IU T SRC1 log, exp, cos, sin Fonctions
TD3 de mathématiques - ln, exp, cos, sin.
Exercice 1 : exponentielle
1. Ecrire plus simplement :
f(x) =e2x+3
ex−1 g(x) =e−2x−e2x−1
e2x h(x) =
ex+e−x 2
2
−
ex−e−x 2
2
2. Résoudre dansRles équations ou inéquations : ex+ 3
ex+ 1 >2 e2x+5< e1−x 2ex+ 1
ex = 2e3+e−x
3. (facultatif) Etude de f dénie surRparf(x) = ee2x2x−1+1. Montres quef(x) = 12 a une et une seule solution dans R; quelle est cette solution ?
Exercice 2 : logarithme
La courbe donnée ci-dessous représente une fonction g dénie sur l'intervalle I =]0; 21]. La droite tracée sur le graphique est tangente à la courbe au point d'abscisse 1 et passe par l'origine. On prendra 7.4 comme valeur approchée du réel de l'intervalle I pour lequelg atteint son maximum.
1. On noteg0 la fonction dérivée de la fonctiong sur l'intervalle I. Utiliser le graphique pour donner les valeurs de g(1)et deg0(1)(justier).
2. Résoudre graphiquement dans l'intervalle I les trois inéquations ci-dessous. Les valeurs lues sur le graphique seront données à10−1 près (on justiera).
(1) g(x)≥0 (2) g0(x)≥0 (3) g(x)< x
3. On admet que pour tout x de l'intevalle I :g0(x) =a[3−b(1 + lnx)]oùaet bsont deux nombres réels. On veut calculeraetb.
(a) Montrez que pour toutxélément de l'intervalle I :g0(x) =a[3−b(1 + lnx)]. (b) A l'aide des valeurs deg(1)et deg0(1)obtenues à la question 1 calculez aet b.
(c) En déduire la valeur exacte du réel de l'intervalle I pour lequelg atteint son maximum.
Exercice 3 : cos, sin
Nous allons étudier la fonction tangente dénie partanx=cossinxx 1. Quel est l'ensemble de dénition D de cette fonction ?
2. Montrez que tangente estπ-périodique.
3. Sur quel ensemble peut-on dériver la fonction tangente ? Calculez cette dérivée.
4. la fonction tangente est-elle une bijection de D surR? Si non, de quel ensemble sur quel ensemble peut-on dire qu'il s'agit d'une bijection ?
5. Montrez quetan0x= 1 + tan2x.
