QCM AUTO - EVALUATION

QCM AUTO - EVALUATION

2 – ANALYSE 2.3 – DERIVATION 2.3.3 EXPRESSIONS DE DERIVEES

QCM 2.3.3.1 : dérivées

1) ^{f x}

( ) (

^{=x x+1}

)

^{; f′}

( )

^{x =...}

1 2 2x 2x+1

( )

^{2 ;}

( )

^{2 1}

f x =x +x f′ x = x+

2)

( )

^;

( )

^...

1 ′

= =

+

f x x f x

x

( )

²

1 +1

x

(

⁺¹

)

²

x

x

( )

²

1 1

− +

x

(

⁻⁺¹

)

²

x x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

2 2

2

1 1 1 1

;

1 1

x x

u u v uv

f x f x

v v x x

+ −

′ − ′

= ′ = = =

+ +

3) ^{f x}

( )

^=ln

(

^x2+1

)

^{; f′}

^{( )}

^{x =...}

2

1 +1

x ²

2 +1 x

x ^ln

(

^x12+1

)

^ln

(

^x22x+1

)

( )

^ln

( ) ( )

2

; 2

1

u x

f x u f x

u x

′ ′

= = =

+ 4) ^{f x}

( )

^=sin

(

^{ω ϕt+}

)

^{; f′}

( )

^{x =...}

( )

cos ω ϕt+ ^−cos

(

^{ω ϕt+}

)

^ωcos

(

^{ω ϕt+}

)

^−ωcos

(

^{ω ϕt+}

) ( )

^sin

( )

^;

( )

^cos

( )

^cos

( )

f x = u f^′ x =u^′ u =ω ω ϕt+

5) ^{f x}

( )

^{= sin}

( )

^{2x ; f′}

( )

^{x =...}

( ) ( )

cos sin

2

2 2

x x

( ) ( )

cos sin

2 2

2 x x

( ) ( )

cos sin

2 2

x x

( ) ( )

cos sin

2 2

2

× x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

cos cos

sin cos cos

sin sin

2 2 2

; ; 2 2 ;

2 2 2 2

x x

f x v f x v v u v u u x f x

v x x

′ ′ ′ ′ ′

= = = ⇒ = = = =

6) ^{f x}

( )

^{=e1x ; f′}

( )

^{x =...}

1 1

e^x x

1

e^x ln

1

×e^x x

1 2

1e

− _x x

( ) ( )

2 ¹

e^u ; e^u 1e^x

f x f x u

x

′ ′ −

= = =

7) ^{f x}

( )

⁼

(

^x2+1

)

^{3 ; f′}

^{( )}

^{x =...}

(

²

)

²

6x x +1 ^{2x x}

(

²⁺¹

)

^{3 2x x}

(

²⁺¹

)

^{2 3}

(

^x2+1

)

²

( )

^{3 ;}

( )

^{3 2 3 2}

(

^{2 1}

)

²

f x =u f′ x = u u′ = × ×x x +

8) ^{f x}

( ) ( )

^{= lnx 2 ; f′}

( )

^{x =...}

2 x

1 x

2ln x x

1ln x x

( )

^{2 ;}

( )

^{2 2 1 ln}

f x u f x u u x

′ ′ x

= = = × ×

9) ^{f x}

( )

^=ln

( )

^{2x ; f′}

( )

^{x =...}

2 x

1 x

1 2x

1 4x

( )

^ln

( )

^;

( )

^{2 1}

2

f x u f x u

u x x

′ ′

= = = = . Remarque : ^ln

( )

^{2x et ln}

( )

^x ont la même dérivée, ce qui est normal si l'on s'aperçoit que ^ln

( )

^{2x =ln}

( )

^{x +ln}

( )

² , le second terme étant une constante.

10) La dérivée de ^{f x}

( )

^{3 est}

( )

2 2

3x f′ 3x ^3f′

( )

^{x3 2 3x f2 ′}

( )

^{x3 f′}

( )

^x3

La dérivée de v u est ^u′×

(

^{v′ u}

)

, donc ici : la dérivée de ^{f x}

( )

³ est celle de x³ multipliée par ^f′

( )

^{x3 ,}

soit ^{3x f2 ′}

( )

^{x3 .}