Probabilit´es D-IRIS2-04.tex
TS 2 IRIS : Devoir N˚ 4
1) Calcul int´ egral
Calculer les int´egrales suivantes : a) A=
Z 1 0
t t2−4
dt b) B =
Z π 0
sin(t)e−tdt
2) Laplace
En utilisant la Transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante : x0(t) + 2x(t) = (t+ 1)U(t−2) avec pour condition initiale : x(0) = 0
3) Probl` eme
On va jouer avec deux d´es usuels `a 6 faces ´equiprobables. Le premier d´e est rouge et le second est bleu. L’exp´erience consiste `a lancer les deux d´es.
a) D´efinir Ω, l’univers choisi pour mod´eliser cette exp´erience.
b) Pr´eciser quelle est la probabilit´e d’un ´ev´enement ´el´ementaire.
Pour la suite l’exercice on pr´ecisera `a chaque fois soigneusement l’´ev´enement consid´er´e pour r´epondre `a la question et on justifiera tous les d´enombrements effectu´es.
On va maintenant jouer en marquant des points. On consid`ere les nombres qui figurent sur la face sup´erieure de chaque d´e. La m´ethode pour compter les points est la suivante :
– Si le nombre du d´e rouge est pair : on fait la somme des deux nombres.
– Si le nombre du d´e rouge est impair : on fait le produit des deux nombres.
c) D´efinirX, la variable al´eatoire qui donne le nombre des points marqu´es lors de chaque exp´erience. Pr´eciser l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable al´eatoire X.
d) D´efinir x7→P(X =x) la loi de probabilit´e et x7→f(x) =P(X6x) la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire X.
e) Calculer la valeur de X =E(X) l’esp´erance math´ematique de la variable al´eatoireX.
f ) Faire sur deux figures diff´erentes les repr´esentations graphiques de P etf.
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♠ LATEX 2ε
Probabilit´es D-IRIS2-04.tex
TS 2 IRIS : Devoir N˚ 4 (Solution)
1) Calcul int´ egral
Calculer les int´egrales suivantes :
a) A=
Z 1 0
t t2−4
dt= ln
√3 2
Car :
A= Z 1
0
1 2
2t t2−4
dt= 1 2 h
ln(4−t2)i1 0
= 1 2
ln(3)−ln(4)
= 1 2ln3
4
b) B =
Z π 0
sin(t)e−tdt = 1 +e−π 2 Par partie :
u= sin(t) dv=e−tdt
du= cos(t)dt
v =−e−t deux fois
u= cos(t) dv=e−tdt
du=−sin(t)dt v =−e−t B =
Z π 0
sin(t)e−tdt=h
−sin(t)e−tiπ 0 +
Z π 0
cos(t)e−tdt
= 0
− 0
+ h
−cos(t)e−tiπ 0
− Z π
0
sin(t)e−tdt
B = e−π
− −1
−B 2B = 1 +e−π
2) Laplace
En utilisant la Transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante : x0(t) + 2x(t) = (t+ 1)U(t−2) avec pour condition initiale : x(0) = 0 Par la Transform´ee de Laplace et avec : L[x] =X Soit l’´equation :
x0(t) + 2x(t) = (t−2) + 3
U(t−2) qui a pour transform´ee :
p X(p) + 2X(p) = 1
p2 + 3 p
e−2p (p+ 2)X(p) = 3p+ 1
p2 e−2p X(p) = 3p+ 1
p2(p+ 2)e−2p X(p) =
1/2
p2 +5/4
p − 5/4 p+ 2
e−2p
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♠ 2 / 4 LATEX 2ε
Probabilit´es D-IRIS2-04.tex qui a pour original :
x(t) = 1
2(t−2) + 5 4 −5
4e−(t−2)
U(t−2) Donc :
x(t) = t
2+ 1 4− 5
4e2e−t
U(t−2) Avec la d´efinition par intervalles suivante :
x:
x(t) = 0 si t <2 x(t) = 2t+ 1−5e2e−t
4 si t≥2
3) Probl` eme
On va jouer avec deux d´es usuels `a 6 faces ´equiprobables. Le premier d´e est rouge et le second est bleu. L’exp´erience consiste `a lancer les deux d´es.
a) D´efinir Ω, l’univers choisi pour mod´eliser cette exp´erience.
Ω = n
F1, F2, F3, F4, F5, F6o2
avec : card(Ω) = 36 et : ω = (Fi, Fj)∈Ω b) Pr´eciser quelle est la probabilit´e d’un ´ev´enement ´el´ementaire.
Evenement ´´ el´ementaire :
(Fi, Fj) ⊂Ω probabilit´e : P
(Fi, Fj)
= 1 36 Pour la suite l’exercice on pr´ecisera `a chaque fois soigneusement l’´ev´enement consid´er´e pour r´epondre `a la question et on justifiera tous les d´enombrements effectu´es.
On va maintenant jouer en marquant des points. On consid`ere les nombres qui figurent sur la face sup´erieure de chaque d´e. La m´ethode pour compter les points est la suivante :
– Si le nombre du d´e rouge est pair : on fait la somme des deux nombres.
– Si le nombre du d´e rouge est impair : on fait le produit des deux nombres.
c) D´efinirX, la variable al´eatoire qui donne le nombre des points marqu´es lors de chaque exp´erience. Pr´eciser l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable al´eatoire X.
La table ci-contre repr´esente les 36 r´esultatsω possibles.
On a indiqu´e dans chaque case la valeur X(ω) que prend pour chaque r´esultat la variable al´eatoire X selon la parit´e du d´e rouge.
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F1 1 2 3 4 5 6 F2 3 4 5 6 7 8 F3 3 6 9 12 15 18 F4 5 6 7 8 9 10 F5 5 10 15 20 25 30 F6 7 8 9 10 11 12
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♠ 3 / 4 LATEX 2ε
Probabilit´es D-IRIS2-04.tex d) D´efinir x7→P(X =x) la loi de probabilit´e et x7→f(x) =P(X6x) la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire X.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 18 20 25 30
36×P(X =x) 1 1 3 2 4 4 3 3 3 3 1 2 2 1 1 1 1
36×P(X 6x) 1 2 5 7 11 15 18 21 24 27 28 30 32 33 34 35 36 Pour faciliter la lecture du tableau, les valeurs de probabilit´es ont ´et´e multipli´ees par 36.
e) Calculer la valeur de X =E(X) l’esp´erance math´ematique de la variable al´eatoireX.
X =E(X) = 9
f ) Faire sur deux figures diff´erentes les repr´esentations graphiques de P etf. Loi de probabilit´e P :
x P(X =x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 18 20 25 30
1 36
4 36
• •
•
•
• •
• • • •
•
•
• • • • •
Fonction de r´epartition f :
x f(x) = P(X 6x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 18 20 25 30
1 36
6 36 11 36 16 36 21 36 26 36 31 36
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♠ 4 / 4 LATEX 2ε
