 .).cos.(.).cos.(..sin...sin.......)0/2( xbaybaybybxbzbBA 

(1)

PCSI/MPSI Sciences de l’Ingénieur

1/4

Corrigé DS de Sciences de l’Ingénieur, MPSI, janvier 20 Exercice 1. Centrifugeuse

1.

2. Vecteur vitesse de rotation :

( 2 / 0 ) ( 2 / 1 ) ( 1 / 0 ) . z

₁

. y 

₁

 



        



3. Calcul de la vitesse :

OB a . x 

₁

b . x 

₂





0 2 1

0 2

0 1

0

. .

. )

0 / 2

( 



 



 

 



 



 

 

 



 

 





 



 

 dt

x b d y dt a

x b d dt

x a d dt

OB B d

V

 



 



) . sin .

(cos .

. )

0 / 1

(

₂ ₂ ₁ ₁ ₁

1 2 0

2

x z z x z

dt x d dt

x

d     

 

 







   









 



 



 

 

 





1 2

0

2

. z . cos . y

dt x

d   









 



 



 





1

2

( . cos ). .

. . )

0 / 2

( B b z a b y

V   

 





  







4. Calcul de l’accélération

) . cos .

(sin .

. )

0 / 1

(

₂ ₂ ₁ ₁ ₁

1 2

0

2

z x z x z

dt z d dt

z

d     

 

 







   







 



 



 

 

 





1 2

0

2

. x . sin . y

dt z

d   









 

 



 





1 2 1

1

1 2

2 2

. ).

cos . (

. ).

cos . (

. . sin . .

. sin . . . .

. .

. )

0 / 2 (

x b

a y

b a y

b

y b

x b

z b B

A

 

 

 

 

 



 





























(2)

2/4

Exercice 2. Croix de malte

Fermeture géométrique :

CA OC

OA  

2

1

. .

. x d x y y

r   





y x

x   

. sin .

1

 cos   

y x

y   

. cos .

2

  sin   



 . sin cos

. d y

r  

_

y . sin   d  r . cos 



 . cos sin

. y

r 



y . cos   r . sin 

 

 



 

 

 

sin .

cos arctan .

r r d

(relation entrée/sortie)

(3)

3/4

Exercice 3. Robot de peinture

Q1

2

1

.

. )

0 / 1 ( )

1 / 2 ( )

2 / 3 ( )

0 / 3

( z   y 

 



          



Q2 Calcul de la vitesse :

0

) 0 / 3

(  





 



 

 dt

OP P d

V 

3 1

1

. .

. y H z l z

OP   



 

) . sin .

(cos .

. )

0 / 2

(

₃ ₃ ₂ ₂ ₂

2 3

0

3

z x z z x

dt z d dt

z

d          





   







 



 



 

 

 





2 3

0

3

. x . sin . y

dt z

d 

 





 

 



 





(4)

4/4

2 3

1

. . . . sin .

. ) 0 / 3

( P y l x l y

V 

 







  





Q3

OP . y 

₁

H . z 

₁

l . z 

₃



 

2 2

3

cos . z sin . x

z   



 



1 1

2

cos . x sin . y

x   



 





OP l . sin . cos . x 

₁

( l sin . sin ). y 

₁

( H l . cos ). z 

₁











    



Pour décrire à vitesse constante V la droite

( D , z 

₀

)

avec

OD a . x 

₀

b . y 

₀





, il faut :



 . cos sin

. l

a  b    l sin  . sin 

V   l .   . sin 

Q4 Calcul de l’accélération :

2 3

1

. . . . sin .

. ) 0 / 3

( P y l x l y

V 

 







  





2 2

2

2 0

3 3

1

. sin . . .

cos . . .

. sin . . .

. .

) 0 / 3 (

x l

y l

y dt l

z l d

x l y P

A

 



 



 

 



 





















 



 



 







.

) . sin .

(cos .

. )

0 / 2

(

₃ ₃ ₂ ₂ ₂

2 3

0

3

x z z x z

dt x d dt

x

d   

 

 







   









 



 



 

 

 





2 3

0

3

. z . cos . y

dt x

d 

 





 



 



 





2 2

2

2 2

3 2 3

1

. sin . . .

cos . . .

. sin . . .

cos . . . .

. .

) 0 / 3 (

x l

y l

z l

x l y P

A

 



 

 

 

 

 



 

































2 2

2

2 3

1

. sin . . .

cos . . . . 2

. sin . . .

. .

) 0 / 3 (

x l

y l

z l

x l y P

A

 



 

 



 



 





























Remarque : On retrouve l’accélération de Coriolis