polynˆome constant, si c6= 0, son degr´e est 0.

Exemples:

1) P =X⁴−X³−3X²+ 5X−2, un polynˆome unitaire de degr´e 4 2) P = 5 est un polynˆome constant de degr´e 0

1

3) P =X⁶−X¹² −X, n’est pas un polynˆome, car ¹₂ n’appartient pas `a N 4)P=exp(X)⁴−X³−X, n’est pas un polynˆome

5)P = ln(X)³+ 2X²−9X, n’est pas un polynˆome D´efinition

L’ensemble des polynˆomes de degr´e inferieure ou ´egale a n est not´e Kn[X].

Exemples:

1) P =X³+ 2X³+ 6∈K₃[X]⊂K₄[X]⊂K₅[X].

2) P =X⁷+ 2X⁵+ 6X ∈K₇[X].

3) P =X+ 9 ∈K₁[X]⊂K₂[X]⊂K₅[X].

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