QCM AUTO - EVALUATION

(1)

QCM AUTO - EVALUATION

1 – CALCUL 1.2 – CALCUL LITTERAL 1.2.2 CALCULS DIVERS QCM 1.2.2.3 : identités remarquables

à réaliser sans calculatrice

1)

(

^a−^b

)

³=

3 2 2 3

a −a b+ab −b a³+3a b² −3ab²+b³ a³−3a b² +3ab²−b³ a³+a b² −ab²+b³ Coefficients du développement d'un cube (formule du binôme) : 1,3,3,1 (ligne n°3 du triangle de Pascal) ; enchainement des puissances : celles de a décroissent de 3 à 0 et en parallèle celles de b croissent de 0 à 3 ; alternance des signes : toute puissance impaire sur -b se soldera par un signe "moins".

2)

(

^a^{+ +}^b ^c

)

²⁼

2 2 2

3

a + + +b c abc

( )

2 2 2

2

a b c

ab bc ca

+ + ++ + a²+ +b² c² a² b² c² ab+ +bc ca + + +

Le développement montre directement le résultat. On peut retenir que le carré d'une somme de trois termes vaut la somme de leurs carrés et de leurs doubles produits.

3) Les coefficients du développement de

(

^a⁺^b

)

⁵^{sont :}

1,5,6,5,1 1,5,6,11,6,5,1 1,5,5,1 1,5,10,10,5,1

Coefficients du développement d'une puissance 5 (formule du binôme) : 1,5,10,10,5,1 (ligne n°5 du triangle de Pascal, à connaître par coeur).

4)

(

^a ^b

) (

² ^a ^b

)

²

ab + − −

=

1 4

2 2

a b ab

+ 2 a b

b a

 

 + 

 

(

^a ^b

) (

^a ^b

)

â âb ^b â âb ^b âb

ab ab ab

+ − − = + + − + − = =

2 2 2 2 2 2

2 2 4

4 .

5) On définit le cosinus hyperbolique par son expression

( )

^e ^e

2

x x

ch x

+ −

= . On a alors ^ch³

( )

^x ⁼

( ) ( )

1 3

4 3 4

ch x + ch x ¹

( )

³ ³

( )

8 8

ch x + ch x ^ch

( )

³^x ⁺³^{ch x}

( )

¹

( )

³ ³

( )

2 2

ch x + ch x

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

( ) ^{( )} ^{( )}

x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

ch x

ch x ch x ch x ch x

− − − −

− −

− − − − −

 + 

=  = + = + + + +

 

 + + 

= + + + = + + + =  × + × × 

 

= × + × × = +

3

3 3 2 2 3

3

3 3

3 2 2 3 3 3

e e 1 1

e e e 3 e e 3e e e

2 8 8

1 1 1 e e e e

e 3e e 3e e e e 3e 3e e 2 3 2

8 8 8 2 2

1 1 3

2 3 3 2 3

8 4 4

.

(2)

6) On définit le sinus hyperbolique par son expression ^{sh x}

( )

⁼^e^x ⁻₂^e⁻^x . On a alors ^ch²

( )

^x ⁻^sh²

( )

^x ⁼

( )

²

ch x

(

^{ch x}

( )

⁺^{sh x}

( ) )

²

(

^{ch x}

^{( )}

⁻^{sh x}

^{( )} )

² ¹

( ) ( )

^x ^x ^x ^x

( (

^x ^x

) (

^x ^x

) ) ⁽

^x ^x

⁾ ⁽ ⁾

ch x sh x

− −

− − −

 +   − 

− =  −  = + − − = = × =

   

2 2

2 2 e e e e 1 1 1

e e e e 4e e 4 1 1

2 2 4 4 4 .

(voir question 4 :

(

^a⁺^b

) (

²^{− −}^a ^b

)

²⁼⁴^ab⁾

7) ^{a a}

(

⁺^b

)

²⁻^{b a}

(

⁺^b

)

² ⁼

( )( )

(

^a⁻^b ^a⁺^b

)

²

(

^a⁻^b

) (

^a²⁺^b²

) (

^a²⁻^b²

) ⁽

^a⁺^b

⁾

^a³^{− +}^b³ ^ab²⁻^ba²

( ) ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ⁽ ⁾ ( ) ⁽ ⁾

a a+b ²−b a+b ²= a−b a+b ²= a−b a+b a+ =b a²−b² a+b . Pour invalider la proposition 4, développons :

( ) ( )

a a+b ²−b a+b ²=a³+2a b² +ab²−ba²−2ab²− =b³ a³− +b³ a b² −ab²

8) x²+7x+ =9

(

^x⁺³

)

²⁻^x ⁷ ² ¹⁰

2 4

x 

+ −

 

 

(

^x⁻³

)

²⁺¹³^x ⁷ ² ¹⁴

2

x x

 

− +

 

 

Proposition 1 :

(

^x⁺³

)

²^{− =}^x ^x²⁺⁶^x^{+ − =}⁹ ^x ^x²⁺⁵^x^{+ ≠}⁹ ^x²⁺⁷^x⁺^{9 .}

Proposition 2 : x  x x x x x x

+ − = + + − = + + ≠ + +

 

 

2

2 2 2

7 10 49 10 39

7 7 7 9

2 4 4 4 4 .

Proposition 3 :

(

^x⁻³

)

²⁺¹³^x⁼^x²⁻⁶^x^{+ +}⁹ ¹³^x⁼^x²⁺⁷^x⁺^{9 .}

Proposition 4 : x  x x x x x x x x

− + = − + + = + + ≠ + +

 

 

2

2 2 2

7 49 49

14 7 14 7 7 9

2 4 4 .

9)

(

^a⁺^b

) (

³^{− −}^a ^b

)

³⁼

(

² ²

)

2b 3a −b ²^b

(

³^a²⁺^b²

)

^b

(

³^a²⁻^b²

)

^b

(

³^a²⁺^b²

)

(

^a⁺^b

) (

³^{− −}^a ^b

)

³⁼^a³⁺³^{a b}² ⁺³^ab²^{+ −}^b³

(

^a³⁻³^{a b}² ⁺³^ab²⁻^b³

)

⁼⁶^{a b}² ⁺²^b³⁼²^b

(

³^a²⁺^b²

)

^.

10)

( )

²

2 2

a b a b

+ = + 1 2

a b b a + +

1 ab

a b

+ + 1

( )

²

1 2ab a b + +

(

^a ^b

)

â âb ^b â ^b âb

a b a b

a b a b a b a b

b a ab

+ = + + = + + = + = +

+

+ + + + +

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 .

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