MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 27 (du lundi 27 au vendredi 31 mai)
lyc´ee Chaptal
Tout sur les espaces euclidiens Fonctions de deux variables r´ eelles
I. Topologie de R
2Propri´et´es de la norme euclidienne sur R2, autres normes classiques sur R2,
´
equivalence des normes. Limite d’une suite de R2, d’une fonction deR dansR2. Continuit´e, d´erivation du produit scalaire de 2 applications et de la norme d’une application. D´efinition d’une boule (ouverte, ferm´ee). Parties ouvertes deR2, par- ties born´ees.
On ´et´e aussi d´efinis (bien que hors programme) les ferm´es deR2 , le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites des ferm´es-born´es deR2.
II. Continuit´ e
Espace vectoriel F(U,R) des fonctions d’une partieU de R2 dans R, stabilit´e par la multiplication, applications partielles associ´ees (On consid`ere toujours par d´efaut queU est un ouvert deR2).
Continuit´e ponctuelle : d´efinitionhhenεiide la limite d’une fonction deF(A,R) en un point deU, unicit´e de cette limite, continuit´e en un point. Exemples. Propri´e- t´es : une fonction continue en a∈U est born´ee au voisinage de ce point ; conver- gence d’une suite obtenue par composition d’une fonction continue en a et d’une suite de U qui converge versa; sif est continue en a, ses applications partielles le sont aussi. Exemples d’utilisation de ces propri´et´es, ainsi que des coordonn´ees polaires pour prouver la continuit´e d’une fonction. Contre-exemples prouvant que les r´eciproques sont fausses.
Continuit´e sur un ouvert : d´efinition deC(U,R), espace vectoriel des fonctions continues de U dansR. Quotient de fonctions continues, le d´enominateur ne s’an- nulant pas. Extension aux applications deR2dansR2. Hom´eomorphismes, exemple des coordonn´ees polaires.
On a ´egalement vu qu’une fonction continue sur un ferm´e/born´e deR2est born´ee et atteint ses bornes.
Questions de cours
Q.1 D´emontrer l’´equivalence des normes k · k2,k · k∞ etk · k1surR2.
Q.2 [facultative]D´emontrer que toutes les normes sont ´equivalentes surR2. Q.3 Enonc´´ e de la caract´erisation s´equentielle d’un ferm´e (i.e. du compl´ementaire
d’un ouvert).
[facultative :] d´emonstration.
Q.4 Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass : de toute suite d’un ferm´e-born´e on peut extraire une sous-suite qui converge.
Q.5 Etude de la continuit´´ e sur R2 (valeur ´eventuelle en (0,0)?) des fonctions d´efinies par f(x, y) =x2xy+y2 etg(x, y) = |x|+|y|xy .
Q.6 [facultative]Montrer que toute fonction continue sur un ferm´e/born´e est born´ee et atteint ses bornes.
Q.7 D´efinir une application de changement de variables en polaires et d´emontrer que c’est un hom´eomorphisme.
A venir : recherche d’extrema, E.D.P., int´` egration de fonctions de deux variables.
