T − 1 et si e dernier est

Soient

E

^et

F

^{des espaes de Banah. Une appliation linéaire ontinue}

T ∈ L(E, F )

est inversible si l'appliation linéaire

T

^{admet un inverse linéaire}

T ^{− 1}

^{et si e dernier est}

ontinue. En d'autres mots,

T

^{est inversiblesi 'est un} homéomorphismelinéaire.

Théorème 7.1 (Théorème de l'appliation ouverte). Soient

E, F

^{des espaes de Banah.}

Soit

T ∈ L(E, F )

^{. Si}

T

^{est surjetive, alors elleest ouverte.} C'est-à-dire que l'image par

T

de haque ouvert de

E

^{est un ouvert de}

F

^.

Corollaire 7.2. Si

T ∈ L(E, F )

^{est bijetive, alors l'inverse}

T ^{− 1} : F → E

^{est ontinue.}

Exerie 1. Montrez que l'hypothèse de linéarité est néessaire.

La démonstrationdu théorème de l'appliationouverte repose sur le théorèmede Baire.

Théorème 7.3 (ThéorèmedeBaire). Soit

X

^{un espae métriqueomplet. Soit}

(S n ) n∈ N

^une

suite de sous-espaes fermésde

X

^{. Si}

X = ∪ ^∞ _n =1 S n

^{, alors il existe}

n ∈ N

tel que

S n

^ontient

une boule.

Démonstration. On suppose que le résultat est faux. On onstruit indutivement une suite

de boules fermées

B(x 1 , r 1 ) ⊃ B(x 2 , r 2 ) ⊃ · · · B (x n , r n ) ⊃ · · ·

vériant

B(x n , r n ) ⊂ X \ S n

et

0 < r n < 1/n

^.

(La première boule est onstruite en utilisant le fait que

S 1 6= X

^{. Si on suppose les}

n

premières boules données. Il existe

x n +1 ∈ B (x n , r n )

^{tel que}

x n +1 ∈ / S n +1

^{. Comme}

S n +1

^est

fermé, il existe

r n +1

^telque

B(x n +1 , r n +1 ) ⊂ B (x n , r n )

^{est disjointe de}

S n +1

^.)

Enpartiulier,lasuite

(x n ) n∈ N

^{est de Cauhy, elleonvergedon vers un point}

x ∈ X

^{. Ce}

point

x

^{est un élément de haque boule}

B (x n , r n )

^{. En} partiulier, il n'est élément d'auun

des ensembles

S n

^{. C'est une} ontradition.

Exerie 2. Soit

X

^{un espae métrique omplet. Soit}

{U n } n∈ N

^{une famille} dénombrable d'ensembles ouverts et denses dans

X

^{. Montrez que} l'intersetion

∩ n U n

^{est dense dans}

X

^.

(Cei est une deuxièmeversion du théorème de Baire)

Exerie 3. Soit

E

^{un espae vetoriel normé sur}

R

. Utilisez le théorème de Baire pour montrez que si l'espae vetoriel

E

^{admet une base} dénombrable innie, alors

E

^{n'est pas}

omplet.

Preuve du théorème de l'appliation ouverte.

(1) Soit

U

^{un ouvert de}

E

^{. Onherhe àmontrer quepour haque}

y = T x ∈ V

^{, ilexiste}

r > 0

^{tel que}

B ^F (y, r) ⊂ V.

Comme

B ^F (y, r) = y + B _r ^F

^{, ette ondition est} équivalenteà

B _r ^F ⊂ −y + V = T (−x + U).

Or,

−x + U

^{est un voisinagede}

0 ∈ E

^{, ilexiste don}

ρ > 0

^{tel que}

B _ρ ^E ⊂ −x + U

^{. Il}

suradon de montrer quepour pour haque

ρ > 0

^{, ilexiste}

r > 0

^{tel que}

B _r ^F ⊂ T (B _ρ ^E ).

Parhomogeneité, ilsut de vérier ette ondition pour

ρ = 1

^.

(2) Montrons tout d'abord qu'ilexiste

r > 0

^telque

B _r ^F ⊂

^adh

(T (B 1 ^E )).

Comme

F = ∪ ^∞ _n =1

^adh

(T (B _n ^F ))

^{, ondéduitdu théorème de Baire qu'ilexiste}

n ∈ N

et une boule ouverte

B ^F (y, ǫ) ⊂

^adh

(T (B _n ^E )).

On peut érire un élément

z

^de

B ^F (0, 2ǫ) = B ^F (y, ǫ) − B ^F (y, ǫ)

sous laforme

z = lim

n→∞ T (x n ) − T (y n ) = lim

n→∞ T (x n − y n )

ave

(x n )

^et

(y n )

^{des suites de}

B _n ^E

^{. En} partiulier, la suite

(x n − y n )

^{est omprise}

dans

B 2 ^E n

^{, et}

z

^{est don un élémentde l'adhérenede}

T (B 2 ^E n ))

^{. On a don}

B _ǫ ^F ⊂

^adh

T (B _2n ^E ).

Il sut don de prendre

r = ₂ ^ǫ _n

^.

(3) On montreraque

B _r ^F ⊂ T (B 1 ^E ).

C'est-à-direqu'on ale résultatde l'étape préédente sans l'adhérene.

Pour haque

a > 0

^{, il déoulede l'étape préédente que}

B _ra ^F ⊂

^adh

(T (B _a ^E )).

Soit

y ∈ B _r ^F

^{. On herhe àmontrerque}

y ∈ T (B 1 ^E )

^. C'est-à-direqu'ilexiste

x ∈ E

telque

kxk E < 1

^et

T x = y

^{. On onstruira}

x

^par approximationssuessives.

On onsidère une suite de nombres positifs

(a n ) _n∈ ^N

^{telle que}

a 1 ∈ ( ^kyk _r , 1)

^{. et}

X ∞

n =1

a n < 1.

Comme

y ∈ B _a ^F _{1 r} ⊂

^adh

T (B _a ^E ₁ ),

ilexiste don

x 1 ∈ B _a ^E ₁

^{tel que}

ky − T x 1 k F < ra 2 .

^{End'autres termes,}

y − T x 1 ∈ B _ra ^F ₂ ⊂

^adh

T (B _a ^E ₂ ),

ilexiste don

x 2 ∈ B _a ^E ₂

^telque

ky − T x 1 − T x 2 k F < ra 3 .

^Enpoursuivant,on obtient une suite

(x n ) ⊂ E

^{telle que}

kx n k E < a n

^{ettelle que}

ky − X n

k =1

T x k k F ≤ ra n+1 .

Comme

P

n kx n k ≤ P

a n < 1

^,lasérie

P

n x n

^{onverge vers un élément}

x ∈ B 1 ^E

^{. Par}

passageà lalimite onobtient

ky − T xk = lim

n→∞ ky − X n

k =1

T x n k F = 0.

7.1. Quelques appliations. Soient

F, G

^{des espaes de Banah. Le produit}

F × G

^est

naturellement muni de la norme

k(f, g)k = kfk + kgk.

L'espae

F ×G

^{munideettenormeestunespaedeBanah. Si}

F

^et

G

^sontdessous-espaes d'un espae de Banah

E

^{, alors} l'appliation

F × G ∋ (x, y) 7→ x + y ∈ E

est ontinue.

Corollaire 7.4. Soit

F, G

^des sous-espaesfermésde

E

^telsque

F ∩ G = {0}

^et

F + G = E

^.

Alors l'appliation

S : F × G → E

^{dénie par}

S(x, y) = x + y

est un homéomorphisme.

Dans e as on note

E = F ⊕ G

^{et on dit que}

E

^{est la somme direte des} sous-espaes fermés

F

^et

G

^.

Corollaire 7.5 (Théorème du graphe fermé). Soient

E, F

^{des espaes de Banah. Soit}

T : E → F

^{une appliation linéaire. Le graphe de}

T

^est

graphe

T = {(x, y) ∈ E × F : y = T (x)}.

C'est un sous-espae vetoriel de

E × F

^{. Si le graphe de}

T

^{est fermé, alors}

T ∈ L(E, F )

^.

Exerie 4. Prouvez le théorème du graphe fermé en détail, en vous inspirantde l'esquisse

que j'ai donnée en lasse.

Exerie 5. Soit

E

^{un espae vetoriel normé. Soient}

k · k 1

^et

k · k 2

^{deux normes sur}

E

telles que

(E, k · k 1 )

^et

(E, k · k 2 )

^{soient tous deux des espaes de Banah. Montrer que s'il}

existeune onstante

C > 0

^telleque

k · k 1 < Ck · k 2

^{, alors lesdeuxnormes sont}équivalentes.