Réseau résistif Quatre bornes

Réseau résistif

Quatre bornesA, B, C, Dsont reliées par cinq résistancesa, b, e, c, djoignant AB, BC,BD, CD,DA respectivement. Si l’on applique une tension entre les bornesA etC, quel courant va traverser ce circuit ?

Solution

Considérons les intensités de courantI entrant enA et sortant enC, idans la résistancea(comptée positivement deA vers B),

j danse(deB vers D) ; cela donne (“loi des noeuds”) I−idans d(deAvers D),

i−j dansb(deB vers C), I−i+j dansc (deDvers C).

Le bilan des différences de potentiel est, avec R résistance entre A et C équivalente à ce dispositif,

ej+c(I −i+j) =b(i−j) dans la maille BDC, d(I−i) =ai+ej dans la maille ABD,

etRI=ai+b(i−j).

Ce système admet une solution (I, i, j) non triviale quand le déterminant complet est nul :

R −a−b b d −a−d −e c −b−c b+c+e

= 0,

ce qui fournit R en fonction dea, b, c, d, e.

R= e(a+b)(c+d) +abcd(1/a+ 1/b+ 1/c+ 1/d) (a+d+e)(b+c+e)−e² .