A329. Indépendants et solidaires
Soitunk =a+kbn tel que ppmc(2, . . . , n)|bn et gcd (a, bn) = 1.
Montrons queE=
un0, . . . , unn−1 convient.
Soitppremier tel quep|uni et p|unj avec 06i < j6n−1.Nous avons alors p|unj−uni = (j−i)bn.D’après un lemme d’Euclide,p|bnoup|j−i.Sip|bn, alorsp|uni−ibn=a: contradiction. Sip|j−i < n,alorsp|ppmc(2, . . . , n)|bn, même conclusion. Dans les 2 cas, nous avons gcd uni, unj
= 1.
SoitF ⊂ {0, . . . , n−1} tel que |F| =m >0 et s = X
f∈F
uf = ma+bn
X
f∈F
1.
Puisquem6n,alorsm|ppmc(2, . . . , n)|bn et la moyenne ms est un entier.
Pour être completa= 1 etb=n! ou ppmc(2, . . . , n) conviennent.
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