QCM AUTO - EVALUATION

(1)

QCM AUTO - EVALUATION

2 – ANALYSE 2.2 – PROPRIETES

QCM 2.2.0.1 : propriétés

1) La fonction ^{f x}^: ^֏^sin

( )

^x² ^est

paire impaire paire et impaire ni paire ni impaire

( )

^sin

( ) ( )

² ^sin

^{( )}

²

^{( )}

f − =x −x = x = f x

2) La période de la fonction ^{f x}^: ^֏^{cos sin}

(

^x

)

^est

2π π 1 autre

Lorsque x parcourt l'intervalle

[

^{0 ; 2}^π

[

^,^sin^x effectue le cycle

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos 0 →cos a →cos 1 →cos a →cos 0 →cos − =a cos a →cos − =1 cos 1 →cos − =a cos a →cos 0 où l'on voit que deux fois de suite et de la même façon, le cosinus prend les mêmes valeurs.

3) Si f et g sont des fonctions croissantes de ℝ dans ℝ, alors f – g est

croissante décroissante monotone pas forcément monotone

Prenons les deux fonctions croissantes de ℝ dans ℝ : ^{f x}

( )

⁼³^x^et^{g x}

( )

⁼²^x^{. Alors} ^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ⁼^x

représente une fonction croissante.

Prenons les deux fonctions croissantes de ℝ dans ℝ : ^{f x}

( )

^{= +}^e^x ^x^et^{g x}

( )

⁼²^x^{. Ici,} ^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x} ⁼^e^x ⁻^x

n'est pas monotone (il suffit de constater que sa dérivée n'est pas de signe constant :

(

^f ⁻^g

) ( )

^′ ^x ⁼^e^x⁻¹^est

positive sur ℝ₊ et négative sur ℝ₋.

4) Si f est une fonction de ℝ dans ℝ, quelle fonction n'est pas nécessairement paire ?

( )

²

x֏ f x ^x^֏ ^{f x}

( )

² ^x^֏ ^{f x f}

( ) ( )

⁻^x ^x^֏ ^f

(

^cos^x

)

proposition 1 : ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

( )

² ^; ^g

^{( )}

^{− =}^x ^f

( ) ^{( )}

⁻^x ² ⁼ ^{f x}

^{( )}

² ⁼^{g x}

^{( )}

( )

⁼ ^{f x}

( )

² ^; ^g

( )

^{− =}^x ^f

( )

⁻^x ²^{a priori}^≠ ^{f x}

( )

² ⁼^{g x}

( )

⁼ ^{f x f}

( ) ( )

⁻^x ^; ^g

( )

^{− =}^x ^f

( ) ( )

⁻^{x f x} ⁼ ^{f x f}

( ) ( ) ( )

^{− =}^x ^{g x}

( )

⁼ ^f

(

^cos^x

)

^; ^g

( )

^{− =}^x ^f

(

^cos

( )

⁻^x

)

⁼ ^f

⁽

^cos^x

^{) ( )}

⁼^{g x}

5) Soit f strictement décroissante de ℝ dans ℝ. Quelle fonction n'est pas forcément croissante ?

( ( ) )

x֏ f f x ^x^֏⁻^{f x}

( )

^x^֏ ^f

( )

⁻^x ^x^֏ ^{f x}

( )

²

proposition 1 : ^x^ր ^⇒ ^{f x}

( )

^ց ^⇒ ^f

(

^{f x}

( ) )

^ր

proposition 2 : ^x^ր ^⇒ ^{f x}

( )

^ց ^⇒⁻^{f x}

( )

^ր

proposition 3 : ^x^ր ^⇒⁻^x^ց ^⇒ ^f

( )

⁻^x ^ր

proposition 1 : ^x^ր ^⇒^x²^ց ^si^x^<^{0 ou}^x²^ր ^si^x^>⁰^⇒ ^{f x}

( )

² ^ր^ou^ց

(2)

6) Si f est croissante et g décroissante, de ℝ dans ℝ, alors f – g est

croissante décroissante non monotone pas forcément monotone

( )

^et

( ) ( ) ( )

xր ⇒ f x ր g x ց ⇒ f x −g x ր

7) Si f est de période 2π et g de période π, alors f + g est

de période π de période 2π de période 3π pas forcément périodique f + g reprend les mêmes valeurs dans les mêmes conditions lorsque ces deux fonctions le font à la fois et séparément, ce qui ne se produit pour f qu'au bout d'un intervalle de largeur 2π.

8) Si f est strictement croissante sur ℝ et g périodique, alors fg est

croissante monotone périodique pas forcément monotone

Prenons les deux fonctions : ^{f x}

( )

⁼^x^et^{g x}

( )

⁼^sin^x^{. Alors} ^{fg x}

( )

⁼^x^sin^x n'est clairement ni monotone, ni périodique.