ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal
c 2008, Steve Ambler Hiver 2008
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Les calculatrices ne sont pas permises.
Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques. Vous avez trois heures.
1 Estimateur MCO (15 points)
Soit le mod`ele de r´egression lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+. . .+βkXki+Ui
1. Utilisant une sommation, ´ecrivez le probl`eme de minimisation `a r´esoudre si on veut calculer les estimateurs moindres carr´es ordinaires (MCO) des coefficientsβi.
2. Quelles hypoth`eses doit-on faire concernant les erreursUiafin de pouvoir calculer num´eriquement les estimateurs MCO ? Attention ! Par«calculer
num´eriquement» je ne veux pas forc´ement dire obtenir des estimateurs non biais´es, convergents ou efficients, je veux dire tout simplement obtenir une solution num´erique (sur ordinateur) au probl`eme de minimisation.
3. Montrez que, ´etant donn´es les estim´es des autres coefficients, l’estimateur deβ0est donn´e par :
βˆ0 = ¯Y −X¯1βˆ1−X¯2βˆ2−. . .−X¯kβˆk,
o`uY¯ etX¯i sont les moyennes ´echantillonnales de la variable d´ependante et de la variable explicativei. Indice : vous n’avez besoin que de la condition du premier ordre par rapport `aβ0 lui-mˆeme pur r´epondre `a cette partie.
2 Mod`ele de r´egression lin´eaire (15 points)
Expliquez ce qui justifie l’estimation du mod`ele de r´egression multiple par moindres carr´es ordinaires, par rapport `a un autre type d’estimateur. Autrement dit, quels sont les avantages provenant de l’utilisation de l’estimateur MCO ? Indice : pensez aux propri´et´es souhaitables ou d´esirables d’un estimateur dont on a discut´e `a plusieurs reprises dans le cours. Quelles hypoth`eses doivent tenir (indice — pensez aux hypoth`eses de base du mod`ele de r´egression lin´eaire) pour que les propri´et´es que vous mentionnez soit v´erifi´ees ?
3 Tests d’hypoth`ese (50 points)
Indice g´en´eral : mˆeme si vous bloquez sur une des sous-questions de cette
question, vous devriez ˆetre capable de r´epondre aux sous-questions subs´equentes.
Vous avez un ensemble de donn´ees provenant du “National Longitudinal Survey of Youth” aux ´Etats-Unis. Les donn´ees contiennent des observations sur 855 femmes noires et 946 hommes noirs concernant leur revenu, leur niveau d’´education et leur exp´erience de travail. Vous avez un mod`ele `a l’esprit o`u le revenu d´epend du niveau d’´education et de l’exp´erience, et vous voulez savoir si les hommes et les femmes ont des fonctions de revenu identiques (mˆeme
ordonn´ee, mˆeme sensibilit´e du revenu par rapport `a l’´education et par rapport `a l’exp´erience). Voici deux fac¸ons d’estimer votre mod`ele :
Yi =α0Fi+α1EDUiFi+α2EXPiFi+β0Hi+β1EDUiHi+β2EXPiHi+Ui, (1)
et
Yi =γ0+γ1EDUi+γ2EXPi+γ3Fi+γ4EDUiFi+γ5EXPiFi+Ui, (2) o`uYiest le revenu,EDUi est le niveau de l’´education,EXPiest le nombre d’ann´ees d’exp´erience,Fi est une variable dichotomique qui prend la valeur1si l’individu est une femme et z´ero autrement, etHiest une variable dichotomique qui prend la valeur1si l’individu est un homme et z´ero autrement. On peut montrer que les deux mod`eles estim´es par MCO doivent forc´ement mener aux mˆemes r´esultats en termes deR2, r´esidus, etc.
1. Avec la premi`ere fac¸on de sp´ecifier le mod`ele, nous pouvons lire
directement les ordonn´ees `a l’origine pour les hommes et pour les femmes, et la sensibilit´e du revenu par rapport `a l’´education et par rapport `a
l’exp´erience chez les hommes et chez les femmes. Quelle est l’ordonn´ee `a l’origine implicite pour les femmes dans la deuxi`eme ´equation ? Si vous estimez (2), quelle est la sensibilit´e du revenu `a l’´education des femmes ? Si vous estimez (2), quelle est la sensibilit´e du revenu `a l’exp´erience chez les femmes ? Indice : dans la deuxi`eme sp´ecification, le coefficientγ1 donne l’impact de l’´education sur le revenu, ind´ependamment du sexe de l’individu, etγ4 donne la diff´erence de l’impact de l’´education sur le revenu si l’individu est une femme.
2. Expliquez comment (si vous estimez la deuxi`eme sp´ecification au lieu de la premi`ere) calculer un ´ecart type pour l’ordonn´ee `a l’origine implicite pour les femmes, et des ´ecarts types pour les sensibilit´es du revenu par rapport `a l’´education et par rapport `a l’exp´erience chez les femmes.
Indice : ces coefficients sont des combinaisons lin´eaires des coefficients de (2). Il s’agit de calculer la variance d’une combinaison lin´eaire de
coefficients lorsqu’on connaˆıt la matrice variance-covariance de ces
coefficients (donc, une application directe des r`egles qui se retrouvent dans le«Key Concept» 2.3).
3. Vous voulez tester l’hypoth`ese nulle que les femmes et les hommes ont la mˆeme fonction de revenu (mˆemes ordonn´ees, mˆemes coefficients de pente) contre l’hypoth`ese alternative que ces fonctions sont diff´erentes
(ordonn´ees ou pentes). Pour les deux sp´ecifications, ´ecrivez vos hypoth`eses nulles, d’abord sous forme non matricielle et ensuite sous forme
matricielle. (Je donnerai des points pour la coh´erence entre les deux fac¸ons d’´ecrire les hypoth`eses nulles.)
4. Quelle serait la statistiqueF `a calculer pour tester votre hypoth`ese nulle ? Vous devez ´ecrire la forme g´en´erale de la statistiqueF une seule fois, qui pourra ˆetre appliqu´ee aux hypoth`eses nulles pour les deux sp´ecifications.
5. Maintenant, vous voulez tester votre hypoth`ese nulle en estimant des r´egressions contrainte et non contrainte et en comparant les r´esultats des deux r´egressions. Quelle hypoth`ese concernant les erreurs doit-on faire pour justifier une telle d´emarche ?
6. Sous cette hypoth`ese, quelle serait la statistiqueF `a calculer si vous exprimez l’hypoth`ese nulle sous forme matricielle ? Indice : votre r´eponse doit ressembler `a celle `a la partie 4, sauf pour la matrice
variance-covariance des coefficients estim´es.
7. Vous estimez les trois r´egressions suivantes :
Yi =α0+α1EDUi+α2EXPi+Ui (3) pour le sous-´echantillon des femmes seulement (855 observations),
Yi =β0+β1EDUi+β2EXPi+Ui (4) pour le sous-´echantillon des hommes seulement (946 observations), et
Yi =γ0+γ1EDUi+γ2EXPi+Ui (5) pour l’´echantillon au complet. On peut montrer (je ne vous demande pas de le faire !) que l’estimation des deux premi`eres r´egressions (´equations (3) et (4)) doit donner les mˆemes estim´es (pour les coefficients ´equivalents) que l’estimation de l’´equation (1). Donc, la somme de la somme des r´esidus carr´es de ces deux ´equations doit ˆetre ´egale `a la somme des r´esidus carr´es de (1). Appelons la somme des r´esidus carr´es de ces trois r´egressions SSR3,SSR4 etSSR5. Quelle est la statistiqueF `a calculer pour tester l’hypoth`ese nulle ? Indice : r´efl´echir `a laquelle des ´equations est celle qui impose les contraintes que l’on veut tester (mˆemes ordonn´ees pour les hommes et pour les femmes, mˆeme impact de l’´education pour les hommes et les femmes, mˆeme impact de l’exp´erience pour les hommes et les
femmes).
8. Maintenant, vous voulez tester l’hypoth`ese nulle que les sensibilit´es du revenu par rapport `a l’´education et par rapport `a l’exp´erience sont
identiques pour les hommes et pour les femmes, mais que les ordonn´ees `a l’origine sont possiblement diff´erentes pour les deux groupes. ´Ecrivez l’´equation de la version contrainte du mod`ele que vous pourriez estimer.
4 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression polynomiale suivant :
Yi =β0+β1X1i +β2X1i2+β3X1i3+β4X2i+Ui
Vous avez estim´e ce mod`ele et vous voulez pr´edire l’impact surYi d’une augmentation deX1i(qui est mesur´ee en milliers de dollars) de 8 `a 9.
– Calculez votre pr´ediction pour l’impact surYi(en fonction des ´el´ements deβ, le vecteur de param`etres estim´es par MCO). Montrez votre travail.ˆ Exprimez votre r´eponse en fonction desβˆi.
– D´ecrivez deux fac¸ons alternatives de calculer l’´ecart type associ´e `a cette pr´ediction. Indice : un des calculs n´ecessite l’estimation d’une version transform´ee du mod`ele, l’autre passe par le calcul de la variance d’une combinaison lin´eaire des coefficients estim´es (application directe, encore une fois, des r`egles du«Key Concept» 2.3).
document cr´e´e le : 22/04/2008
