TD Transformée en Z

TD Transformées en Z Calculs de transformées en Z

Ex 1) Montrez que la transformée en

Z

du signal exponentiel

x ( n ) = a

ⁿ

, ∀ n ∈ N

(

a ≠ 0

) est

( ) z a z z

Zx ( ) = −

. Ex 2) Pour les signaux suivants, calculez la transformée en

Z.

a)

x ( n ) = n

²

+ 2 n , ∀ n ∈ N

c)

x ( n ) = ( n

²

+ 2 n + 1 ) U ( n )

b)

x ( n ) = ( n − 1 ) U ( n − 1 )

d)

x ( n ) = ( n + 1 )

²

U ( n + 1 )

Ex 3) En admettant que le résultat pour la transformée en Z de l’exponentielle reste valable pour l’exponentielle complexe, calculez les transformées en

Z

des signaux suivants :

a)

x ( n ) = e

ⁱ²ⁿ

U ( n )

c)

x ( n ) = cos( ω n )

b)

y ( n ) = e

^i2(n−1)

U ( n − 1 )

d)

y ( n ) = sin( ω n )

Ex 4) Calculez la transformée en

Z

du signal

3

ⁿ

× n

². Calculs d’originaux Ex 5) Calculez les originaux des transformées en Z suivantes :

a)

3

) 2

( = −

z z

X

; b)

1 2 ) 3

( = +

z z X

Ex 6) Calculs d’originaux en utilisant la décomposition en fractions simples

a)

3 2

) 1

(

₂

+

= −

z z z

X

; b)

2 ) 1

(

₂

− +

= +

z z z z

X

; c)

2 ) 3

(

₂

−

= −

z z z z

X −

Ex 7) Calculs d’originaux en utilisant la division des polynômes (Calculez les premiers 3 termes)

a)

( )

₂

2 3

−

= +

z z z z

X

; b)

) 2

(

₂

2

−

= −

z z z z

X

; c)

2 3 ) 3

(

₂

2

+

−

= −

z z z z X

Vérifiez par la méthode de la décomposition en fractions simples.

d)

1

) 1

(

₂

+

= − z z z

X

; e)

1 ) 2

(

₂

= − z z z X

Application au calcul de suites récurrentes

Ex 8) Soit la suite

( ) x

_{n n∈N}, donnée par la relation de récurrence :

x

_n+2

= − x

_n+1

+ x

_n

2

3

,

∀ n ∈ N

, avec les premiers termes

x

₀

= 0

et

x

₁

= 1

. Donnez l’expression des termes de la suite

( ) ^x

_{n n∈N}

en fonction de n, en utilisant la transformée en Z du signal causal

x ( n ) = x

_n,

∀ n ∈ N

. Comparez avec les premiers termes de la suite obtenus avec la calculatrice.

Ex 9) La Suite de Fibonacci

Soit la suite

( ) v

_{n n∈N}, donnée par la relation de récurrence :

v

_n+2

= v

_n+1

+ v

_n,

∀ n ∈ N

, avec les premiers termes

v

₀

= 1

et

v

₁

= 1

. En utilisant V(z), la transformée en Z du signal causal

v ( n ) = v

_n,

N n ∈

∀

, montrez que l’expression des termes de la suite

( ) v

_{n n∈N} est :

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+

+1 1

2 5 1 2

5 1 5 1

n n

v

n ,

∀ n ∈ N

.