E30158. Somme ou produit pour 2004
Deux amis Andr´e et Bernard, tous deux parfaits logiciens, choisissent chacun un entier naturel qu’ils confient s´epar´ement `a leur ami commun Christian.
Celui-ci leur dit : “En combinant vos deux nombres, j’ai obtenu 2004, mais je ne vous dis pas si j’ai fait la somme ou le produit.”
Bernard dit alors qu’il ne peut pas en d´eduire le nombre d’Andr´e. Andr´e `a son tour dit qu’il ne peut pas donner le nombre de Bernard.
Avec ces d´eclarations, trouvez le nombre d’Andr´e. Pouvez-vous donner aussi le nombre de Bernard ?
Solution
La d´eclaration de Bernard montre que son nombre est un diviseur de 2004 (1, 2, 3, 4, 6, . . ., 334, 501, 668, 1002) : il ne peut savoir si le nombre d’Andr´e est le quotient ou la diff´erence.
De mˆeme, Andr´e a fourni un diviseur de 2004. Il sait que Bernard aussi a donn´e un diviseur de 2004, et pourtant il ne peut conclure : c’est que le compl´ement `a 2004 du nombre d’Andr´e est un diviseur de 2004, et donc l’option “2004 est la somme” reste ouverte. Or la seule fa¸con d’´ecrire 2004 comme somme de deux de ses diviseurs est 1002 + 1002.
Le nombre d’Andr´e est 1002 et, comme Andr´e, nous ne pouvons pas savoir si le nombre de Bernard est 2 ou 1002.
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