QCM AUTO - EVALUATION

QCM AUTO - EVALUATION

1 – CALCUL 1.2 – CALCUL LITTERAL 1.2.4 OPERATIONS SUR LES POLYNOMES

QCM 1.2.4.1 : division polynomiale 1)

4 3 5 3 2 1

x x

x + −

− vaut, selon les puissances décroissantes :

2x2+ +x 3 2x²+ −x 3 ² 1

2 2

2 1

x x

x

− + −

− ^{2x2+72x− −74 4 2}

(

^19x−1

)

3

3 2 2

2 2

4 5 3 2 1

4 2 2 3

2 5 3

2

6 3

6 3

0

x x x

x x x x

x x

x x

x x

+ − −

− + +

+ −

−

−

−

2)

4 3 5 3

2 1

x x

x + −

− vaut, selon les puissances croissantes :

3

2 6

3 2

2 1

x

x x

− − + x

−

3

2 8

3 6

2 1

x

x x

− + − x

−

3+ +x 2x2 3+ −x 2x²

3

2 3

2

2 3

2 3

3 5 4 1 2

3 6 3 2

4 2

2 4

2 4

0

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

− + + − +

− + + +

− +

− +

− +

− +

3) 1 4

1 x

x

− =

−

2 3

1− + −x x x 1 2− x+3x²−4x³ 1+ + +x x² x³ 1 2+ x+3x²+4x³

4

2 3

4 2

2 4

2 3

3 4

3 4

1 1

1 1

0

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

− −

− + + +

−

−

−

−

−

−

4)

3 2

4 3 2 1

2 1

x x x

x

+ + +

+ vaut, selon les puissances décroissantes :

( )

2 1 3

2 2 4

1 4 2 1

x x

x + +

+ +

2 1 3

2 2 4

x + x+

( )

2 1 3

2 2 4

1 4 2 1

x x

x + +

− +

( )

2 1 3

2 2 4

1 4 2 1

x x

x + −

+ +

( )

3 2

3 2 2

2

2

3 2 2

3 2

2

4 3 2 1 2 1

1 3

4 2 2

2 4

2 1

1 2

3 1 3 1

1 4 3 2 1 2 2 1

2 2 4 4

3 3 4 3 2 1 2 1 3 14

2 4 2 1 2 4 2 1

1 4

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x x x x x

x x x

x x x

x x

+ + + +

+ + +

+ + +

 

+ + + + = + +  + +

 

+ + +

+ ⇔ = + + +

+ +

5)

3 2

4 3 2 1

2 1

x x x

x

+ + +

+ vaut, selon les puissances croissantes à l'ordre 4 :

2 3 4

1 3+ x −10x +20x 1 3 ² 10 ^{3 20 4} 2 1

x

x x

x

+ − +

+

4

2 3 4

1 3 2

2 1 x

x x

x

+ + −

+

4

2 3 4

1 3 2

2 1 x

x x

x

+ − +

+

( ) ^{( )}

2 3

2 3

2 3

2 3

3 2 3 2 3 4

2 3 4

3 4 2 3

4

1 2 3 4 1 2

1 2 1 3 2

3 4

3 6

2 1 2 3 4 1 3 2 1 2 4

1 2 3 4 4

2 4 1 3 2

1 2 1 2

4

x x x x

x x x

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x

+ + + +

+ + −

+ +

− + + + = + − + +

+ + +

− − ⇔ = + − +

+ +

6)

2 3

2 3

1 1

x x x

x x x

− + −

+ + + vaut, selon les puissances croissantes à l'ordre n : ...

2 3

1 2 2 2

2 ⁿ

x x x

x reste

− − − −

− +

( )

...

2 3

1 2 2 2

2 1 ^{n n}

x x x

x reste

− + − +

+ × − +

...

2 3

1 2 2 2

2 ⁿ

x x x

x reste

+ + + +

+ +

( )

...

2 3

1 2 4 8

2 ^{n n}

x x x

x reste

− + − +

+ − +

...

...

2 3 2 3

2 3 2 3

3

2 3 4

2 4 2 3

2 3

1 1

1 1 2 2 2

2 2

2 2 2 2 on peut imaginer qu'en poursuivant la division, le quotient

2 2 1 2 2 2 continuera de montrer des signes alternés,

2 2 2

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x

x x x

− + − + + +

+ + + − + − +

− −

− − − −

+ − + − +

+ + ^{4 5}

3 5

2 des facteurs 2 et des puissances croissantes (tentez de le démontrer

2 2 par récurrence !)

x

x x

+

− −