E 681. Les nombres japonais ****
On dit qu’un entier naturel N est de type Jn si N peut être écrit en utilisant une fois et une fois seulement chacun des nombres 1, 2, 3…, n dans l’ordre, ces nombres étant utilisés comme opérandes avec les opérateurs +, -, ×, /, racine carrée, exponentiation, factorielle (notée !), et les parenthèses ( et ). La concaténation est interdite.
Ainsi, 2011 est de type J6 puisque Démontrer que 2017 est de type Jn pour tout entier naturel
* en hommage au cinéaste japonais Takeshi Kitano Solution proposée par Marie-Christine Piquet:
A) pour les entiers n de la forme n = 4m + 1 :
on décompose 2016 = 2 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 / 5 = 2 x 7! / 5 2017 est un J5 puisque : 2017 = 1 + 2016 = 1 + 2 x ( 3 + 4 )! / 5
Et de manière générale : Jn = J(4m+1) = 1 + 2 x ( 3 + 4 )! / 5 + ( 6 - 7 - 8 + 9) + ... + (4m-2-4m+1- 4m+4m+1) = 2017
B) pour les entiers n de la forme n = 4m + 2
2017 est un J6 puisque : 2017 = 1 + 2 x ( 3! + 4 )! / ( 5 x 6! )
Et de manière générale : Jn = J(4m+2) = 1 + 2 x ( 3! + 4 )! / ( 5 x 6! ) + ( 7 - 8 - 9 + 10 ) + ... + (4m-1-4m- 4m-1+4m+2) = 2017
C) pour les entiers n de la forme n = 4m + 3
2017 est un J7 puisque : 2017 = 1 + 2016 = 1 + 48 x 42 = -1 + 2 - ( 72 - 120 ) x 6 x 7 = -1 + 2 - ( 3 x 4!
- 5! ) x 6 x 7
Et de manière générale : Jn = J(4m+3) = -1 + 2 - ( 3 x 4! - 5! ) x 6 x 7 + ( 8 - 9 - 10 + 11) + ... + (4m-4m-1- 4m-2+4m+3) = 2017
D) pour les entiers n de la forme n = 4m
2017 est un J8 puisque : 2017 = 1 + 2016 = 1 + 36 x 72 = 1 + ( 2 + 3 - 4 + 5 ) x 6 x 7 x 8
Et de manière générale : Jn = J(4m) = 1 + ( 2 + 3 - 4 + 5 ) x 6 x 7 x 8 + ( 9 - 10 - 11 + 12 ) + ... + (4n-3- 4m+2-4m+1+4m) = 2017
CQFD
N.B. Pour n petit il y a d'autres écritures possibles comme par exemple : n = 9 ---> 2017 = 1 + 2016 = 1 + 28 x 72 = 1 + ( 2 - 3 + 4 - 5 + 6 ) x 7 x 8 x 9
n = 10 ---> 2017 = 1 + 2016 = 1 + 40 x 7 x 8 x 9 / 10 = 1 + ( 2 x 3 + 4 + 5 x 6 ) x 7 x 8 x 9 / 10 ces 2 exemples peuvent être également utilisés respectivement pour les n = 4m+1 & n = 4m+2 Il doit y avoir d'autres solutions puisque ci dessus racine carrée et exponentiation sont absentes .
