1 12p+1 3 On sait quep(T

TS Correction Fiche TP 9 _2012-2013

b b

F p

b T

1 4

b T

3 4

b

1−p F

b T

1 3

b T

2 3

1. T = (T∩F)∪(T∩F). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc : p(F) =p(T∩F)) +p(T∩F) =pF(T)p(F) +p_F(T)p(T).

Par conséquent :p(T) =p×1

4 + (1−p)×1 3 =

1

4−1 3

p+1

3 =− 1 12p+1

3 On sait quep(T) = 0,3 = 3

10. On en déduit : −1

12p+1 3 = 3

10 ⇐⇒ p 12 =1

3 − 3 10 = 1

30 d’oùp=12 30 = 2

5. La probabilité de l’événement F est : p(F) = 2

5 2. pT(F) = p(F∩T)

p(T) =

p 4 3 10

= 10p 3×4 = 5p

6 = 5 6 ×2

5 =2 6 =1

3; pT(F) = 1 3

3. (a) SoitN la variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis.

Nous avons répétition d’une expérience aléatoire à deux issues, identique et indépendante.N suit donc la loi binomiale de paramètresn= 4 (nombre d’épreuves) etp= 3

10 : N ֒→B

4 ; 3 10

. On sait alors quep(N =k) = ⁴_k

× 3 10

k

×

1− 3 10

⁴−k

= ⁴_k

× 3 10

k

×0,7^4−k. D’où :p(N = 2) = ⁴2

× 3

10

2

×0,7²= 1 323

5 000≈0,2646. (b) Cette fois,N suit la loi binomialeB

n; 3

10

. pn=p(N >1) = 1−p(N = 0) = 1− ⁿ

0

×

3

10 ⁰

×

7

10 ⁿ

= 1−

7

10 ⁿ

: pn= 1−

7

10 ⁿ

. (c) p_n>0,99⇔0,01>0,7ⁿ⇔ln(0,01)>nln(0,7) (en appliquant la fonction ln qui est croissante)

d’oùn> ln(0,01)

ln(0,07) ≈12.9.

Il faut que nsoit supérieur ou égal à 13 pour quepn soit supérieur à 0,99.

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