22.2 Événements indépendants

22

Probabilités conditionnelles

(Ω,B,P)est un espace probabilisé.

22.1 Définition et propriétés des probabilités condition- nelles

Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé équilibré et les évé- nements A et B définis par :

A=« la somme des chiffres obtenus est 9»

et

B =« le premier lancé donne 5»

En supposant qu’il y a équiprobabilité, on a :

P(A) = P({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}) = 4 36 = 1

9.

Mais, si on sait que l’événement B est réalisé, c’est-à-dire que le premier lancé a donné5,il semble raisonnable de dire que :

PB(A) =P({4}) = 1 6 6= 1

9

Sachant que B est réalisé on est donc amené à changer d’univers. Dans le premier cas, où on ne dispose d’aucune information sur le premier lancé, un univers adapté est Ω = {(i, j)|1≤i, j ≤6} avec la probabilité :

P: P(Ω) → [0,1]

A 7→ P(A) = card (A) card (Ω)

avec card (Ω) = 6² et dans le deuxième cas où on dispose de l’information « B est réalisé » un univers adapté est ΩB ={i|1≤i≤6} avec la probabilité :

P_B : P(Ω_B) → [0,1]

A 7→ P_B(A) = card (A) card (Ω_B) avec card (Ω_B) = 6.

543

Pour calculer de telles probabilités conditionnelles P_B(A), une idée naturelle est de répéter un grand nombre de fois l’expérience dans les mêmes conditions. Si pourn expériences, on note n(E)le nombre de fois où un événement E est réalisé, la quantité :

f_B(A) = n(A∩B)

n(B) = n(A∩B) n

µn(B) n

¶₋₁

est la fréquence relative de réalisation de A sur n coups sachant que B est réalisé. Plusn sera grand, plus f_B(A) se rapprochera d’une quantité qui sera la probabilité de réalisation de A sachant que B est réalisé.

Il est donc naturel de poser :

P_B(A) = lim

n→+∞f_B(A) = P(A∩B) P(B)

Définition 22.1 Soient A, B deux événements dans B avec P(B) 6= 0. La probabilité de A sachant B est le réel :

PB(A) = P(A∩B) P(B) .

Théorème 22.1 Pour tout événement B ∈ B de probabilité non nulle, l’application : P_B : B → [0,1]

A 7→ PB(A) = P(A∩B) P(B) est une probabilité sur (Ω,B).

Démonstration. On a : –

PB(Ω) = P(Ω∩B)

P(B) = P(B) P(B) = 1.

– Si (A_n)_n∈N est une suite d’événements deux à deux incompatibles, il est de même de la suite (A_n∩B)_n∈N et :

P_B Ã[

n∈N

A_n

!

= P

ÃÃ[

n∈N

An

!

∩B

!

P(B) = P

Ã[

n∈N

(An∩B)

!

P(B)

= X+∞

n=0

P(A_n∩B) P(B) =

X+∞

n=0

P_B(A_n)

On dit que P_B est la probabilité conditionnelle sur (Ω,B)sachantB et par définition, on a : P(A∩B) = PB(A)P(B)

On note aussi P_B(A) = P(A|B).

Théorème 22.2 Sin ≥2etA₁,· · · , A_n sont des événements dansB tels que P µ_n−1

T

k=1

A_k

¶ 6= 0, on a alors :

P Ã _n

\

k=1

A_k

!

=P(A₁)P(A₂ |A₁)P(A₃ |A₁∩A₂)· · ·P Ã

A_n|

n−1\

k=1

A_k

!

Définition et propriétés des probabilités conditionnelles 545

Démonstration. Commeⁿ⁻¹T

k=1

A_k ⊂ T^p

k=1

A_k pour toutp compris entre 1et n−1, on a :

P Ã _p

\

k=1

Ak

!

≥P Ã_n−1

\

k=1

Ak

!

>0 et les probabilités conditionnelles P_T^p

k=1Ak

sont bien définies.

On vérifie alors que :

P(A1)

n−1Y

p=1

P Ã

Ap+1 |

\p

k=1

Ak

!

=P(A1)P(A1∩A2) P(A₁)

P(A1∩A2∩A3) P(A₁∩A₂) · · ·

P µ _n

T

k=1

A_k

¶

P µ_n−1

T

k=1

A_k

¶

=P Ã\n

k=1

A_k

! .

Théorème 22.3 (Formule des probabilités totales) Si (A₁,· · · , A_n) est un système com- plet d’événements dans B tel que P(A_k)6= 0 pour tout k compris entre 1 et n, on a alors pour tout événement A∈ B :

P(A) = Xn

k=1

P(A|A_k)P(A_k) Démonstration. On a la partition :

A=A∩Ω =A∩ [n

k=1

A_k = [n

k=1

A∩A_k

qui nous donne :

P(A) = Xn

k=1

P(A∩A_k) = Xn

k=1

P(A|A_k)P(A_k)

Exercice 22.1 Un fumeur essaye de ne plus fumer. S’il ne fume pas un jour donné, alors la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est p ∈ ]0,1[. S’il fume un jour donné, alors la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est q∈]0,1[.

1. Calculer la probabilité p_n que cette personne ne fume pas le n-ème jour.

2. Calculer lim

n→+∞p_n.

Solution 22.1 Pour n ≥0, on note respectivement F_n et Ω\F_n les événements : F_n: « il fume le n-ème jour »

F_n= Ω\F_n: « il ne fume pas le n-ème jour » On connaît p=P¡

F_n |F_n−1¢

et p=P¡

F_n |F_n−1¢

pour n ≥1.

1. Comme ¡

F_n−1, F_n−1¢

est un système complet d’événements, on a : p_n=P¡

F_n¢

=q·P(F_n−1) +p·P¡ F_n−1¢

= (1−p_n−1)q+p_n−1p

= (p−q)pn−1+q

La suite (pn)_n∈N est donc une suite arithmético-géométrique et on a : pn=r+ (p0−r) (p−q)ⁿ

où r= q

1−(p−q). 2. On a lim

n→+∞(pn) =r = q 1−(p−q).

Théorème 22.4 (Formule de Bayes) Si (A₁,· · · , A_n)est un système complet d’événements dans B tel que P(A_k) 6= 0 pour tout k compris entre 1 et n, on a alors pour tout événement B ∈ B de probabilité non nulle et tout entier j compris entre 1 et n :

P(A_j |B) = P(B |A_j)P(A_j) Pn

k=1

P(B |A_k)P(A_k) Démonstration. On a :

P(Aj |B) = P(A_j∩B)

P(B) = P(B |A_j)P(A_j) Pn

k=1

P(B |Ak)P(Ak)

Exercice 22.2 Des études sur une population ont montré que l’on pouvait admettre que la probabilité p_n qu’une famille ait exactement n enfants est définie par :

∀n≥1, p_n=αpⁿ avec 0< p <1, α >0 et (1 +α)p <1.

On suppose que les naissances des garçons et des filles sont équiprobables.

1. Calculer la probabilité pour une famille de ne pas avoir d’enfants.

2. Calculer la probabilité pour une famille d’avoir exactement k garçons.

3. Étant donnée une famille ayant au moins un garçon, quelle est la probabilité qu’elle en ait deux ou plus ?

Solution 22.2 Pour tout entier n≥0, on note respectivement En et Gn les événements : En =« la famille a n enfants »

Gn=« la famille a n garçons » 1. On a p_n=P(E_n) = αpⁿ pour n ≥1 et :

p₀ =P(E₀) = 1− X+∞

n=1

αpⁿ= 1−α p

1−p = 1−(1 +α)p 1−p

Définition et propriétés des probabilités conditionnelles 547

2. Comme (E_n)_n≥0 est un système complet d’événements, on a pour k ≥1 : Gk =

+∞[

n=0

Gk∩En=

+∞[

n=k

Gk∩En

(G_k∩E_n=∅ pour 0≤n < k) et : P(Gk) =

X+∞

n=k

P(Gk∩En) = X+∞

n=k

P(En)P(Gk|En)

=α X+∞

n=k

pⁿC_n^k µ1

2

¶_kµ 1 2

¶_n−k

(dans une famille de n enfants, il y aC_n^k façons de placer l’ordre de naissance des garçons et par chacune d’elles la probabilité de réalisation est

µ1 2

¶_kµ 1 2

¶_n−k

si les naissances des filles et des garçons sont supposées équiprobables). On a donc :

P(G_k) =α X+∞

n=k

C_n^k

³p 2

´_n

= α k!

³p 2

´_kX^+∞

n=k

n(n−1)· · ·(n−(k−1))

³p 2

´_n−k

soit en tenant compte de : X+∞

n=k

n(n−1)· · ·(n−(k−1))x^n−k= µ 1

1−x

¶_(k)

= k!

(1−x)^k+1 P(G_k) = α

k!

³p 2

´_k k!

¡1− ^p₂¢_k+1 = 2α 2−p

µ p 2−p

¶_k

Pour k = 0, on a :

P(G₀) = 1− 2α 2−p

X+∞

k=1

µ p 2−p

¶_k

= 1− 2α 2−p

p 2−p

1 1−_2−p^p

= 1− αp

(1−p) (2−p) = 2−(3 +α)p+p² (1−p) (2−p) 3. La probabilité cherchée est :

P Ã_+∞

[

k=2

Gk |

+∞[

k=1

Gk

!

= P

Ã_+∞

[

k=2

Gk

!

P Ã+∞[

k=1

G_k

! = 1−P(G₀)−P(G₁) 1−P(G₀)

= 1− P(G₁)

1−P(G₀) = p 2−p

Exercice 22.3 Deux joueurs A et B possèdent un capital de a et b euros respectivement. Ils jouent à pile ou face en misant 1 euro par partie jusqu’à la ruine de l’un d’eux. Déterminer la probabilité de ruine de chacun.

Solution 22.3 On désigne, pour tout entier n≥0, par A_n l’événement : A_n =« A possède n euros et terminera ruiné » et par A l’événement :

A=« A gagne un tirage de Pile ou Face » Pourn ≥1, on a :

A_n= (A_n−1∩A)∪(A_n+1∩(Ω\A)) et en notant p_n=P(A_n), on déduit que :

pn = 1

2(pn−1+pn+1) avec p₀ = 1, p_a+b = 0, ce qui donne p_n= 1− n

a+b et : P(A perd) =p_a= b

a+b, P(B perd) =p_b = a a+b.

22.2 Événements indépendants

Dans le cas où P(A|B) =P(A),on déduit que le fait que soit B soit réalisé ne change rien sur le calcul deP(A).Dans ces conditions, on dit queAetBsont des événements indépendants.

Définition 22.2 On dit que deux événements A et B dans B sont indépendants (ou stochasti- quement indépendants) si :

P(A∩B) =P(A)P(B).

Remarque 22.1 Si P(B) = 0, on a alors, pour tout A∈ B, 0≤P(A∩B)≤P(B) = 0, donc P(A∩B) = P(A)P(B) = 0 et A et B sont indépendants.

Si P(B)6= 0, les événements A et B sont indépendants si, et seulement si, P(A|B) =P(A). Remarque 22.2 Deux événements peuvent être incompatibles, sans être indépendants. Par exemple, si P(A) =p∈]0,1[, on a alors :

P(A)P(Ω\A) = p(1−p)6= 0 = P(A∩(Ω\A)). Exercice 22.4 Soit(Ω,B,P) un espace probabilisé.

1. Soient A, B deux événements tels que P(A) = 0.2etP(A∪B) = 0.5. Quelle est la valeur de P(B) siA et B sont incompatibles ?

2. Soient A, B deux événements tels que P(A) = 0.1etP(A∪B) = 0.6. Quelle est la valeur de P(B) siA et B sont indépendants ?

Solution 22.4

1. Si A et B sont incompatibles, on a alors :

0.5 =P(A∪B) =P(A) +P(B) = 0.2 +P(B) et P(B) = 0.3.

Événements indépendants 549

2. Si A et B sont indépendants, on a alors :

0.6 =P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)

=P(A) +P(B)−P(A)P(B) = 0.1 + 0.9·P(B) et P(B) = 5

9.

Exercice 22.5 Montrer que A et B sont indépendants dans B si, et seulement si, A et Ω\B sont indépendants et que A et Ω\B sont indépendants si et seulement si, Ω\A et Ω\B sont indépendants.

Solution 22.5 On a A∩(Ω\B) =A\(A∩B) et :

P(A∩(Ω\B)) = P(A\(A∩B)) =P(A)−P(A∩B) ce qui donne pour A et B sont indépendants :

P(A∩(Ω\B)) =P(A) (1−P(B)) = P(A)P(Ω\B) qui signifie que A et Ω\B sont indépendants.

Réciproquement siAetΩ\B sont indépendants, il en est alors de même deAetB = Ω\(Ω\B). Comme A et B jouent des rôles symétriques, il en résulte que :

(A et Ω\B indépendants)⇔(Ω\A et Ω\B indépendants)

Plus généralement, on définit l’indépendance mutuelle de plusieurs événements comme suit.

Définition 22.3 On dit que des événements A₁,· · · , A_n, où n ≥ 2, sont mutuellement indé- pendants dans B si pour toute partie J non vide de {1,2,· · · , n}, on a :

P Ã\

j∈J

A_j

!

=Y

j∈J

P(A_j).

Remarque 22.3 Des événements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants (il suffit de considérer toutes les parties à 2 éléments de {1,2,· · · , n}), mais la réciproque est fausse.

En effet, considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé deux fois et les événe- ments A, B, C définis respectivement par « le premier chiffre est pair », « le deuxième chiffre est impair », « la somme des chiffres est paire ». En supposant l’équiprobabilité, on a :

P(A) = P(B) =P(C) = 1 2

P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 9 36 = 1

4 donc les événements A, B, C sont deux à deux indépendants, mais :

P(A∩B∩C) = P(∅) = 06=P(A)P(B)P(C) et A, B, C ne sont pas mutuellement indépendants.

Exercice 22.6 SoientA₁,· · · , A_n,où n ≥2, des événements mutuellement indépendants dans B.

1. Montrer que Ω\A₁, A₂,· · · , A_n sont mutuellement indépendants.

2. En déduire que pour tout entier k compris entre 1 et n, les événements Ω\A1,· · · ,Ω\ A_k, A_k+1,· · · , A_n sont mutuellement indépendants.

Solution 22.6

1. On note A⁰₁ = Ω\A₁, A⁰_k =A_k pour k compris entre 2 et n et on se donne une partie J non vide de {1,2,· · · , n}.

Si 1∈/ J, on a : P

Ã\

j∈J

A⁰_j

!

=P Ã\

j∈J

Aj

!

=Y

j∈J

P(Aj) =Y

j∈J

P¡ A⁰_j¢

.

Si J a plus de 2 éléments et 1∈J (pour J ={1}, il n’y a rien à montrer), on a alors :

\

j∈J

A⁰_j = (Ω\A₁)∩



 \

j∈J\{1}

A_j



= \

j∈J\{1}

A_j \\

j∈J

A_j

et :

P Ã\

j∈J

A⁰_j

!

=P



 \

j∈J\{1}

Aj



−P Ã\

j∈J

Aj

!

= Y

j∈J\{1}

P(A_j)−Y

j∈J

P(A_j)

= (1−P(A1)) Y

j∈J\{1}

P(Aj) = Y

j∈J

P¡ A⁰_j¢

2. On procède récurrence finie.

Exercice 22.7 Soit n ≥ 2 un entier naturel. On choisit de manière équiprobable un entier compris entre 1 et n. Soient p un diviseur positif de n et Ap l’événement :« le nombre choisi est divisible par p ».

1. Calculer P(A_p).

2. Montrer que sip₁,· · · , p_r sont les diviseurs premiers den,alors les événementsA_p1,· · · , A_pr sont mutuellement indépendants.

3. On désigne par ϕ la fonction indicatrice d’Euler définie sur N^∗ par ϕ(n) = card{k ∈ {1,· · ·, n} |k∧n = 1}

Montrer que

ϕ(n) =n Y

ppremier pdivisen

µ 1−1

p

¶ .

Solution 22.7 On se place sur (Ω,P(Ω),P), où Ω ={1,· · · , n} et :

∀k ∈Ω, P({k}) = 1 n.

Événements indépendants 551

1. Pour p divisant n, on a n=pq et :

A_p ={k ∈Ω| ∃j ∈Ω ; k =pj}={p,2,· · · , qp}

donc :

P(A_p) = card (A_p) card (Ω) = q

n = 1 p.

2. Soit J une partie non vide de {1,2,· · · , r}. Les entiers p_j pour j ∈ J sont premiers et distincts, donc premiers entre eux et un entier est divisible par tous lespj si, et seulement si, il est divisible par leur produit. On a donc :

\

j∈J

A_pj =A^Q

j∈J

pi

et :

P Ã\

j∈J

Apj

!

=P(A^Q

j∈J

pi) = 1 Q

j∈J

p_i =Y

j∈J

1

p_j =Y

j∈J

P(Apj). Donc les événements A_p1,· · · , A_pr sont mutuellement indépendants.

3. Si A désigne l’événement : « l’entier choisi est premier avec n », on a alors :

P(A) = card (A)

card (Ω) = ϕ(n) n

et en désignant par p₁,· · · , p_r tous les diviseurs premiers de n, on aura k ∈ A si, et seulement si, k n’est divisible par aucun des p_i, donc :

A=

\r

i=1

(Ω\A_pi).

Comme les événements Ω\Api sont indépendants (exercice précédent), on en déduit que : P(A) =

Yr

i=1

P(Ω\A_pi) = Yr

i=1

µ 1− 1

pi

¶ .

Exercice 22.8 On se fixe un réel s > 1 et on considère l’espace probabilisé (Ω,P(Ω),P), où Ω = N^∗ et :

∀n∈Ω, P({n}) = 1 ζ(s)

1 n^s en désignant par ζ la fonction de Riemann définie par ζ(s) =

X+∞

n=1

1 n^s. Pour tout entier n ≥1, on désigne par A_n l’événement :

A_n ={multiples de n}={k·n|k ∈N^∗} 1. Calculer P(An) pour tout n≥1.

2. Montrer que, si P désigne l’ensemble des nombres premiers, alors la famille (A_p)_p∈P est indépendante, c’est-à-dire que pour toute suite finie (p_k)_1≤k≤r de nombres premiers distincts, les événement A_p1,· · · , A_pr sont mutuellement indépendants.

3. En déduire que :

P({1}) = Y

p∈P

µ 1− 1

p^s

¶

puis l’identité d’Euler :

∀s >1, ζ(s) = Y

p∈P

µ 1− 1

p^s

¶₋₁ .

Solution 22.8 1. On a :

P(A_n) = X+∞

k=1

P({k·n}) = 1 ζ(s)

1 n^s

X+∞

k=1

1 k^s = 1

n^s.

2. Pour p1 < p2 <· · ·< pr dans P, comme les pk sont premiers entre eux, on a : P

à _r

\

k=1

Apk

!

=P({multiples de p1, p2,· · · , pr})

=P Ã(

multiples de Yr

k=1

p_k )!

=P Ã

AQ^r

k=1pk

!

= 1

_r Q

k=1

pk

_s = Yr

k=1

1 p^s_k =

Yr

k=1

P(Apk) et les événement A_p1,· · · , A_pr sont mutuellement indépendants.

3. L’entier 1 n’est divisible par aucun nombre premier, donc : {1}= \

p∈P

(Ω\A_p) et :

P({1}) = P Ã\

p∈P

(Ω\Ap)

!

= Y

p∈P

P(Ω\Ap)

= Y

p∈P

(1−P(A_p)) = Y

p∈P

µ 1− 1

p^s

¶

et comme P({1}) = 1

ζ(s), il en résulte que : ζ(s) = Y

p∈P

µ 1− 1

p^s

¶₋₁

Une définition équivalente de la notion de famille d’événements mutuellement indépendants est donnée par le théorème suivant.

Théorème 22.5 Soient A₁,· · · , A_n, où n ≥ 2, des événements dans B. Ces événements sont mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de {1,2,· · · , n} telle que P

ÃT

j∈J

A_j

!

6= 0 et tout indice i∈ {1,2,· · · , n} \J, on a :

P Ã

A_i | \

j∈J

A_j

!

=P(A_i).

Événements indépendants 553

Démonstration.SupposonsA₁,· · · , A_nmutuellement indépendants. PourJ {1,2,· · · , n}

telle que P ÃT

j∈J

Aj

!

6= 0 eti∈ {1,2,· · · , n} \J, on a :

P



 \

j∈J∪{i}

A_j



= Y

j∈J∪{i}

P(A_j) =P(A_i)Y

j∈J

P(A_j)

=P(A_i)P Ã\

j∈J

A_j

!

et :

P(A_i) = P

à T

j∈J∪{i}

A_j

!

P ÃT

j∈J

Aj

! = P

Ã

A_i∩ T

j∈J

A_j

!

P ÃT

j∈J

Aj

! =P Ã

A_i | \

j∈J

A_j

! .

Réciproquement, supposons que P Ã

Ai | T

j∈J

Aj

!

=P(Ai) pour tout J ⊂ {1,2,· · ·, n} telle que P

ÃT

j∈J

A_j

!

6= 0 eti∈ {1,2,· · · , n} \J.

Soit I ={i₁,· · · , i_r} ⊂ {1,2,· · · , n} avecr ≥2.

Si P µT

i∈I

A_i

¶

6= 0, on a alors :

P Ã\

i∈I

A_j

!

=P(A_i1)P(A_i2 |A_i1)· · ·P Ã

A_ir |

r−1\

k=1

A_ik

!

=P(A_i1)P(A_i2)· · ·P(A_ir) =Y

i∈I

P(A_i)

Si P µT

i∈I

A_i

¶

= 0, il existe alors un entier p ∈ {1,2,· · · , r} tel que P µ_p−1

T

k=1

A_ik

¶

6= 0 et

P µ _p

T

k=1

A_ik

¶

= 0. Pour p= 1, on a P(A_i1) = 0 etP µT

i∈I

A_i

¶

= Q

i∈I

P(A_i) et pour p≥2, on a :

0 = P Ã\

i∈I

A_i

!

=P Ã _p

\

k=1

A_ik

!

=P Ã_p−1

\

k=1

A_ik

! P

à A_ip |

p−1\

k=1

A_ik

!

=P Ã_p−1

\

k=1

Aik

! P¡

Aip

¢

et P¡ A_ip¢

= 0 qui entraîne encore P µT

i∈I

A_i

¶

= Q

i∈I

P(A_i).