Cours de TS 1 IRIS TS-1-IRIS.tex
VIII Calculs Num´ eriques
1) Majorations et Encadrements a) Formules de base
Si a!b et si m!f(t)!M alors m(b−a)!! b
a
f(t)dt!M(b−a) Si |f(t)|!k alors
"
"
"
"
! b
a
f(t)dt
"
"
"
"!! b
a |f(t)|dt!k(b−a)
b) In´egalit´e des accroissements finis Si |f!(t)|!k alors ""f(b)−f(a)""!k(b−a) c) Formule de Taylor
f(t) = f(0) +xf!(0) +t2
2!f!!(0) +. . .+ tn−1
(n−1)!f(n−1)(0) + tn
n!f(n)(0) +tnε(t)
ε(t)→0
t→0
2) R´esolution de l’´equation f(x) = 0
a) La m´ethode d’it´eration (ou m´ethode du point fixe) :
Pour r´esoudre : g(x) =x on cherche α∈[a;b] tel que : g(α) =α Sig est contractante sur [a;b] avec |g!(x)|<1 pour x∈[a;b]
La suite r´ecurrente (un) d´efinie par
# u0 = a
un+1 = g(un) est convergente.
b) La m´ethode de Newton :
u0 = a
un+1 = un− f(un) f!(un) c) La m´ethode dichotomique : m= a+b
2
3) Calcul d’int´egrales a) M´ethode des rectangles :
b−a n
'f(a) +f(x1) +. . .+f(xn)(
! S ! b−a n
'f(x1) +f(x2) +. . .+f(b)(
b) M´ethode des trap`ezes : S ≈ b−a
2n
)f(a) + 2'
f(x1) +f(x2) +. . .+f(xn)(
+f(b)* c) M´ethode de Simpson : (avec : nimpair)
S ≈ b−a
3(n+ 1)
)f(a) +f(b) + 2'
f(x2) +. . .+f(xn+1)( + 4'
f(x1) +. . .+f(xn)( +*
♣♦♥♠ 14 LATEX
