G142
G´en´eralisons en tirant au hasard un entier entre 1 et n. La partie s’arr`ete si l’entier tir´e n’est pas sup´erieur au pr´ec´edent. La probabilit´e que la partie ne soit pas termin´ee au k-i`eme tirage est ´egale `a : pk = 1
nk n k
!
. Donc la probabilit´e que la partie se termine au k-i`eme tirage est ´egale `aqk =pk−1−pk.
La probabilit´e que le premier gagne est donc ´egale `a an = q2 +q4 +... = p1 −p2 +p3 − p4 +... =
n
X
k=1
(−1)k−1 1 nk
n k
!
= 1−
1− 1 n
n
. La probabilit´e que le second gagne est ´egale `a
bn= 1−an=
1− 1 n
n
. On obtient lim
n7→∞bn = e−1 ≈ 0,368 et lim
n7→∞an = 1−e−1 ≈ 0,632. Pour n = 2010 on a pr´ecis´ement : an≈0,6322 etbn ≈0,3678.
Les mises ne sont pas ´equilibr´ees. Si Jones mise une livre, Puce devrait miser 0.3678/0.6322×
1.14 soit environ 0,66 euros.
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