A329. Indépendants et solidaires
Deux entiers naturels distincts sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble de E est elle-même un nombre entier. Démontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires.
Solution proposée par Bernard Grosjean Observations :
1°) – tous les nombres de l’ensemble sont impairs, sinon ils ne seraient pas premiers entre eux.
2°) – si n = 2, E (3, 5) convient, comme tous nombres premiers, à l’exception de 2.
3°) – si n = 3, E (7, 13, 19) convient, car 3 19 13 7
= 13 Solution :
Pour que la moyenne arithmétique de n’importe quel sous-ensemble de E soit un nombre entier, la somme des nombres de ces sous-ensembles doit être un multiple du nombre d’éléments de ces sous-ensembles, quels qu’ils soient.
D’où l’idée de factorielles.
En effet, si les n éléments de E sont de la forme ki (n !) +1, i ϵ (1 à n), ils répondent aux conditions de l’énoncé.
1°) – ils sont indépendants.
Soient 2 nombres quelconques de E, a = ki (n !) +1 et b = kj (n !) +1 avec j > i ϵ (1 à n), S’ils ne sont pas premiers entre eux, ils sont divisibles par p, et leur différence également.
Donc (kj - ki ) (n !) et ki (n !) +1 devraient avoir un diviseur commun p ≠ 1 ( kj - ki) et ki sont 2 nombres entiers ≤ n, donc compris dans n !
p ≠ 1 devrait donc diviser n ! et (n ! + 1), càd leur différence « 1 », ce qui est impossible.
Les nombres de E sont indépendants.
2°) – ils sont solidaires.
Soit Ep un sous ensemble de p nombres quelconques extraits de E.
Ces p nombres distincts peuvent d’écrire ka1(n !) + 1, ka2(n !) + 1, …..kap(n !) + 1, 1≤ kai≤ n Leur somme est Sp = (n!)
p
i
k
1
ai
+ p. Cette somme est divisible par p.
Les nombres de E sont solidaires
Les n éléments de E sont de la forme ki (n !) +1, i ϵ (1 à n)
